琉大 理工学研究科 物質地球科学専攻・物理系 専門（物理） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

自然長が消える理由

$L\neq3l_0$ なら各ばねには予張力があるが、三本が同じためつり合い位置は三等分点になる。$l_0$ は定数エネルギー $U_0$ にだけ残る。

モードの形

$u_R=0$ は二質点が同位相で動く低周波モード、$u_G=0$ は逆位相で動く高周波モードである。

静止時の摩擦

水平力は重心に加えられるため回転させない。摩擦がゼロでなければ円柱には未相殺のトルクが生じるので、静止できない。

転がり時の摩擦

静止摩擦は接触点で仕事をしないが、並進エネルギーの一部を回転へ振り分けるために必要である。

検算

求めた一定加速度に $v^2=2As$ を用いると $v^2=4gs\sin\theta/3$ となり、エネルギー法と一致する。

容量による検算

同心球コンデンサーの容量は $C=4\pi\varepsilon_0a(2a)/(2a-a)=8\pi\varepsilon_0a$。$U=Q^2/(2C)$ から同じ結果を得る。

向き

起電力の負号はLenzの法則を表す。問題が大きさだけを求める場合は絶対値を示せばよい。

次元の確認

$\mathcal E^2/R$ は電力、さらに周期相当の時間を掛けるため、最終式はエネルギーの次元になる。

境界の検算

内側・外側の式へ $r=R$ を代入すると、ともに $\mu_0JR/2$ となる。

記述の要点

「電流が変化するから放射する」だけでなく、$\partial_t\bm B$ が $\bm E$ を、$\partial_t\bm E$ が $\bm B$ を生成する二つの式を示す。

位相因子の役割

$e^{ik_0x}$ は確率密度 $|\psi|^2$ を変えないため、位置の期待値には影響しない。一方、運動量の平均を $\hbar k_0$ だけ移す。

この波束の検算

さらに計算すると $\Delta x=\sigma/\sqrt2$、$\Delta p=\hbar/(\sqrt2\sigma)$ であり、積は $\hbar/2$。このガウス波束は等号を満たす。

量子数ゼロを除く理由

$n_x=0$ では $X(x)$ が恒等的にゼロとなり、波動関数にならない。各方向の量子数は1から始まる。

縮退の数え方

箱が立方体なので $x,y,z$ を入れ替えてもエネルギーが変わらない。次準位は「2を置く方向」の3通りである。

自然変数

$U(S,V,n)$、$H(S,P,n)$、$F(T,V,n)$、$G(T,P,n)$ の順に並べると、各全微分の符号を再現しやすい。

符号の検算

混合は一定温度で自発的に進むので $\Delta F<0$ でなければならない。$\log x$ と $\log(1-x)$ が負であることと整合する。

同種気体との違い

ここではA、Bが異なる種類なので、仕切りを外した後も粒子種を区別できる。与えられた式の範囲では正の混合エントロピーが得られる。

$N!$ の役割

同種粒子の入れ替えを別状態として重複計数しないための因子であり、$-N\log N$ を生む。これにより自由エネルギーが示量性をもつ。

次元をもつ対数

厳密には $V(2\pi mkT)^{3/2}/h^3$ のような無次元の組を対数へ入れる。問題の指示に従って、変数に依存しない定数だけを最後にまとめている。