豊橋技科大 工学研究科 情報・知能工学専攻基礎科目 2026年度 第1次募集 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\-2&4\end{pmatrix}$$ とおく。固有多項式は $$\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\-2&4-\lambda\end{vmatrix} =(1-\lambda)(4-\lambda)+2 =(\lambda-3)(\lambda-2)$$ である。したがって、大きい方から $$\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=2$$ である。固有ベクトルを第1成分が1の形でそろえると、 $$\lambda_1=3:\quad e_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad \lambda_2=2:\quad e_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$$

よって $$P=(e_1\ e_2)= \begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}= \begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$$ であり、 $$P^{-1}AP = \begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix} =D$$ となる。これは列ベクトル $e_1,e_2$ がそれぞれ $A e_1=3e_1$, $A e_2=2e_2$ を満たすことからも確認できる。

連立微分方程式は $x(t)=P y(t)$ とおくと $$y'(t)=D y(t)$$ に変わる。初期値を $x(0)=(2,3)^{\mathsf T}$ とすれば $$y(0)=P^{-1}x(0) = \begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$$ したがって $$y(t)= \begin{pmatrix}e^{3t}\\e^{2t}\end{pmatrix}, \qquad x(t)= P y(t) = \begin{pmatrix} e^{3t}+e^{2t}\\ 2e^{3t}+e^{2t} \end{pmatrix}.$$

数列については $$\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =A^{n-1}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$ である。初期ベクトルは $e_1=(1,2)^{\mathsf T}$ そのものなので、 $$\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =3^{n-1}e_1 = \begin{pmatrix}3^{n-1}\\2\cdot 3^{n-1}\end{pmatrix}.$$