豊橋技科大 工学研究科 情報・知能工学専攻基礎科目 外国人留学生入試 院試 解答例・解説

状態変数の選び方

二階方程式を一階連立系に直すときは、$x$ と $x'$ を並べたベクトルを作るのが標準である。行列の一行目は $x'=y$ を表すので $(0,1)$、二行目は $y'=-3x+4y$ を表すので $(-3,4)$ になる。

対角化の意味

対角化は、連立した二つの量を固有方向の独立な指数関数に分ける操作である。ここでは初期値を固有ベクトル基底に直すと $(1,-1)$ となるため、二つの指数関数の差として $x(t)$ が現れる。

検算

得られた $x(t)=e^{3t}-e^t$ は $x(0)=0$ を満たす。また $x'(t)=3e^{3t}-e^t$ なので $y(0)=2$ も満たす。さらに $x''-4x'+3x$ に代入すると各指数関数の係数が消える。

順序付きで数える

同時に投げても、三つのサイコロを区別して $(X_1,X_2,X_3)$ と見れば全事象は $216$ 通りで一貫する。途中で順序なしの組を使う場合は、必ず並べ方を掛ける。

最大値の数え方

最大値がちょうど $4$ という条件は直接数えるより、 $$\#\{\max\le 4\}-\#\{\max\le 3\}$$ と差を取るのが速い。境界の「少なくとも一つは $4$」を数え漏らさないための典型手法である。

期待値と分散

和の期待値は常に期待値の和でよい。一方、分散を足してよいのは独立性があるときである。この一文を書いてから $3\operatorname{Var}(X_i)$ とするのが答案として安全である。

水量状態で管理する

この問題は、各コップの名前よりも状態ベクトルで管理すると誤りにくい。移動量は常に $$\min\{S(i),\,C(j)-S(j)\}$$ で決まる。移動元が空、または移動先が満杯なら、その $P$ は実行できない。

履歴によるスキップ

注意すべき点は、手続き $X$ の中でも履歴判定が働くことである。例えば二回目の $X$ の冒頭で $P(A,B)$ をそのまま行うと $(3,7,0)$ になり、これは一回目で既に現れている。したがってここでは状態を変えずに次の $P(B,C)$ へ進む。

採点上の注意

$(9,1,0)$ や $(5,5,0)$ だけを書くより、どの $P$ が履歴でスキップされたかを示す方が安全である。特に「四回の $X$」と「九回の $P$」は数える対象が異なるため、表か状態列を添えて区別する。