琉大 理工学研究科 物質地球科学専攻・物理系 専門（物理） 2027年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

基準の確認

$\theta_A=0$ で $U_{g,A}=0$ となる。小角では $1-\cos\theta_A\simeq\theta_A^2/2$ である。

小角極限

$s-d=l(\theta_B-\theta_A)+O(\theta^2)$ なので、$U_s$ の二次まで残すと $U_s\simeq kl^2(\theta_A-\theta_B)^2/2$ となり、設問で後に与えられる式と一致する。

幾何学的な次数

二質点の鉛直変位差は角度の二次から始まるため、ばねの厳密な長さには必要だが、ばねエネルギーの二次近似には寄与しない。

二次近似

$\cos\theta\simeq1-\theta^2/2$、$\sin\theta\simeq\theta$ を使えば、問題中に与えられた小振幅ラグランジアンを再現する。

作用反作用

ばね項は二式で逆符号になる。二式を加えるとばね力が消え、同相運動だけが残る。

周波数の大小

逆相ではばねが伸縮するため復元力が増え、$\omega_->\omega_+$ となる。同相ではばねの長さが変わらない。

物理的な見方

全エネルギーは保存されるが、同相・逆相モードの位相差がゆっくり変わるため、各質点に割り当てられる振動エネルギーが交互に増減する。

時間尺度

速い振動の周期は約 $2\pi/\omega_0$、受け渡しの時間は $\pi/\Delta\omega$。$k/m\ll g/l$ なら後者が十分長く、明瞭なうなりになる。

特徴値

$V(0)=\rho R^2/(2\varepsilon_0)$、$V(R)=\rho R^2/(3\varepsilon_0)$、$E(0)=0$、$E(R)=\rho R/(3\varepsilon_0)$ がグラフの基準点になる。

点電荷極限

球外では全電荷 $Q=4\pi R^3\rho/3$ を使うと $E=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$ となる。

ドリフト方向

平均速度は $\bm E\times\bm B/B^2=(E/B,0,0)$ であり、電荷の符号によらない $E\times B$ ドリフトと一致する。

初期条件の検算

$t=0$ で位置・速度はゼロ。初期加速度は $\dot v_y(0)=qE/m$ で、電場方向へ動き始める。

時定数

電流の時定数は $L/R$、電力 $Ri^2$ の時定数はその半分 $L/(2R)$ である。

エネルギー収支

最初にコイルへ蓄えられていた磁気エネルギー $LI^2/2$ が、回路を切り替えた後にすべて抵抗の熱へ変わる。

演算子の順序

$\hat p\hat q$ を $\hat q\hat p$ と同一視すると零点エネルギー $\hbar\omega/2$ が失われる。交換関係を使って並べ替える。

直接の検算

$\hat a(t)=e^{-i\omega t}\hat a(0)$、$\hat a^\dagger(t)=e^{i\omega t}\hat a^\dagger(0)$ なので、積 $\hat a^\dagger(t)\hat a(t)$ の位相は相殺する。

速度比が必要な理由

透過率は振幅比 $|F/A|^2$ ではなく確率流の比である。左右で波数、したがって群速度が違うため、係数 $k_3/k_1$ を掛ける。

極限の検算

$a\to0$ では $\mathcal T=4k_1k_3/(k_1+k_3)^2$ となり、領域1から3への単一段差に一致する。$k_1=k_2=k_3$ なら $\mathcal T=1$ である。

共鳴条件

$k_2a=n\pi$ では中間領域による干渉項が簡単になり、$\mathcal T=4k_1k_3/(k_1+k_3)^2$ となる。左右の媒質が同じなら完全透過する。

確率保存による検算

ポテンシャルが実数なら確率流は全領域で保存される。反射率を $\mathcal R=|B/A|^2$ とすると、境界条件から得る振幅を代入して $\mathcal R+\mathcal T=1$ を確認できる。振幅透過率だけを答えにすると、この検算を満たさない。

完全微分と経路量

$U,S,V$ は状態量だが、熱と仕事は経路に依存する。そのため一般には $dQ,dW$ ではなく $\delta Q,\delta W$ と書き分ける。

固定変数

偏微分の添字を省くと、どの変数を固定した関係か不明になる。導出では一貫して $F=F(T,V)$ と見ている。

次の設問との接続

熱力学だけでは比例係数 $a$ を決められない。光子の状態密度と量子統計を入れることで初めて定数が定まる。

零点エネルギー

この設問では基底状態のエネルギーをゼロに選んでいる。$\hbar\omega/2$ を含めても温度依存する熱エネルギー部分は同じである。

二つの偏光

与えられた状態密度には電磁波の二偏光がすでに含まれている。追加で2倍しない。

温度の四乗

$\omega^3d\omega$ が変数変換で $(k_BT/\hbar)^4x^3dx$ を生むため、$T^4$ が現れる。

符号

光子気体の自由エネルギーは負であり、体積を増やすとさらに下がる。その負の体積微分が正の放射圧になる。

幾何学的希釈

太陽表面の放射束をそのまま地球の値と等置せず、面積比 $(R/A)^2$ を掛ける。

実在の太陽との差

ここでは太陽を一様温度の理想黒体とみなし、吸収や方向依存を無視している。設問の精度では約 $6{,}000\,\mathrm K$ が妥当である。

放射出力による検算

同じ数値から太陽の全放射出力を計算すると $$\begin{equation*} L=4\pi A^2E\simeq4.0\times10^{26}\ \mathrm W \end{equation*}$$ となる。既知の太陽光度の桁と一致するため、距離や面積比の入れ方に大きな誤りがないと分かる。

見積もり誤差の効き方

$T$ は放射束 $E$ の四乗根に比例する。したがって小さな相対誤差について $\Delta T/T\simeq(\Delta E/E)/4$ であり、放射束を二桁で与えた設問から温度を細かく出し過ぎるべきではない。