琉大 理工学研究科 物質地球科学専攻・物理系 専門（物理） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

問1　三本のばねと二質点

(1) 力

三本のばねの伸びは順に $x_A-l_0$、$x_B-x_A-l_0$、$L-x_B-l_0$ である。右向きを正とすると $$\begin{align*} F_A&=-k(x_A-l_0)+k(x_B-x_A-l_0)=k(x_B-2x_A),\\ F_B&=-k(x_B-x_A-l_0)+k(L-x_B-l_0)=k(L+x_A-2x_B). \end{align*}$$

(2) つり合い位置

$F_A=F_B=0$ を連立して $$\begin{equation*} x_{A0}=\frac L3,\qquad x_{B0}=\frac{2L}{3}. \end{equation*}$$

(3) ポテンシャル

つり合いからの変位を使うと $$\begin{align*} U&=\frac{k}{2}\{(x_A-l_0)^2+(x_B-x_A-l_0)^2+(L-x_B-l_0)^2\}\\ &=U_0+\frac{k}{2}\{u_A^2+(u_B-u_A)^2+u_B^2\}\\ &=U_0+k(u_A^2+u_B^2-u_Au_B), \end{align*}$$ ただし $U_0=3k(L/3-l_0)^2/2$ は運動に影響しない定数である。

(4) 重心・相対座標

$u_A=u_G-u_R$、$u_B=u_G+u_R$ から $$\begin{equation*} T=m(\dot u_G^2+\dot u_R^2),\qquad U=U_0+ku_G^2+3ku_R^2. \end{equation*}$$ したがって $$\begin{equation*} \mathcal L=m(\dot u_G^2+\dot u_R^2)-ku_G^2-3ku_R^2-U_0. \end{equation*}$$

(5) 固有角振動数

Euler--Lagrange方程式は $$\begin{equation*} \ddot u_G+\frac{k}{m}u_G=0,\qquad \ddot u_R+\frac{3k}{m}u_R=0. \end{equation*}$$

問2　斜面上を転がる一様円柱

(1) 慣性モーメント

面密度を一様とし、半径 $r$、幅 $dr$ の同心円環の質量を $dm=2mr\,dr/a^2$ とすると $$\begin{equation*} I=\int_0^a r^2dm=\frac{2m}{a^2}\int_0^a r^3dr =\frac12ma^2. \end{equation*}$$

(2) 水平力で静止させる場合

重心まわりのトルクをつくるのは接触点の摩擦力だけである。静止条件から $Fa=0$、よって $F=0$。斜面方向と法線方向のつり合いは $$\begin{equation*} f\cos\theta=mg\sin\theta,\qquad N=mg\cos\theta+f\sin\theta. \end{equation*}$$ したがって $$\begin{equation*} f=mg\tan\theta,\qquad N=\frac{mg}{\cos\theta},\qquad F=0. \end{equation*}$$

(3) 滑らない条件

接触点の速度がゼロなので、大きさについて $$\begin{equation*} v=a\omega. \end{equation*}$$

(4) 距離 $s$ 転がった後

力学的エネルギー保存と $I=ma^2/2$ を使うと $$\begin{equation*} mgs\sin\theta=\frac12mv^2+\frac12I\omega^2 =\frac34mv^2. \end{equation*}$$ よって $$\begin{equation*} v=\sqrt{\frac43gs\sin\theta},\qquad \omega=\frac1a\sqrt{\frac43gs\sin\theta}. \end{equation*}$$

(5) 転がり中の摩擦

斜面下向きの加速度を $A$ とし、摩擦は斜面上向きを正の大きさ $F$ とする。 $$\begin{equation*} mA=mg\sin\theta-F,\qquad Fa=I\frac{A}{a}=\frac12maA. \end{equation*}$$ これより $A=2g\sin\theta/3$、$F=mg\sin\theta/3$ である。