九工大 情報工学府 共通科目（数学） 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

問題1

行列の列ベクトルを $$c_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\2\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}-5\\-1\\-4\\1\end{pmatrix},\quad c_4=\begin{pmatrix}5\\3\\7\\2\end{pmatrix}$$ と書く。行基本変形により $$A\sim \begin{pmatrix} 1&0&-3&4\\ 0&1&2&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$ となるので，階数は $2$ である。

1. 像の次元は $\operatorname{rank}A=2$ である。第1列と第2列は一次独立で，ピボット列に対応するので，像の基底として $$\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\2\end{pmatrix} \right\}$$ を取れる。
2. 上の簡約形から，$Ax=0$ は $$x_1-3x_3+4x_4=0,\qquad x_2+2x_3-x_4=0$$ と同値である。$x_3=s,\ x_4=t$ とおくと $$x=s\begin{pmatrix}3\\-2\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\1\end{pmatrix}.$$ したがって核の次元は $2$，基底は $$\left\{ \begin{pmatrix}3\\-2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-4\\1\\0\\1\end{pmatrix} \right\}$$ である。
3. 右辺 $y=(-9,3,c,d)^T$ が像に入るためには，ある $a,b$ により $$y=ac_1+bc_2$$ と書ければよい。第1・第2成分から $$a-b=-9,\qquad a+b=3$$ なので $$a=-3,\qquad b=6$$ である。よって $$c=2a+b=0,\qquad d=a+2b=9$$ となる。 このとき1つの特殊解は $$x_0=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\\0\end{pmatrix}$$ であり，一般解は特殊解に核を加えて $$x= \begin{pmatrix}-3\\6\\0\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}3\\-2\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad (s,t\in\mathbb{R})$$ である。

問題2

1. 固有方程式を計算すると $$\det(\lambda I-S) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1)$$ である。したがって固有値は $1,2,-1$ である。 それぞれの固有ベクトルとして $$\lambda=1:\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad \lambda=2:\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix},\qquad \lambda=-1:\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$ を取れる。
2. 初期ベクトルが $$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$$ であり，これは固有値 $2$ の固有ベクトルである。したがって1回作用させるごとに $2$ 倍されるので $$a_n=2^{n-1}$$ である。
3. 一般には $$a_n=C_1\cdot 1^{n-1}+C_2\cdot 2^{n-1}+C_3(-1)^{n-1}$$ とかける。初期条件 $a_1=2,\ a_2=0,\ a_3=2$ を代入すると $$C_1+C_2+C_3=2,\quad C_1+2C_2-C_3=0,\quad C_1+4C_2+C_3=2.$$ これより $C_2=0,\ C_1=C_3=1$ である。したがって $$a_n=1+(-1)^{n-1}$$ である。