環と体イデアル・剰余環・既約多項式・有限体

$3, 5, 7$ は2つずつ互いに素なので、$105$ を法としてただ1つの解がある。$x \equiv 2 \pmod 3$ と $x \equiv 2 \pmod 7$ から $x \equiv 2 \pmod{21}$。$x = 2 + 21t$ を $x \equiv 3 \pmod 5$ に入れると $2 + t \equiv 3$、$t \equiv 1 \pmod 5$。よって $x \equiv 23 \pmod{105}$。

$23 = 7 \cdot 3 + 2 = 4 \cdot 5 + 3 = 3 \cdot 7 + 2$ で、3つの条件をすべて満たす。

$g(x) \mapsto g(0)$ は全射 $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}$ で核は $(x)$。$\mathbb{Z}[x]/(x) \cong \mathbb{Z}$ は整域だが体でないので、$(x)$ は素イデアルだが極大でない。

$g(x) \mapsto g(0) \bmod 2$ は全射 $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で核は $(2, x)$。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は体なので、$(2, x)$ は極大イデアルである。

$(x) \subsetneq (2, x) \subsetneq \mathbb{Z}[x]$ で、$(x)$ が極大でないことが直接見える。$\mathbb{Z}[x]$ は単項イデアル整域でなく、$(2, x)$ は1つの元では生成できない。

$x^2 + x + 1$ は $\mathbb{F}_2$ で $x = 0, 1$ のどちらでも値が $1$ なので根がなく、2次式なので既約。よって剰余環は位数 $4$ の体で、元は $0, 1, \alpha, \alpha + 1$。$\alpha^2 = \alpha + 1$（係数は $\bmod 2$）を使うと

$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha = 1$ で、乗法群 $\{1, \alpha, \alpha^2\}$ は位数 $3$ の巡回群になる。$x^2 + 1 = (x+1)^2$ は $\mathbb{F}_2$ 上既約でないので、$\mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)$ は体にならない（$\alpha + 1$ が零因子）。

$x^3 - 2$ はアイゼンシュタインの判定法（$p = 2$）で既約なので最小多項式で、$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$。$(1 + \alpha)(1 - \alpha + \alpha^2) = 1 + \alpha^3 = 3$ から

$\beta = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ では $\beta^2 = 5 + 2\sqrt{6}$、$(\beta^2 - 5)^2 = 24$ から $\beta^4 - 10\beta^2 + 1 = 0$。$\mathbb{Q}(\beta) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ で、積の公式から $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]\,[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4$。よって次数は $4$ で、$x^4 - 10x^2 + 1$ が最小多項式である。

$\alpha \approx 1.26$ で $1/(1+\alpha) \approx 0.4425$、$(1 - 1.26 + 1.587)/3 \approx 0.4425$ と数値でも一致する。$\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は、$\sqrt{3} = a + b\sqrt{2}$ と置くと $a, b$ が有理数にならないことから出る。