九工大 情報工学府 共通科目（数学） 2025年度 院試 解答例・解説

像と核の関係

像の基底は「元の行列の列ベクトル」から選ぶ点に注意する。行基本変形後のピボット列そのものを基底として書くのではなく，ピボットの位置に対応する元の列を取る。核は簡約形から自由変数を置けばそのまま得られる。

連立方程式の解構造

$Ax=y$ が解をもつ条件は $y\in\operatorname{Im}A$ である。解が1つ見つかれば，一般解は $$\text{特殊解}+\ker A$$ になる。この構造を書けると，任意定数を含む一般解の意味が明確になる。

漸化式と固有値

行列 $S$ の固有ベクトル分解は，漸化式の解を指数型の和に分ける操作と同じである。初期ベクトルが1本の固有ベクトルそのものなら計算は特に短く，混合している場合は3つの固有モードの係数を初期条件から決めればよい。

テイラー展開の見方

多変数のテイラー展開では，1次項は勾配と変位ベクトルの内積，2次項はヘッセ行列による二次形式である。この形で覚えておくと，極値判定への接続が自然になる。

必要条件と十分条件の違い

$f_x=f_y=0$ は極値の候補を出すだけであり，極値であることまでは保証しない。2次形式が正定値なら近傍で関数値が必ず増えるため極小になる。負定値なら極大，不定値なら鞍点である。

具体例の検算

$\beta>\alpha$ なので，同じ半径なら $y$ 軸方向の重みが大きい。最大点が $(\pm1,0)$ ではなく $(0,\pm1)$ になることは，この重みの大小からも確認できる。さらに $f\ge0$ で $f(0,0)=0$ なので，原点が最小であることもすぐに検算できる。