琉大 理工学研究科 物質地球科学専攻・物理系 専門（物理） 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

符号の確認

$x_D>0$ はばねが伸びた状態である。座標軸を下向きに取っているため、質点2が質点1から遠ざかるほど $x_D$ は増える。

座標の逆変換

後の計算には $$\begin{equation*} x_1=x_G-\frac{m_2}{M}(l+x_D),\qquad x_2=x_G+\frac{m_1}{M}(l+x_D) \end{equation*}$$ が使える。

採点上の要点

ばねの変位を $x_2-x_1$ とせず、自然長 $l$ を引く必要がある。また、下向き正のため重力項が $L$ の中では正になる。

力の向き

ばねが伸びているとき、上側の質点1は下向き、下側の質点2は上向きに引かれる。二つのばね力は作用反作用の組で、加えると消える。

物理的な分離

一様重力は両質点に同じ加速度を与えるため、差を取ると消える。重力は系全体の落下を決め、ばねは内部運動だけを決める。

初期振幅

保持中は下側の質点2だけの重さとばね力が釣り合うため、初期の伸びは $m_2g/k$ である。手を離すと両質点が落下し始め、相対運動の平衡位置は自然長へ移る。

検算

$x_G$ の式を2回微分すれば $g$、$x_D$ の式を2回微分すれば $-\omega^2x_D$ となり、問4の式を満たす。

極限の確認

$m_1\to\infty$ では上端がほぼ固定され、$T\to2\pi\sqrt{m_2/k}$ となる。通常の一質点ばね振動に一致する。

符号と大きさ

領域1の電場は中心の負電荷へ向かう。領域3では $Q-q$ の符号で向きが変わるため、「大きさ」だけなら $|Q-q|/(4\pi\varepsilon_0r^2)$ とする。

接地の意味

接地は総電荷をゼロにする条件ではなく、導体の電位をゼロにする条件である。

検算

$x=0$ を代入すると $B_P=B_O$ となる。また $x\gg a$ では $B_P\propto x^{-3}$ となり、遠方の磁気双極子場の減衰と一致する。

失点しやすい点

軸上では各辺の磁場そのものを6倍するのではなく、軸方向成分を6倍する。軸に垂直な成分は対称性で消える。

導出の核

電場の時間変化が磁場の回転をつくり、磁場の時間変化が電場の回転をつくる。この連立が、物質のない真空でも波を自己維持させる。

次元の確認

$\mu_0\varepsilon_0$ の次元は速度の逆二乗であるから、$1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ は速度の次元をもつ。

等号条件

等号は、ある実数 $a$ に対して $(\Delta\hat{x}+ia\Delta\hat{p})\psi=0$ となる状態で成立する。ガウス型波束はその代表例である。

境界条件

運動量演算子のエルミート性は部分積分の境界項が消えることに依存する。波動関数の減衰条件を書かずに積分の左右を入れ替えない。

保存されるもの

ユニタリー性により状態の内積と規格化が時間発展で保たれる。これは確率の総和が1のまま変わらないことに対応する。

符号の確認

$i[\hat H,\hat O_H]/\hbar$ と $-i[\hat O_H,\hat H]/\hbar$ は同じ式である。交換子の順序を変えると符号も変わる。

振幅の意味

局所的な確率流は速度に比例する。$p$ が大きい領域で振幅が $p^{-1/2}$ と小さくなることにより、各進行波の確率流が位置によらず一定になる。

適用条件

近似には $|\hbar p'/p^2|\ll1$ が必要である。$p=0$ となる転回点ではこの形をそのまま使えない。

面積による検算

$P$--$V$ 図の閉曲線が囲む符号付き面積が $W$ である。$V_2>V_1$ のとき、$\log r>1-1/r$ より上式は正になる。

自由膨張の注意

「断熱」は $Q=0$、「自由」は外圧ゼロのため $W=0$ を意味する。準静的な断熱膨張とは別の過程である。

自由度の数え方

二原子分子の分子軸まわりの慣性モーメントは点粒子近似で無視できるため、回転は3ではなく2自由度と数える。

低温極限

$x\gg1$ では $C_V\sim Nk_Bx^2e^{-x}$ となる。零点エネルギー $Nh\nu/2$ は温度によらないため、比熱には寄与しない。

高温極限

$\sinh(x/2)\simeq x/2$ を使えば $C_V\to Nk_B$ が直ちに得られ、問2の古典的振動子と一致する。