# 環と体｜イデアル・剰余環・既約多項式・有限体

> 環・整域・体の定義、イデアルと剰余環、素イデアルと極大イデアル、中国剰余定理、多項式の既約性の判定、体の拡大次数と有限体を数式で解説。逆元や剰余環の計算例と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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環は加法について可換群をなし、結合的な乗法と分配法則をもつ集合である。ここでは乗法が可換で単位元 $1$ をもつ環を扱う。零因子のない環を整域、$0$ 以外の元がすべて逆元をもつ環を体という。イデアル $I$ による剰余環 $R/I$ は、$I$ が素イデアルなら整域、極大イデアルなら体になる。体 $K$ 上の多項式環では、$K[x]/(f)$ が体になることと $f$ が既約であることが同値で、拡大体や有限体はこの方法で作る。

## 環・整域・体の定義

### 定義：環

集合 $R$ に加法と乗法があり、次を満たすとき環という。

- 加法について可換群（単位元 $0$）。
- 乗法は結合的で、単位元 $1$ をもつ。
- 分配法則 $a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。

乗法が可換なら可換環という。以下、断らない限り環は単位元をもつ可換環とする。$ab = 1$ となる $b$ がある $a$ を単元（可逆元）、$a \ne 0$ で $ab = 0$ となる $b \ne 0$ がある $a$ を零因子という。

### 定義：整域と体

$1 \ne 0$ で零因子をもたない環を整域、$1 \ne 0$ で $0$ 以外のすべての元が単元である環を体という。体は整域である。例として $\mathbb{Z}$ は整域だが体でなく、$\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ は体である。$n$ 次正方行列の環 $M_n(\mathbb{R})$（$n \ge 2$）は可換でなく、零因子をもつ。

### 定理・法則：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が体になる条件

条件：

$n \ge 2$ は整数。

主張：

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が体であることと、$n$ が素数であることは同値である。単元は $\gcd(a,n) = 1$ を満たす $a$ である。

要点：

$\gcd(a,n) = 1$ ならベズーの等式 $ax + ny = 1$ から $ax \equiv 1$。$n = st$（$1 < s, t < n$）と分解できれば $st \equiv 0$ で零因子が出る。有限な整域は体になることからも言える。

逆元はユークリッドの互除法で求める。$\mathbb{Z}/31\mathbb{Z}$ で $7$ の逆元は、$31 = 4 \cdot 7 + 3$、$7 = 2 \cdot 3 + 1$ を逆にたどって $1 = 7 - 2(31 - 4 \cdot 7) = 9 \cdot 7 - 2 \cdot 31$ となるので $9$ である（$7 \cdot 9 = 63 = 2 \cdot 31 + 1$）。一方 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ では $3 \cdot 4 \equiv 0$ で、$3$ と $4$ は零因子になる。

## イデアルと剰余環

### 定義：イデアルと剰余環

$R$ の加法部分群 $I$ が、任意の $r \in R$、$a \in I$ で $ra \in I$ を満たすときイデアルという。$a$ の倍元全体 $(a) = aR$ を単項イデアル、$a_1, \dots, a_k$ で生成されるイデアルを $(a_1, \dots, a_k) = \{\sum r_i a_i\}$ と書く。剰余類 $a + I$ の全体は $(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$、$(a+I)(b+I) = ab + I$ で環になり、これを剰余環 $R/I$ という。

### 定理・法則：環の準同型定理

条件：

$f: R \to R'$ は環準同型（和と積を保ち、$f(1) = 1$）。

主張：

$\operatorname{Ker} f = \{a : f(a) = 0\}$ は $R$ のイデアルで、$R/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$。

要点：

加法群としての準同型定理に、積を保つことを加えて確かめる。例として $\mathbb{R}[x] \to \mathbb{C},\ g(x) \mapsto g(i)$ は全射で核は $(x^2+1)$ なので、$\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}$。

### 定理・法則：中国剰余定理

条件：

イデアル $I_1, \dots, I_k$ が2つずつ互いに素（$I_i + I_j = R$、$i \ne j$）。

主張：

$$R/(I_1 \cap \cdots \cap I_k) \cong R/I_1 \times \cdots \times R/I_k$$

$R = \mathbb{Z}$ なら、$m_1, \dots, m_k$ が2つずつ互いに素のとき $\mathbb{Z}/m_1\cdots m_k\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_k\mathbb{Z}$。

要点：

互いに素でないと成り立たない。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型でない（前者には位数 $4$ の加法の元がある）。

### 計算例：連立合同式

$x \equiv 2 \pmod 3$、$x \equiv 3 \pmod 5$、$x \equiv 2 \pmod 7$ を満たす $x$ を求めよ。

解答：

$3, 5, 7$ は2つずつ互いに素なので、$105$ を法としてただ1つの解がある。$x \equiv 2 \pmod 3$ と $x \equiv 2 \pmod 7$ から $x \equiv 2 \pmod{21}$。$x = 2 + 21t$ を $x \equiv 3 \pmod 5$ に入れると $2 + t \equiv 3$、$t \equiv 1 \pmod 5$。よって $x \equiv 23 \pmod{105}$。

検算：

$23 = 7 \cdot 3 + 2 = 4 \cdot 5 + 3 = 3 \cdot 7 + 2$ で、3つの条件をすべて満たす。

## 素イデアルと極大イデアル

### 定義：素イデアルと極大イデアル

$P \ne R$ であり、$ab \in P$ なら $a \in P$ または $b \in P$ が成り立つイデアル $P$ を素イデアルという。$M \ne R$ であり、$M \subsetneq J \subsetneq R$ となるイデアル $J$ がないイデアル $M$ を極大イデアルという。

### 定理・法則：剰余環による特徴づけ

条件：

$R$ は単位元をもつ可換環。

主張：

- $P$ が素イデアル $\iff$ $R/P$ が整域。
- $M$ が極大イデアル $\iff$ $R/M$ が体。
- したがって極大イデアルは素イデアルである。

要点：

体の条件は「イデアルが $\{0\}$ と全体だけ」と同値で、$R/M$ のイデアルは $M$ を含む $R$ のイデアルと1対1に対応する。逆に素イデアルは極大とは限らない。$\mathbb{Z}$ では $(0)$ が素イデアルだが極大でない。

### 計算例：$\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルと極大イデアル

$\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $(x)$ と $(2, x)$ が素イデアルか、極大イデアルかを判定せよ。

解答：

$g(x) \mapsto g(0)$ は全射 $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}$ で核は $(x)$。$\mathbb{Z}[x]/(x) \cong \mathbb{Z}$ は整域だが体でないので、$(x)$ は素イデアルだが極大でない。

$g(x) \mapsto g(0) \bmod 2$ は全射 $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で核は $(2, x)$。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は体なので、$(2, x)$ は極大イデアルである。

検算：

$(x) \subsetneq (2, x) \subsetneq \mathbb{Z}[x]$ で、$(x)$ が極大でないことが直接見える。$\mathbb{Z}[x]$ は単項イデアル整域でなく、$(2, x)$ は1つの元では生成できない。

## 多項式環と既約性の判定

### 定理・法則：体上の多項式環

条件：

$K$ は体。$f$ は次数 $1$ 以上。

主張：

$K[x]$ はユークリッド整域で、すべてのイデアルは単項イデアル（単項イデアル整域）である。$f \ne 0$ について

$$K[x]/(f) \text{ が体} \iff f \text{ が } K \text{ 上既約} \iff (f) \text{ が極大イデアル}$$

要点：

割り算 $g = qf + r$（$\deg r < \deg f$）ができることから単項イデアル整域になる。単項イデアル整域では $0$ でない素イデアルは極大で、素元分解が一意に成り立つ。$K[x]/(f)$ の元は $\deg f$ 未満の多項式で一意に表せ、$K$ 上の次元は $\deg f$ である。

- 2次・3次の判定

  $$\deg f \in \{2, 3\}:\quad f \text{ が既約} \iff f \text{ は } K \text{ に根をもたない}$$

  4次以上では根がなくても2次式の積に分かれることがある。$\mathbb{Q}$ 上の $x^4 + 4 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ など。

- アイゼンシュタインの判定法

  $$p \nmid a_n,\ p \mid a_i\ (i < n),\ p^2 \nmid a_0 \ \Rightarrow\ f = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \text{ は } \mathbb{Q} \text{ 上既約}$$

  $a_i \in \mathbb{Z}$、$p$ は素数。$x^3 - 2$ は $p = 2$ で既約と分かる。

- ガウスの補題

  $$f \in \mathbb{Z}[x] \text{ が } \mathbb{Q}[x] \text{ で分解} \Rightarrow \mathbb{Z}[x] \text{ で同じ次数の積に分解}$$

  $\mathbb{Q}$ 上の既約性を整数係数の分解で調べてよい。

- 素数を法とする判定

  $$\bar f \in \mathbb{F}_p[x] \text{ が既約で } \deg \bar f = \deg f \Rightarrow f \text{ は } \mathbb{Q} \text{ 上既約}$$

  逆は成り立たない。$x^2 + 1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約だが $\mathbb{F}_2$ 上 $(x+1)^2$、$\mathbb{F}_5$ 上 $(x-2)(x+2)$ に分かれる。

整域でも素元分解が一意とは限らない。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では $6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ で、ノルム $N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2$ が $2$ や $3$ になる元がないので、4つの因子はどれも既約である。

## 体の拡大と有限体

### 定義：拡大次数と最小多項式

体 $L$ が部分体 $K$ を含むとき $L/K$ を拡大といい、$L$ の $K$ 上のベクトル空間としての次元を拡大次数 $[L : K]$ という。$\alpha \in L$ を根にもつ $K$ 係数の多項式のうち、最高次係数が $1$ で次数が最小のものを最小多項式という。最小多項式は既約で、$K(\alpha) \cong K[x]/(f)$、$[K(\alpha) : K] = \deg f$ である。

### 定理・法則：拡大次数の積の公式

条件：

$K \subset L \subset M$ は体の拡大で、拡大次数は有限。

主張：

$$[M : K] = [M : L]\,[L : K]$$

要点：

$L$ の $K$ 上の基底と $M$ の $L$ 上の基底の積が、$M$ の $K$ 上の基底になる。$\alpha$ の次数 $[K(\alpha):K]$ は、$\alpha$ を含む有限次拡大の次数を割り切る。

### 定理・法則：有限体の構造

条件：

$F$ は有限体。

主張：

- $|F| = p^n$（$p$ は素数、$n \ge 1$）で、各 $p^n$ に対して有限体は同型を除いてただ1つある。これを $\mathbb{F}_{p^n}$ と書く。
- 乗法群 $F^\times$ は位数 $p^n - 1$ の巡回群である。
- $\mathbb{F}_p[x]$ の $n$ 次既約多項式 $f$ について $\mathbb{F}_p[x]/(f) \cong \mathbb{F}_{p^n}$。

要点：

$p$ は $F$ の標数で、$F$ は $\mathbb{F}_p$ 上の $n$ 次元ベクトル空間になる。$\mathbb{F}_{p^n}$ は $x^{p^n} - x$ の根全体として作れる。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は位数 $4$ だが体ではなく、$\mathbb{F}_4$ と異なる。

### 計算例：4元体 $\mathbb{F}_4$ を作る

$\mathbb{F}_2[x]/(x^2 + x + 1)$ が体であることを示し、$\alpha = x \bmod (x^2+x+1)$ について積の表を作れ。

解答：

$x^2 + x + 1$ は $\mathbb{F}_2$ で $x = 0, 1$ のどちらでも値が $1$ なので根がなく、2次式なので既約。よって剰余環は位数 $4$ の体で、元は $0, 1, \alpha, \alpha + 1$。$\alpha^2 = \alpha + 1$（係数は $\bmod 2$）を使うと

$$\alpha \cdot \alpha = \alpha + 1, \quad \alpha(\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha = 1, \quad (\alpha+1)^2 = \alpha^2 + 1 = \alpha$$

検算：

$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha = 1$ で、乗法群 $\{1, \alpha, \alpha^2\}$ は位数 $3$ の巡回群になる。$x^2 + 1 = (x+1)^2$ は $\mathbb{F}_2$ 上既約でないので、$\mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)$ は体にならない（$\alpha + 1$ が零因子）。

### 計算例：$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ での逆元と拡大次数

$\alpha = \sqrt[3]{2}$ とする。$[\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]$ を求め、$1/(1 + \alpha)$ を $a + b\alpha + c\alpha^2$（$a, b, c \in \mathbb{Q}$）の形で表せ。また $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の $\mathbb{Q}$ 上の次数を求めよ。

解答：

$x^3 - 2$ はアイゼンシュタインの判定法（$p = 2$）で既約なので最小多項式で、$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$。$(1 + \alpha)(1 - \alpha + \alpha^2) = 1 + \alpha^3 = 3$ から

$$\frac{1}{1 + \alpha} = \frac{1 - \alpha + \alpha^2}{3}$$

$\beta = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ では $\beta^2 = 5 + 2\sqrt{6}$、$(\beta^2 - 5)^2 = 24$ から $\beta^4 - 10\beta^2 + 1 = 0$。$\mathbb{Q}(\beta) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ で、積の公式から $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]\,[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4$。よって次数は $4$ で、$x^4 - 10x^2 + 1$ が最小多項式である。

検算：

$\alpha \approx 1.26$ で $1/(1+\alpha) \approx 0.4425$、$(1 - 1.26 + 1.587)/3 \approx 0.4425$ と数値でも一致する。$\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は、$\sqrt{3} = a + b\sqrt{2}$ と置くと $a, b$ が有理数にならないことから出る。

## 答案でよくある誤り

1. 素イデアルと極大イデアルを同じものとして扱う。$\mathbb{Z}$ や $K[x]$ では $0$ でない素イデアルは極大だが、$\mathbb{Z}[x]$ の $(x)$ のように素でも極大でないイデアルがある。剰余環が整域か体かで判定する。
2. 4次以上の多項式で「根がないから既約」とする。根の有無で判定できるのは2次と3次だけである。4次では2次式の積に分かれないかも調べる。
3. アイゼンシュタインの判定法の条件 $p^2 \nmid a_0$ や $p \nmid a_n$ を確かめずに使う。条件が成り立たなければ判定法からは何も言えず、$x + 1$ を代入するなどの変形を試す。
4. 位数 $4$ の体を $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ とする。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ では $2 \cdot 2 = 0$ で体でない。$\mathbb{F}_4$ は $\mathbb{F}_2$ 上の2次既約多項式で作る。
5. 中国剰余定理を互いに素でない法に使う。$x \equiv 1 \pmod 4$ と $x \equiv 2 \pmod 6$ は、$\gcd(4, 6) = 2$ を法とした値 $1$ と $0$ が合わないので解がない。解があるかを $\gcd$ を法として確かめる。

## 環と体が出た院試の過去問

### [群論・環論](https://inshihub.com/exam-themes/group-ring-theory)（15大学・71問）

- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-8): B2 商環と単項式半群環
- [大阪大学 数学 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-first#problem-6): B-2 中国剰余型同型とイデアル
- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-5): 対称群の部分群
- [早稲田大学大学院 数学応用数理専攻 専門科目 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mathematics-and-applied-mathematics/2026#problem-4): 代数：最小多項式とガロア群
- [東京科学大学 専門科目（数理・計算科学） 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-computing/mathematical-and-computing-science/2026#problem-4): 群と剰余類
- [熊本大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kumamoto-university/graduate-school-of-science-and-technology/mathematics/2026-first-specialized#problem-1): 対称群の中心化群

解答まで無料で読める演習問題:

- [熊本大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kumamoto-university/graduate-school-of-science-and-technology/mathematics/2026-first-specialized#problem-1): 対称群の中心化群
- [早稲田大学大学院 情報理工・情報通信専攻 専門科目 2023年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/computer-science-and-communications-engineering/2023#problem-1): 情報基礎
- [東京大学 専門科目B 2022年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2022#problem-1): 行列成分の軌道
- [東京大学 専門科目B 2020年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2020#problem-1): Galois閉包と中間体