九工大 情報工学府 共通科目（数学） 2026年度 院試 解答例・解説

方針

この行列は，対角成分と非対角成分がすべて同じ型でそろっている。したがって，成分和の方向 $(1,1,1)$ と，成分和が $0$ である平面に分けるのが最短である。特性多項式を展開してもよいが，この構造を使うと計算量が大きく減る。

直交対角化の注意

固有値 $6$ の固有空間は2次元なので，固有ベクトルを2本選ぶだけでは足りない。選んだ2本が互いに直交し，さらに長さ $1$ になっていることを確認してから直交行列の列に置く。ここを省くと「対角化」はできても「直交行列による対角化」の答案としては弱い。

二次形式と最大値

$q(x)=x^TAx$ の最小・最大は固有値と直結する。今回は最小固有値が $0$，最大固有値が $6$ であるため，$\|x\|=1$ 上での最大値は $6$ になる。平方和表示は非負性と等号条件を直接読めるので，証明として特に書きやすい。

方向微分の尺度

この問題の方向微分は，方向ベクトルを単位ベクトルに正規化していない定義である。そのため，$\nabla f(a,b)\cdot v$ がそのまま答えになる。単位方向微分と混同して $\sqrt{\lambda^2+\mu^2}$ で割ると値が変わる。

定数関数の証明

「偏微分係数が両方 $0$ だから定数」とだけ書くと，領域が連結であることの使いどころが抜ける。連結でない集合では，成分ごとに別々の定数を取ることがあり得る。したがって，曲線や折れ線で任意の2点をつなぎ，その各線分上で値が変わらない，という流れを明記する。

逆正接の加法公式

単に加法公式を引用すると，値域の枝の問題を見落としやすい。ここでは指定された領域の中で差の偏微分が消えることを示し，基準点で値を合わせる方法が堅い。枝のずれがある場合でも，この方法なら定数差を正しく検出できる。