# 群｜部分群・巡回群・ラグランジュの定理・準同型定理

> 群と部分群の定義、元の位数と巡回群、剰余類とラグランジュの定理、対称群と置換の符号、正規部分群と剰余群、準同型定理を数式で解説。Z/12Zや対称群の計算例と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16

群は、結合法則を満たす演算をもち、単位元と各元の逆元がある集合である。有限群 $G$ の部分群 $H$ の位数は $|G|$ を割り切り（ラグランジュの定理）、元の位数も $|G|$ の約数になる。巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ では元 $k$ の位数は $n/\gcd(n,k)$ で、部分群は $n$ の約数ごとにただ1つある。準同型 $f: G \to G'$ の核は正規部分群で、準同型定理 $G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ が成り立つ。

## 群と部分群の定義

### 定義：群

集合 $G$ と演算 $G \times G \to G,\ (a,b) \mapsto ab$ が次を満たすとき、$G$ を群という。

- 結合法則：$(ab)c = a(bc)$。
- 単位元 $e$ があり、すべての $a$ で $ae = ea = a$。
- 各 $a$ に逆元 $a^{-1}$ があり、$aa^{-1} = a^{-1}a = e$。

さらに $ab = ba$ がつねに成り立てば可換群（アーベル群）という。元の個数 $|G|$ を位数という。単位元と逆元は一意に決まり、$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ である。

例として、加法についての $\mathbb{Z}$、$n$ を法とする加法の $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、乗法についての $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = \{a : \gcd(a,n) = 1\}$（位数 $\varphi(n)$）、正則行列全体の $GL_n(\mathbb{R})$、$n$ 文字の置換全体の対称群 $S_n$（位数 $n!$）がある。$GL_n(\mathbb{R})$（$n \ge 2$）と $S_n$（$n \ge 3$）は可換でない。

### 定理・法則：部分群の判定

条件：

$H$ は $G$ の空でない部分集合で、任意の $a, b \in H$ について $ab^{-1} \in H$。$H$ が有限集合なら、$ab \in H$（演算で閉じていること）だけで足りる。

主張：

$H$ は $G$ の部分群である（$G$ の演算で群になる）。

要点：

$a = b$ とおくと $e \in H$、次に $e \cdot b^{-1} = b^{-1} \in H$、最後に $a(b^{-1})^{-1} = ab \in H$ が出る。有限の場合は、$b, b^2, \dots$ がいつか繰り返すことから $b^{-1}$ が $b$ のべきになる。

## 元の位数と巡回群

### 定義：元の位数と巡回群

$a^m = e$ となる最小の正の整数 $m$ を $a$ の位数 $\operatorname{ord}(a)$ という（なければ無限）。$a$ のべき全体 $\langle a \rangle = \{a^k : k \in \mathbb{Z}\}$ は部分群で、位数は $\operatorname{ord}(a)$ に等しい。$G = \langle a \rangle$ となる $a$ があるとき $G$ を巡回群、$a$ を生成元という。

### 定理・法則：巡回群の元の位数と部分群

条件：

$G = \langle a \rangle$ は位数 $n$ の巡回群。

主張：

- $a^k$ の位数は $\dfrac{n}{\gcd(n,k)}$。特に $a^k$ が生成元であることと $\gcd(n,k) = 1$ は同値で、生成元は $\varphi(n)$ 個ある。
- $n$ の各約数 $d$ について、位数 $d$ の部分群がただ1つあり、$\langle a^{n/d} \rangle$ である。それ以外の部分群はない。

要点：

$a^m = e$ と $n \mid m$ が同値であることを使う。$(a^k)^m = e$ は $n \mid km$、つまり $\frac{n}{\gcd(n,k)} \mid m$ と同値になる。巡回群の部分群はまた巡回群である。

### 計算例：$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の元の位数と部分群

加法群 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ で、$8$ の位数、$\langle 8 \rangle$、生成元をすべて求めよ。

解答：

$8$ の位数は $12/\gcd(12,8) = 12/4 = 3$。実際 $8, 16 \equiv 4, 24 \equiv 0$ で、$\langle 8 \rangle = \{0, 4, 8\}$。これは約数 $3$ に対応する唯一の部分群 $\langle 4 \rangle$ と同じである。生成元は $\gcd(k, 12) = 1$ の $k$、すなわち $1, 5, 7, 11$ の $\varphi(12) = 4$ 個。

検算：

元の位数として現れる値は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ で、$12$ の約数と一致する。加法群なので $a^k$ は $ka$ と読む。

## 剰余類とラグランジュの定理

### 定義：剰余類と指数

$H$ を $G$ の部分群とする。$aH = \{ah : h \in H\}$ を $a$ の左剰余類という。左剰余類どうしは一致するか交わらないかのどちらかで、$G$ は左剰余類の互いに素な和に分かれる。各剰余類の元の個数は $|H|$ である。左剰余類の個数を指数 $[G : H]$ という。

### 定理・法則：ラグランジュの定理

条件：

$G$ は有限群、$H$ はその部分群。

主張：

$$|G| = [G : H]\,|H|$$

特に $|H|$ は $|G|$ を割り切る。

要点：

系として、元の位数は $|G|$ を割り切り、$a^{|G|} = e$ が成り立つ。位数が素数の群は巡回群になる。$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ に使うと、オイラーの定理 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$（$\gcd(a,n) = 1$）とフェルマーの小定理が出る。逆は成り立たず、位数 $12$ の交代群 $A_4$ には位数 $6$ の部分群がない。

### 計算例：$(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^\times$ の元の位数

乗法群 $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^\times$ の位数と、$2$ の位数を求めよ。また、この群が巡回群かどうかを判定せよ。

解答：

$15$ と互いに素な $1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$ の $8$ 個で、位数は $\varphi(15) = 8$。$2^1 = 2,\ 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 2^4 = 16 \equiv 1$ なので $2$ の位数は $4$。各元の位数を調べると最大は $4$（$11^2 = 121 \equiv 1$、$14^2 \equiv 1$、$4^2 \equiv 1$ など）で、位数 $8$ の元がないから巡回群ではない。

検算：

ラグランジュの定理どおり、位数 $4$ は $8$ を割り切り、どの元でも $a^8 \equiv 1$ になる。

## 対称群と巡回置換

### 定義：巡回置換と置換の符号

$i_1 \mapsto i_2 \mapsto \cdots \mapsto i_k \mapsto i_1$ と動かし、他を固定する置換を長さ $k$ の巡回置換 $(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)$ という。長さ $2$ のものを互換という。どの置換も、共通の文字を含まない巡回置換の積に順序を除いて一意に分解できる。

置換を互換の積で書いたときの個数の偶奇は書き方によらない。偶数個なら偶置換、奇数個なら奇置換といい、符号 $\operatorname{sgn}\sigma = \pm 1$ を定める。偶置換全体は位数 $n!/2$ の部分群で、交代群 $A_n$ という。

- 積の順序

  $$\sigma\tau = \sigma \circ \tau \quad (\text{先に } \tau,\ \text{次に } \sigma)$$

  ここでは写像の合成として右から作用させる。左から作用させる教科書もあるので、問題文の流儀に合わせる。

- 長さ $k$ の巡回置換の符号

  $$(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k) = (i_1\ i_k)\cdots(i_1\ i_3)(i_1\ i_2), \quad \operatorname{sgn} = (-1)^{k-1}$$

- 置換の位数

  $$\operatorname{ord}(\sigma) = \operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$$

  $k_1, \dots, k_r$ は互いに素な巡回置換に分解したときの長さ。

- 共役

  $$\tau\,(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)\,\tau^{-1} = (\tau(i_1)\ \tau(i_2)\ \cdots\ \tau(i_k))$$

  共役な置換は巡回置換の長さの組（型）が同じになる。$S_3$ で $(1\ 3)(1\ 2)(1\ 3)^{-1} = (3\ 2) = (2\ 3)$。

### 計算例：置換の位数と符号

$S_5$ の元 $\sigma = (1\ 2\ 3)(4\ 5)$ の位数と符号を求めよ。

解答：

長さ $3$ と $2$ の互いに素な巡回置換の積なので、位数は $\operatorname{lcm}(3, 2) = 6$。符号は $(-1)^{2} \cdot (-1)^{1} = -1$ で奇置換。

検算：

$\sigma^2 = (1\ 3\ 2)$、$\sigma^3 = (4\ 5)$ で、どちらも $e$ でない。$\sigma^6 = e$。符号は準同型なので、$(1\ 2\ 3)$ が偶、$(4\ 5)$ が奇から積は奇になる。

## 正規部分群・剰余群・準同型定理

### 定義：正規部分群と剰余群

部分群 $N$ が、すべての $g \in G$ で $gNg^{-1} = N$（同値な条件として $gN = Ng$）を満たすとき、正規部分群といい $N \trianglelefteq G$ と書く。このとき剰余類の積 $(aN)(bN) = abN$ が代表元の選び方によらずに決まり、$G/N$ は群になる。これを剰余群（商群）という。可換群の部分群はすべて正規、指数 $2$ の部分群も正規である。

### 定義：準同型・核・像

$f(ab) = f(a)f(b)$ を満たす写像 $f: G \to G'$ を準同型という。$f(e) = e'$、$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$ が成り立つ。核 $\operatorname{Ker} f = \{a : f(a) = e'\}$ は $G$ の正規部分群、像 $\operatorname{Im} f$ は $G'$ の部分群である。$f$ が単射であることと $\operatorname{Ker} f = \{e\}$ は同値である。

### 定理・法則：準同型定理（第1同型定理）

条件：

$f: G \to G'$ は群の準同型。

主張：

$$G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f, \qquad a\operatorname{Ker} f \mapsto f(a)$$

要点：

写像 $a\operatorname{Ker} f \mapsto f(a)$ が代表元によらないこと、準同型であること、全単射であることを確かめる。有限群なら $|G| = |\operatorname{Ker} f|\,|\operatorname{Im} f|$ が出る。

### 計算例：準同型定理の使い方

準同型定理を使って、次を示せ。(1) $n$ で割った余りの加法でできる群 $C_n = \{0, 1, \dots, n-1\}$ は剰余群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型である。(2) $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^\times$。

解答：

(1) $f: \mathbb{Z} \to C_n$ を、$k$ を $n$ で割った余りに移す写像とする。$f$ は全射準同型で、核は $n$ の倍数全体 $n\mathbb{Z}$。よって $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong C_n$。

(2) $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times$ は $\det(AB) = \det A \det B$ から準同型で、$\operatorname{diag}(c, 1, \dots, 1)$ の行列式が $c$ なので全射。核は $SL_n(\mathbb{R}) = \{A : \det A = 1\}$。よって $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^\times$。

検算：

(2) から $SL_n(\mathbb{R})$ は正規部分群で、$\det(PAP^{-1}) = \det A$ からも直接確かめられる。$S_3$ では $\operatorname{sgn}: S_3 \to \{\pm 1\}$ の核が $A_3$ で、$S_3/A_3 \cong \{\pm 1\}$、$|S_3| = 3 \cdot 2$ と合う。一方 $\langle (1\ 2) \rangle$ は $(1\ 3)(1\ 2)(1\ 3) = (2\ 3)$ から正規でない。

## 答案でよくある誤り

1. ラグランジュの定理の逆を使い、「$|G|$ の約数 $d$ ごとに位数 $d$ の部分群がある」とする。巡回群では正しいが、一般には $A_4$ に位数 $6$ の部分群がない。素数べきの約数についてはシローの定理で存在が言える。
2. 群の位数と元の位数を混同する。$(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})^\times$ の位数は $8$ でも、位数 $8$ の元はない。巡回群かどうかは、位数が $|G|$ の元があるかで決まる。
3. 正規でない部分群で剰余群を作る。$aH \cdot bH = abH$ が代表元によらないことを確かめるには、$H$ が正規であることが必要である。
4. 置換の積の向きを混ぜる。右から作用させるか左から作用させるかを最初に決め、答案に書いてから計算する。
5. 準同型の核を「$0$ に移る元」と書いて、乗法群でも $0$ を使う。核は単位元 $e'$ に移る元の集合で、乗法群 $\mathbb{R}^\times$ なら $1$ に移る元である。

## 群が出た院試の過去問

### [群論・環論](https://inshihub.com/exam-themes/group-ring-theory)（15大学・71問）

- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-8): B2 商環と単項式半群環
- [大阪大学 数学 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-first#problem-6): B-2 中国剰余型同型とイデアル
- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-5): 対称群の部分群
- [早稲田大学大学院 数学応用数理専攻 専門科目 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mathematics-and-applied-mathematics/2026#problem-4): 代数：最小多項式とガロア群
- [東京科学大学 専門科目（数理・計算科学） 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-computing/mathematical-and-computing-science/2026#problem-4): 群と剰余類
- [熊本大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kumamoto-university/graduate-school-of-science-and-technology/mathematics/2026-first-specialized#problem-1): 対称群の中心化群

解答まで無料で読める演習問題:

- [熊本大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kumamoto-university/graduate-school-of-science-and-technology/mathematics/2026-first-specialized#problem-1): 対称群の中心化群
- [早稲田大学大学院 情報理工・情報通信専攻 専門科目 2023年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/computer-science-and-communications-engineering/2023#problem-1): 情報基礎
- [東京大学 専門科目B 2022年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2022#problem-1): 行列成分の軌道
- [東京大学 専門科目B 2020年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2020#problem-1): Galois閉包と中間体