# 大数の法則と中心極限定理｜チェビシェフの不等式・収束の種類・正規近似 > マルコフとチェビシェフの不等式、確率変数の収束の種類、大数の弱法則と強法則、中心極限定理の条件と主張を数式で解説。二項分布の正規近似と連続修正、必要な標本数の計算例と典型的な誤りも載せています。 - HTML版（正規URL）: https://inshihub.com/basics/probability-statistics/limit-theorems - 科目: [確率・統計](https://inshihub.com/basics/probability-statistics)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報） - 最終更新: 2026-11-16 - 先に読む単元: [母関数と特性関数](https://inshihub.com/basics/probability-statistics/generating-characteristic-functions) 大数の法則は、独立同分布で平均 $\mu$ をもつ確率変数の標本平均 $\bar X_n$ が、$n \to \infty$ で $\mu$ に収束することをいう。中心極限定理は、さらに分散 $\sigma^2$ が有限で正なら、$\sqrt{n}(\bar X_n - \mu)/\sigma$ の分布が標準正規分布 $N(0,1)$ に近づくことをいう。分布の形によらず、和や平均の確率を正規分布で近似できる。収束の速さの粗い評価にはチェビシェフの不等式 $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$ を使う。 ## マルコフとチェビシェフの不等式 ### 定理・法則：マルコフの不等式 条件： $X \ge 0$（確率1で）、$a > 0$、$\operatorname{E}[X] < \infty$。 主張： $$P(X \ge a) \le \frac{\operatorname{E}[X]}{a}$$ 要点： $a\,\mathbf{1}_{\{X \ge a\}} \le X$ の期待値をとる。$X$ が負の値をとると成り立たない。 ### 定理・法則：チェビシェフの不等式 条件： $\operatorname{E}[X] = \mu$、$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 < \infty$、$k > 0$（$\varepsilon > 0$）。 主張： $$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \qquad \text{同値な形}\ \ P(|X-\mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$ 要点： $(X-\mu)^2$ にマルコフの不等式を使う。どの分布でも成り立つ代わりに評価は粗く、$k = 2$ で上界 $1/4$ だが、正規分布の実際の値は $P(|Z| \ge 2) \approx 0.0455$ である。 ## 確率変数の収束の種類 ### 定義：4種類の収束 確率変数の列 $X_n$ と $X$ について、次のように定める。 - 概収束：$P\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = 1$。 - 確率収束：任意の $\varepsilon > 0$ で $\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0$。 - 平均2乗収束：$\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}[(X_n - X)^2] = 0$。 - 分布収束：$F_X$ の連続点 $x$ すべてで $\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)$。 概収束と平均2乗収束はそれぞれ確率収束を導き、確率収束は分布収束を導く。逆向きは一般に成り立たない。ただし極限が定数 $c$ のときは、分布収束と確率収束が同値になる。分布収束は分布関数についての主張なので、$X_n$ と $X$ が同じ確率空間上になくてもよい。 ## 大数の法則 ### 定理・法則：大数の弱法則 条件： $X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で $\operatorname{E}|X_1| < \infty$、$\mu = \operatorname{E}[X_1]$。 主張： $\bar X_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ は $\mu$ に確率収束する。 要点： 分散 $\sigma^2$ が有限なら、$\operatorname{Var}(\bar X_n) = \sigma^2/n$ とチェビシェフの不等式から $P(|\bar X_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \sigma^2/(n\varepsilon^2) \to 0$ で示せる。分散が無限でも平均が有限なら成り立つ（ヒンチンの定理）。 ### 定理・法則：大数の強法則 条件： $X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で $\operatorname{E}|X_1| < \infty$（コルモゴロフの強法則）。 主張： $\bar X_n$ は $\mu$ に概収束する。 要点： 独立同分布の場合、$\bar X_n$ がある有限の定数に概収束することと $\operatorname{E}|X_1| < \infty$ は同値である。 平均が存在しないと大数の法則は成り立たない。標準コーシー分布に従う独立な $X_i$ では、特性関数 $e^{-|t|}$ から $\varphi_{\bar X_n}(t) = \bigl(e^{-|t|/n}\bigr)^n = e^{-|t|}$ となり、$\bar X_n$ は $n$ によらず標準コーシー分布に従う。 ## 中心極限定理 ### 定理・法則：中心極限定理（リンデベルグ・レヴィ） 条件： $X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で、$\operatorname{E}[X_1] = \mu$、$0 < \sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1) < \infty$。$S_n = X_1 + \cdots + X_n$。 主張： $$Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar X_n - \mu)}{\sigma}$$ は $N(0,1)$ に分布収束する。すなわち任意の $z$ で $\lim_{n\to\infty} P(Z_n \le z) = \Phi(z)$。 要点： $Y_i = (X_i - \mu)/\sigma$ の特性関数は $\varphi(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2)$ なので、$\varphi_{Z_n}(t) = \varphi(t/\sqrt{n})^n = \bigl(1 - t^2/(2n) + o(1/n)\bigr)^n \to e^{-t^2/2}$。レヴィの連続性定理から結論が出る。分散が無限（コーシー分布など）では成り立たない。 （図：HTML版では操作できる図を置いている。区間 $[0,1]$ の一様分布に従う独立な $n$ 個の和 $S_n$ を標準化した $(S_n - n/2)/\sqrt{n/12}$ の密度（アーウィン・ホール分布を平行移動・拡大したもの）を、標準正規分布の密度と重ねて描く。$n$ を $1$ から増やすと、長方形から三角形、釣鐘形へと形が変わり、正規分布の密度に近づいていく。） - ド・モアブル・ラプラスの定理 $$X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \Rightarrow \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$ $0