北大 理学院 物性物理学専攻・宇宙理学専攻 物理学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

前半は、自然長を含む座標 $x_j$ のまま固有値問題に入ると式が長くなる。静止位置 $c_j$ からの変位 $q_j=x_j-c_j$ に直して、ばねの伸びを $q_2-q_1$, $q_3-q_2$ と書くのが最短である。後半は、支点まわりの剛体回転であり、まず対称軸まわりの慣性モーメント、次に重力トルクを見る。

途中式の意味

連成振動の行列は $$\frac{k}{m} \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix}$$ の固有値問題である。端の台車にはばねが1本だけ、中央の台車にはばねが2本効くため、対角成分が $1,2,1$ になる。固有値 $0$ は全体の並進であり、ばねが全く伸びない運動を表す。

検算

$(A,A,A)$ では $q_2-q_1=q_3-q_2=0$ なので復元力はゼロである。$(A,0,-A)$ では中央は動かず左右が逆位相、$(A,-2A,A)$ では中央が大きく逆向きに動く。節の数が増えるほど振動数が大きくなるので、$\sqrt{k/m}$, $\sqrt{3k/m}$ の順序も物理的に妥当である。

典型ミス

弾性エネルギーを $\frac{k}{2}(x_2-x_1)^2+\frac{k}{2}(x_3-x_2)^2$ と書くと自然長 $l$ を落としている。ただし固有振動では、静止位置からの変位に直すと $l$ は消える。また、特性方程式で $m\omega^2-k$ と $k-m\omega^2$ の符号を混在させると固有値の符号を誤りやすい。

試験で書くべきポイント

ラグランジアン、3本の運動方程式、行列式の非自明解条件、3つの固有振動数、3つの固有ベクトルを順に書けば満点に近い。コマでは、重心が支点から距離 $l$ にあること、トルクが $\mathbf{r}_{\mathrm{G}}\times M\mathbf{g}$ であること、トルクの向きが保存量を決めることを明記する。

方針

この問題は「場がエネルギーを運ぶ」ことと「結合した回路のエネルギー」を同じ電磁気の言葉で扱う構成である。コンデンサでは $\mathbf{E}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{S}$ の向きを丁寧に決める。コイルでは鎖交磁束からエネルギーを作り、最後の力は $M$ の距離依存性だけを微分する。電磁波では、時間依存を $e^{i\omega t}$ とした符号に合わせる。

検算

ポインティングベクトルの大きさは $$\frac{V}{d}\frac{I}{w}$$ であり、断面積 $dw$ を掛けると $VI$ になる。これは抵抗の消費電力と一致し、向きも電源から負荷へ向かう。導体中の波では、$\sigma$ が大きいほど $\alpha$ が大きくなり、表皮深さ $1/\alpha$ が短くなるので物理的にも正しい。

典型ミス

$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$ の順序を逆にして向きを反対にするミスが多い。また、コイル2の微分方程式では誘導起電力の符号を落としやすい。符号規約が逆でも、最初に電流の正方向を明記し、その規約で一貫していればよい。力の符号は「正の $x$ 方向」をどう定義したかに依存するため、答案では $F=\partial U/\partial x$ を採用した条件を添える。

試験で書くべきポイント

コンデンサでは電荷、磁場、ポインティングベクトル、面積積分の4行をそろえる。相互インダクタンスでは $dU=I_1d\Phi_1+I_2d\Phi_2$ を出発点にする。導体中の波では、$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$ を使って $\nabla\times\nabla\times\mathbf{E}=-\nabla^2\mathbf{E}$ とする点を書かないと、波動方程式の導出が飛んで見える。

方針

前半は、調和振動子を生成消滅演算子で対角化し、2粒子問題を重心運動と相対運動に分ける。後半は、縮退部分空間だけを取り出して摂動行列を対角化する。クーロンポテンシャルの具体的な動径関数は不要で、角運動量の代数だけで決まる。

途中式の意味

2粒子ばね系で全運動量が保存するのは、ポテンシャルが $\hat{x}_2-\hat{x}_1$ だけに依存し、全体を同じだけ平行移動してもハミルトニアンが変わらないからである。相対座標の換算質量が $m/2$ になるため、単振動の角振動数は $\sqrt{2k/m}$ になる。

検算

$k'\to 0$ とすると、追加ポテンシャルつきの固有値は $\lambda_+=2k$, $\lambda_-=0$ となる。これは元の問題の相対振動と自由な重心運動に戻るので正しい。摂動 $\mathbf{B}\cdot\mathbf{L}$ では $l=0$ の $2s$ が動かず、$l=1$ の3状態だけが $-\lambda B\hbar,0,+\lambda B\hbar$ に分かれる。

典型ミス

$\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ を $\hat{a}\hat{a}^{\dagger}$ と取り違えるとゼロ点エネルギーの符号がずれる。2粒子系では相対運動の質量を $m$ としてしまい、$\sqrt{k/m}$ と答えるミスが多い。縮退摂動では、元の $Y_1^m$ 基底のまま対角成分だけを見ると、$\mathbf{B}$ が $z$ 方向でない場合に誤答になる。

試験で書くべきポイント

非縮退摂動の式だけでは縮退問題の答案にならない。必ず縮退部分空間の行列 $W_{ab}$ と永年方程式を書く。$f(r)\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}$ では、対称性で曖昧に説明するより $\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p})=0$ と書くのが最も強い。最後の問題では、量子化軸を $\mathbf{B}$ 方向に取り直すと明記すれば、固有関数の意味が明確になる。

方針

ヒートポンプは、まず与えられた $PV=U/3$ から $U=3PV$ とし、各過程の熱を第一法則で計算する。断熱指数が出れば、体積比を消去して性能指数を圧力比だけで表せる。統計力学は、カノニカル分布の運動量部分が位置部分から分離すること、流出分子は $v_x$ で重み付けされることが中心である。

検算

$P_B<P_A$ なので $(P_B/P_A)^{1/4}<1$ であり、$\epsilon_c$ は正である。また $T_A>T_B$ なら $\epsilon_c=T_B/(T_A-T_B)$ はカルノー冷凍機の標準形と一致する。流出率の係数 $$\sqrt{\frac{k_BT}{2\pi m}}$$ は速度の次元を持つため、$(S/V)$ と掛けると $1/\text{time}$ になる。

典型ミス

定圧圧縮での熱を $P_A(V_2-V_1)$ だけにしてしまうと、内部エネルギー変化を落としている。ここでは $U=3PV$ なので定圧過程の熱は $4P\Delta V$ になる。流出問題では、穴を通過する分子の分布を容器内の $v_x$ 分布そのものと誤解しやすい。速い分子ほど単位時間に穴へ到達しやすいため、必ず $v_x$ の重みが付く。

試験で書くべきポイント

熱力学恒等式の導出では、$dS=(1/T)dU+(P/T)dV$ と書いてから混合微分の等式を使うと筋が見える。統計力学では、相互作用ポテンシャル $\Phi$ が速度分布に影響しない理由を「運動量積分と配置積分が分離する」と明記する。流出の微分方程式では、数密度 $N/V$、穴の面積 $S$、正の速度成分 $v_x$ の3つを掛けて流束を作るところが採点対象である。