東大 工学系研究科 電気系工学専攻 専門科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

点電荷 $Q$ に対して $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおくと $$\boldsymbol E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}(x,y,z),\qquad \phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$ 無限長線電荷では $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ として $$\boldsymbol E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho^2}(x,y,0), \qquad \phi=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\log\frac{a}{\rho}$$ である。基準点 $(a,0,0)$ で $\phi=0$ になるように定数を取った。

四本の線電荷が作る原点近傍の電位を $$\phi(x,y)\simeq \kappa xy,\qquad \kappa=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0a^2}$$ と書けば $$\boldsymbol E=-\nabla\phi=(-\kappa y,-\kappa x,0).$$ 一様磁束密度を $\boldsymbol B=(B,0,0)$ とすると荷電粒子の力は $$\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =q(-\kappa y,\,-\kappa x+Bv_z,\,-Bv_y).$$ 従って $$m\ddot x=-q\kappa y,\qquad m\ddot y=-q\kappa x+qB\dot z,\qquad m\ddot z=-qB\dot y.$$ 束縛条件はこの線形系の固有値が実正部を持たないことであり，磁場による回転項が電気四重極の発散を 上回る範囲として $$m< m_c,\qquad m_c=\frac{qB^2}{\kappa} =\frac{\pi\varepsilon_0a^2 qB^2}{\lambda}$$ を得る。

半径 $a$ の円柱導体に一様電流 $I$ が流れると，Ampere の法則より $$B_\varphi(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi a^2},&0\le r\le a,\\[2mm] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r},&r\ge a. \end{cases}$$ 電界は導体内で $$E_z=\frac{J}{\sigma}=\frac{I}{\sigma\pi a^2}$$ であり，単位長さ単位時間あたりのジュール熱は $$P_J=E_zI=\frac{I^2}{\sigma\pi a^2}.$$ 表面の Poynting ベクトルは $$\boldsymbol S=\boldsymbol E\times\boldsymbol H =-\hat{\boldsymbol r}\,\frac{I}{\sigma\pi a^2}\frac{I}{2\pi a}$$ で内向きである。表面積 $2\pi a$ を掛けると流入電力は $P_J$ と一致する。

平行平板コンデンサでは $$C=\frac{\varepsilon_0\pi b^2}{d},\qquad U_0=\frac{Q^2}{2C}.$$ 放電中の電界は $$E(t)=\frac{Q(t)}{\varepsilon_0\pi b^2}.$$ 半径 $b$ の周回路に Ampere--Maxwell の法則を用いると $$B_\varphi(b,t)=\frac{\mu_0}{2\pi b}\left(-\frac{dQ(t)}{dt}\right)$$ である。十分長時間でコンデンサ内の電磁エネルギーは 0 になるため，Poynting ベクトルで数えた正味の 流出エネルギーは $$U_0=\frac{Q^2}{2C}$$ で，これは抵抗で消費される熱に等しい。