豊橋技科大 工学研究科 情報・知能工学専攻基礎科目 2026年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

状態変数を $$z(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix}, \qquad y(t)=\frac{dx}{dt}$$ とおく。微分方程式は $x''-4x'+3x=0$ なので $$x'=y,\qquad y'=x''=4y-3x$$ である。したがって $$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\-3&4\end{pmatrix}.$$

固有方程式は $$\det(A-\lambda I)= \det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-3&4-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-4\lambda+3 =(\lambda-3)(\lambda-1)$$ である。よって $\lambda_1=3,\lambda_2=1$ とできる。各固有値に対し $$e_1=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ を選べばよい。

固有ベクトルを列に並べて $$P=\begin{pmatrix}1&1\\3&1\end{pmatrix}$$ とおくと、 $$P^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}1&-1\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1/2&1/2\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$$ であり、 $$P^{-1}AP= \begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix} =D$$ となる。$z=Pu$ とおけば $$u'=Du,\qquad u(t)=\begin{pmatrix}c_1e^{3t}\\c_2e^t\end{pmatrix}.$$ 初期条件は $z(0)=(0,2)^{\mathsf T}$ であるから $$u(0)=P^{-1}z(0)= \begin{pmatrix}-1/2&1/2\\3/2&-1/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$ したがって $$z(t)=P\begin{pmatrix}e^{3t}\\-e^t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{3t}-e^t\\3e^{3t}-e^t\end{pmatrix}.$$