九大 数理学府 数理学コース 基礎科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

左からの積と右からの積を別々に見るより，$A$ の固有ベクトルで作るランク1行列を使うと一気に対角化できる。固有値は「左の固有値 + 右の固有値」になる。

採点の置き所

(1) はスカラー倍と和を保つことを式で示すだけで十分である。(2) は $M(2,\mathbb R)$ を4次元線形空間として扱い，固有値 $2,0,-2$ それぞれの固有空間を行列の形で書くことが主点である。固有値 $0$ は重複度2なので，2次元分の基底を出さないと固有空間の記述として不足する。

検算

$M(2,\mathbb R)$ は4次元であり，上の固有空間の次元は $1+2+1=4$ で合っている。

別解の見方

標準基底 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ に対する $f_A$ の表現行列を作って固有値を計算してもよい。ただし4次行列の計算になるため，本解のように $A$ を先に対角化してランク1行列 $u_\sigma u_\tau^{\mathsf T}$ を使う方が計算ミスが少ない。

方針

原点と無限遠を分ける。原点では $\sin x$ の一次近似，無限遠では振動積分のDirichlet判定法を使う。

採点の置き所

この問題は「原点での特異性」と「無限遠での振動」を分けて書けているかで点が決まる。原点側は $\sin x\sim x$ から $\alpha<2$ を出し，$\alpha\ge2$ では発散する理由も比較で示す。無限遠側は $\alpha>0$ の仮定のもとで $x^{-\alpha}$ が単調に $0$ へ下がること，$\int\sin x\,dx$ の原始関数が有界であることを確認してDirichlet判定法を適用する。

典型ミス

絶対収束と条件収束を混同すると $\alpha>1$ と答えてしまう。無限遠では $0<\alpha\le1$ でも条件収束する点が重要である。

検算

$\alpha=1$ では有名なDirichlet積分 $\int_0^\infty \sin x/x\,dx$ 型で収束する。一方 $\alpha=2$ では原点近くで $1/x$ 型になり発散する。境界値 $1$ と $2$ の役割が異なることを確認すると，答え $0<\alpha<2$ が自然に見える。

方針

非正規行列では $r(X)$ と $X^*X$ の振る舞いが大きく異なる。前半は冪零行列でその差を示し，後半は固有ベクトルと半正定値行列のRayleigh商で評価する。

採点の置き所

(1) は $r(X)=0$ だけでなく，$X^*X$ を実際に計算して正の固有値を持つことを示す。(2) は任意の固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $v$ を取り，$\|Xv\|^2=|\lambda|^2\|v\|^2$ を $X^*X$ のRayleigh商に結びつけるのが中心である。最後に $\lambda$ が任意だったので最大を取れる，と書く。

試験で書くべきポイント

$X^*X$ がエルミート半正定値であることを明記する。これにより最大固有値がRayleigh商を支配する，という標準事実を使える。

典型ミス

$r(X^*X)=r(X)^2$ と無条件に書かない。これは正規行列では成り立つが，一般の行列では特異値と固有値が一致しない。(1) の冪零行列は，その誤解を打ち消すための反例である。

方針

被積分関数は大きな $t$ で $t^{-1/2}$ と同じ主要項を持つ。上界は直接比較，極限は主要項との比較を任意の $\varepsilon$ で挟む。

採点の置き所

(1) は $$\frac{t^2}{\sqrt{t^5+1}}\le t^{-1/2}$$ を見つけ，外側の $1/\sqrt{x}$ まで含めて評価することが主点である。(2) は単に $f(x)\le2$ としただけでは極限値は出ない。十分大きい $t$ で被積分関数が $t^{-1/2}$ に任意に近いことを下からも評価し，$[1,T]$ の寄与が $1/\sqrt{x}$ により消えることを書く。

検算

$\int_1^x t^{-1/2}dt\sim2\sqrt{x}$ なので，外側の $1/\sqrt{x}$ と打ち消し合って極限が $2$ になる。

典型ミス

被積分関数を $t^2/\sqrt{t^5}=t^{-1/2}$ と等号で置き換えない。これは無限遠での漸近であり，厳密な答案では上界と下界，または比が $1$ に近づくことを用いた挟み込みが必要である。