群部分群・巡回群・ラグランジュの定理・準同型定理

$8$ の位数は $12/\gcd(12,8) = 12/4 = 3$。実際 $8, 16 \equiv 4, 24 \equiv 0$ で、$\langle 8 \rangle = \{0, 4, 8\}$。これは約数 $3$ に対応する唯一の部分群 $\langle 4 \rangle$ と同じである。生成元は $\gcd(k, 12) = 1$ の $k$、すなわち $1, 5, 7, 11$ の $\varphi(12) = 4$ 個。

元の位数として現れる値は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ で、$12$ の約数と一致する。加法群なので $a^k$ は $ka$ と読む。

$15$ と互いに素な $1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$ の $8$ 個で、位数は $\varphi(15) = 8$。$2^1 = 2,\ 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 2^4 = 16 \equiv 1$ なので $2$ の位数は $4$。各元の位数を調べると最大は $4$（$11^2 = 121 \equiv 1$、$14^2 \equiv 1$、$4^2 \equiv 1$ など）で、位数 $8$ の元がないから巡回群ではない。

ラグランジュの定理どおり、位数 $4$ は $8$ を割り切り、どの元でも $a^8 \equiv 1$ になる。

長さ $3$ と $2$ の互いに素な巡回置換の積なので、位数は $\operatorname{lcm}(3, 2) = 6$。符号は $(-1)^{2} \cdot (-1)^{1} = -1$ で奇置換。

$\sigma^2 = (1\ 3\ 2)$、$\sigma^3 = (4\ 5)$ で、どちらも $e$ でない。$\sigma^6 = e$。符号は準同型なので、$(1\ 2\ 3)$ が偶、$(4\ 5)$ が奇から積は奇になる。

(1) $f: \mathbb{Z} \to C_n$ を、$k$ を $n$ で割った余りに移す写像とする。$f$ は全射準同型で、核は $n$ の倍数全体 $n\mathbb{Z}$。よって $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong C_n$。

(2) $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times$ は $\det(AB) = \det A \det B$ から準同型で、$\operatorname{diag}(c, 1, \dots, 1)$ の行列式が $c$ なので全射。核は $SL_n(\mathbb{R}) = \{A : \det A = 1\}$。よって $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^\times$。

(2) から $SL_n(\mathbb{R})$ は正規部分群で、$\det(PAP^{-1}) = \det A$ からも直接確かめられる。$S_3$ では $\operatorname{sgn}: S_3 \to \{\pm 1\}$ の核が $A_3$ で、$S_3/A_3 \cong \{\pm 1\}$、$|S_3| = 3 \cdot 2$ と合う。一方 $\langle (1\ 2) \rangle$ は $(1\ 3)(1\ 2)(1\ 3) = (2\ 3)$ から正規でない。