名大 工学研究科 機械航空系 基礎部門・専門部門 2024年度 院試 解答例・解説

方針

前半は微分と停留点判定，後半は球面上の線形関数と一次変換で処理する。特に (4) は領域の形を直接描くより，$x+y$ と $x-y$ を新しい変数にする方が安全である。

検算

(3) はコーシー・シュワルツの不等式 $$|x+2y+3z|\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{1^2+2^2+3^2} =\sqrt{56}\sqrt{14}=28$$ からも同じ最大絶対値が出る。(4) は変換後の積分領域の面積が $4\cdot 2$，ヤコビアンが $1/2$ なので，元の領域の面積が $4$ になることも確認できる。

典型ミス

$(0,0)$ を極値としてしまう誤りが多い。停留点であることと極値であることは別であり，ヘッセ行列の符号，または近傍での増減を確認する必要がある。また (4) ではヤコビアンの $1/2$ を落とすと答えが 2 倍になる。

試験で書くべきポイント

各小問は結果だけでなく，(2) ではヘッセ行列，(3) では制約条件を満たす点，(4) では変数変換とヤコビアンを明示する。ここが採点上の主要な根拠になる。

方針

重複固有値 $\lambda=2$ の固有空間が 1 次元なので，対角化ではなくジョルダン標準形を使う。問題文の条件 $Av_3=2v_3+v_2'$ は，まさに一般化固有ベクトルを作る条件である。

検算

$n=1$ を代入すると $${}_1 a_{12}=2-1-4=-3$$ となり，元の行列の $(1,2)$ 成分と一致する。$n=2$ では $${}_2 a_{12}=4-4-16=-16$$ であり，直接 $A^2$ を計算しても同じ値になる。

典型ミス

重複固有値があるだけで直ちに $J=\operatorname{diag}(4,2,2)$ としてはいけない。固有空間の次元を確認し，足りない固有ベクトルを一般化固有ベクトルで補う必要がある。

試験で書くべきポイント

特性多項式，固有空間，一般化固有ベクトルの順に書くと採点者が追いやすい。最後の ${}_n a_{12}$ は $P,J,P^{-1}$ の積を全部展開しなくても，必要成分を明示できれば十分である。

方針

常微分方程式は型の判定が最初の得点源である。(1) は分離形，(2) は同次形，(3) は積分因子，(4) は定数係数線形方程式として処理する。

検算

(1) の左辺を微分すると $$\frac{d}{dx}\{(y+4)e^y\}=(y+5)e^y\frac{dy}{dx}$$ となり，右辺 $x^2+C$ の微分 $2x$ と一致する。(4) の特殊解は複素数を使うと早いが，最終答案は実関数で書く必要がある。

典型ミス

(3) で積分因子の公式を逆にして $$\frac{M_y-N_x}{N}$$ を使うと，$y$ のみの関数にならない。$\mu(y)$ を探すときは $$\frac{N_x-M_y}{M}$$ を見るのが正しい。

試験で書くべきポイント

積分因子の導出では，単に $F(y)=y^{-2}$ と書くのではなく，どの式から出したかを 1 行で示す。線形方程式の特殊解は，代入後の係数比較を残しておくと部分点が安定する。

方針

前半は「回転が 0 ならポテンシャルがある」という見方が最短である。後半は回転面を $\theta,u$ でパラメータ表示し，外向きの $r_\theta\times r_u$ を作る。

検算

体積計算では $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\cos2u\,du =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(2\cos^4u-\cos^2u)\,du =\frac{\pi}{4}$$ を使っている。正の値になることは，外向き面積要素の向きが正しいことの確認にもなる。

典型ミス

面積要素ベクトルの向きを逆にすると体積が負になる。また，$A$ の線積分が経路に依存しない理由を「始点と終点が同じだから」とだけ書くのは不十分で，$\nabla\times A=0$ またはポテンシャルの存在を示す必要がある。

試験で書くべきポイント

回転面のパラメータ表示では，$x=\cos u\cos\theta$, $y=\cos u\sin\theta$ と明示する。面積要素は成分をすべて書き，外向きであることを一言添えるとよい。

方針

三角台に固定した非慣性系で解くと，見かけの重力 $$g_{\mathrm{eff}}=g\sin\theta-\alpha\cos\theta$$ が斜面方向に働く問題として整理できる。円板の転がりでは，並進方程式と回転方程式を摩擦力で結び，最後に転がり条件を使う。

訂正資料の反映

基礎部門の訂正では，問題5(7)の指定が「$g,\alpha,\theta$」から「$g,\alpha,\theta,t,x_0$ のうち必要なもの」に直されている。したがって位置は初期位置を含む $$x_G=x_0+\frac13(g\sin\theta-\alpha\cos\theta)t^2$$ として書く。

検算

$\alpha=g\tan\theta$ のとき，斜面方向の有効加速度は 0 であり，質点が静止できる。円板についても $g\sin\theta-\alpha\cos\theta=0$ なら転がり加速度は 0 になるので，式の符号は整合している。

典型ミス

摩擦力の向きを最初から「正」と決めつけると，回転方程式の符号を誤りやすい。本解答では $F$ を $x$ 成分として定義し，時計回り正の角速度に対して $I_G\dot{\omega}=-rF$ と書いて符号を固定している。

試験で書くべきポイント

非慣性力の分解，垂直抗力，摩擦の不等式を明示する。円板では $I_G=Mr^2/2$ の導出を省かず，転がり条件 $\dot{x}_G=r\omega$ をどの段階で使うかをはっきり示す。

方針

ファン・デル・ワールス気体では，内部エネルギーが体積にも依存する点が理想気体と異なる。熱力学恒等式 $Tds=du+p\,dv$ を使うと，仕事・内部エネルギー・エントロピーを一貫して処理できる。

検算

圧縮なので $v_2<v_1$ であり，$\Delta s=R\log((v_2-b)/(v_1-b))<0$ となる。等温圧縮でエントロピーが減ることと一致する。

典型ミス

「気体になされた仕事」と「気体がした仕事」の符号を取り違えやすい。本解答では $W_{\mathrm{by}}$ を一度計算し，最後に $W_{\mathrm{on}}=-W_{\mathrm{by}}$ としている。

試験で書くべきポイント

混合問題ではモル数 $n_A,n_B$ を最初に書くと式が崩れない。熱伝導ではフーリエの法則の負号が温度低下の向きを表すので，$T_i=T_{i-1}-q\Delta x/k_i$ の形まで示す。

方針

前半は円筒面を通る体積流量で $v_r$ を決め，その後ベルヌーイで圧力を求める。後半は連続の式で $B=-A$ を決めてから，渦度とオイラー方程式を順に計算する。

検算

$v_r$ は $r=r_a$ で $$\frac{Ur_a}{2h}$$ となり，内側と外側の式が連続につながる。圧力 $p(r)$ は $r=r_a$ で 0，中心で最大となるので，円板を押すには下向きの外力が必要になる。

典型ミス

流量を $\pi rhv_r$ としてしまうと 2 倍ずれる。半径 $r$ の円筒面の面積は $2\pi rh$ である。また，渦無し判定では速度ポテンシャルを探す前に $\partial v/\partial x-\partial u/\partial y$ を直接計算する方が確実である。

試験で書くべきポイント

ベルヌーイを使う際は，基準点 $r=r_a$ と圧力 $p=0$ を明記する。速度ベクトルマップは厳密な作図でなくても，停留点，向き，対称性が分かるように描けばよい。

方針

点 P が重心からずれると，ばねの伸び $h$ と重心変位 $q$ が一致しない。ここを $q=h-a\theta$ と置き直すことが連成方程式を正しく立てる鍵である。

検算

$a=0$ とおくと連成項が消え， $$m\ddot{h}+k_hh=0,\qquad I\ddot{\theta}+k_\theta\theta=0$$ に戻る。固有方程式も $$(k_h-m\omega^2)(k_\theta-I\omega^2)=0$$ となり，非連成の結果と一致する。

典型ミス

点 P の変位 $h$ を重心変位と同一視すると，連成項の符号が崩れる。また，固有角振動数の大小関係は根を明示的に解かなくても，根の積と和を比較すれば示せる。

試験で書くべきポイント

モード図を描く場合，低次では Q が P より右，高次では Q が重心より左に来ることを反映させる。$h$ が最大の瞬間を描く指定なので，ばね変位と棒の傾きの向きを対応させる。

方針

状態フィードバックの問題は，閉ループ行列 $A-BF$ を先に書くと分母多項式と可観測性が同時に整理できる。ブロック線図は中間信号を 1 つ置いて連立方程式にするのが確実である。

検算

$f_1=1,f_2=0.4$ のとき分母は $s^2+2.4s+4$ であり，これは $\omega_n=2$, $\zeta=0.6$ の標準形と一致する。

典型ミス

ランプ追従の判定で $T(0)=1$ だけを見るのは不十分である。ランプ入力では $1-T(s)$ が少なくとも $s^2$ のオーダーで 0 に近づく必要がある。

試験で書くべきポイント

可観測性は行列式まで書く。ブロック線図は符号を図から読み取り，$H$ のような中間信号を定義してから解くと，フィードバックの符号ミスを避けられる。

方針

集中モーメントはせん断力を変えず，曲げモーメント図だけを不連続にする。反力は上下逆向きの偶力を作り，それが作用モーメントと釣り合う。

検算

$M(x)$ は $x=0,l$ で支点モーメント 0 になり，$x=a$ で $M_0$ だけジャンプする。これは集中モーメントを受ける単純支持ばりの特徴である。

典型ミス

$a>l/2$ の条件を使わずに最大曲げモーメントを選ぶと，応力式を誤る。左側最大 $M_0a/l$ と右側最大 $M_0(l-a)/l$ を比較し，今回は前者が大きい。

試験で書くべきポイント

複合棒では「力のつり合い」と「変形の適合条件」を分けて書く。軸力の符号は $\alpha_2-\alpha_1$ の符号で変わるため，圧縮・引張を言葉だけで決めつけない。