東大 工学系研究科 電気系工学専攻 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

相互インダクタンスを含む二つのインダクタは，ドットの向きをそろえて電圧を取ると $$v_1=sL_1I_1+sMI_2,\qquad v_2=sMI_1+sL_2I_2$$ で表される。T 型等価回路に直すと共通枝が相互項を担当するので $$L_a=L_1-M,\qquad L_b=M,\qquad L_c=L_2-M$$ となる。仮定 $L_1>M,\ L_2>M$ は直列枝が正になるための条件である。

交流ブリッジは検出器電流がゼロのとき中点電位が等しい。従って左右の上側インピーダンスを $Z_1,Z_2$，下側を $Z_3,Z_4$ と書けば $$\frac{Z_1}{Z_3}=\frac{Z_2}{Z_4}$$ が平衡条件である。相互インダクタンスを含む腕は上の T 型等価回路に変換してからこの式に代入する。 実部と虚部を比較すれば，未知の $L_2$ と $M$ がそれぞれ抵抗比と容量リアクタンスから定まる。

スイッチ投入後の過渡解析では，初期電圧をラプラス領域の独立電源として入れる。結合インダクタを T 型に直したうえで KCL/KVL を書くと，代表的には $$\begin{bmatrix} R+s(L_1-M) & sM & 0\\ sM & R+s(L_2-M) & 1/(sC)\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\ I_2\\ I_C\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}E/s\\ 0\\ C E\end{bmatrix}$$ の形になる。ここで $L_1=L_2=\sqrt2M$ を代入して消去すれば $I_C(s)$ が得られる。分母は二次式となり， 減衰振動の条件は特性方程式の判別式が負であること， $$\Delta<0$$ で判定する。したがって $C$ は抵抗による減衰が臨界値より小さくなる範囲に入る必要がある。

MOS 小信号回路ではゲート電流を 0 とし，ドレイン側に制御電流源 $g_m v_{gs}$ を置く。出力節点の KCL は $$\frac{v_o}{R_D}+sC_Dv_o+g_m v_i=0$$ となるので $$H(s)=\frac{v_o}{v_i}=-\frac{g_mR_D}{1+sR_DC_D}.$$ これは低域通過形で，遮断角周波数は $$\omega_c=\frac{1}{R_DC_D}.$$ 同じ段を三段接続した発振では Barkhausen 条件 $$|H(j\omega)|^3=1,\qquad 3\arg H(j\omega)=-2\pi$$ を用いる。各段が $-120^\circ$ の位相を与える点で発振し， $$\omega_{\mathrm{osc}}=\sqrt3\,\omega_c$$ となる。振幅条件は $$\left(\frac{g_mR_D}{\sqrt{1+(\omega_{\mathrm{osc}}/\omega_c)^2}}\right)^3=1$$ であり，すなわち $$g_mR_D=2$$ が発振開始の目安である。実機では損失と負荷を含めてこの値より少し大きく取る。