北大 理学院 物性物理学専攻・宇宙理学専攻 物理学 2021年度 院試 解答例・解説

方針

前半は剛体運動を「重心の並進」と「重心まわりの回転」に分けるのが最短である。微小振動なので、運動エネルギーは角度の時間微分の2次、重力ポテンシャルは角度の2次まで残す。後半は4元運動量保存を二乗し、電子の質量殻条件と光子の質量ゼロ条件を使って最大エネルギーの幾何を指定する。

途中式の要点

吊り下げ問題では、重心の横変位は2端の平均、棒の回転は2端の差で決まる。このため $\Theta_+$ と $\Theta_-$ が自然な基準座標になる。ポテンシャルエネルギーで $$\theta_1^2+\theta_2^2=\frac{1}{2}(\Theta_+^2+\Theta_-^2)$$ を使うと、ラグランジアンが完全に対角化される。張力の問題では、切断直後の端2の鉛直加速度がゼロという拘束条件を書けるかが勝負である。

検算

$\Theta_+$ モードでは $\theta_1=\theta_2$ なので棒は水平のまま動き、普通の単振り子と一致しなければならない。実際に $\omega_+=\sqrt{g/L}$ となる。$\Theta_-$ モードでは $\theta_1=-\theta_2$ で重心は横に動かず、回転だけなので単振り子より速い。張力 $mg/4$ は静止時の各糸の張力 $mg/2$ より小さく、切断直後に棒が回転し始めることとも整合する。

典型ミス

重心の鉛直変位を $-L(\theta_1+\theta_2)^2/8$ のように平均角だけで書くと、回転モードの復元力が消えてしまう。各端の高さ低下を先に計算してから平均を取ること。また、逆コンプトン散乱では $4\gamma^2\varepsilon$ だけを書いて反跳補正の分母を落としやすい。今回の数値では補正因子が約 $1.31$ で、無視すると3割程度ずれる。

試験で書くべきポイント

慣性モーメントは積分範囲を明記する。ラグランジアンでは $T$ と $V$ を分け、どの項まで残すかを書く。相対論の設問では、まず $p_1+p_2=p_3+p_4$ と質量殻条件を書き、最大エネルギーが正面衝突・前方散乱で得られることを一言添えると答案として強い。

方針

球対称の静電場は電場 $\mathbf E$ ではなく電束密度 $\mathbf D$ にGaussの法則を適用する。誘電率が場所に依存しても、自由電荷を包む球面では $D_r=Q_{\mathrm{free}}/(4\pi r^2)$ が先に決まる。電磁波の後半は、境界条件を電場だけでなく磁場にも立て、反射波の磁場符号を正しく扱う。

途中式の要点

誘電体中では $$E=\frac{D}{\varepsilon(r)} =\frac{Q/(4\pi r^2)}{\varepsilon_0 r/s} =\frac{Qs}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$ となる。ポテンシャルは領域ごとに積分定数をつなぐより、無限遠から区間積分を足すとミスが少ない。接地時はBの電位がゼロで、外側の電場もゼロになる点が非接地の場合との違いである。

検算

容量の分母は長さの逆数の次元をもつので、$4\pi\varepsilon_0$ で割ると容量の次元になる。もし $b=s$ と近い極限を考えると、誘電体部分の寄与が真空球殻の積分に連続的につながる。光の反射率は $n=1$ で $r=0$, $t=1$, $R=0$ になり、媒質差が消える極限と一致する。

典型ミス

導体Bを接地しない設問で、Bの外側の電場をゼロにしてしまう誤りが多い。孤立した中性導体では内面と外面に誘起電荷が分かれるため、外側にも電場が残る。電磁波では $E_i-E_r=nE_t$ のマイナス符号を落とすと、$r$ の符号が逆になる。符号は位相反転を表すため、振幅反射率の問題では重要である。

試験で書くべきポイント

各領域の式を場合分けで明示し、導体内部では電場がゼロであることを書く。Maxwell方程式から波動方程式を出す設問では、$\nabla\cdot\mathbf E=0$ を使って $\nabla\times\nabla\times\mathbf E=-\nabla^2\mathbf E$ とする過程を書く。境界条件は「接線成分が連続」と言葉でも式でも示すと採点者に伝わりやすい。

方針

調和振動子は交換関係、数演算子、相互作用表示の3段階に分ける。時間依存摂動は、与えられた指数演算子の公式を使うために、最終的な時間発展を $a$ と $a^\dagger$ の指数に分解する。散乱問題は、確率流で $R,T$ を定義し、有限幅井戸では境界条件を4本立てて反射振幅を求める。

途中式の要点

$U(t)$ では $a$ に $e^{-i\omega t}$、$a^\dagger$ に $e^{i\omega t}$ が付く。時間積分後に両者の係数が同じになるのは、$f(t)$ が偶関数であるためである。散乱の反射率では、井戸の中の波数 $k_2$ が外側の $k_1$ より大きい点に注意するが、式の形は有限障壁と同じで $k_2$ を実数として扱えばよい。

検算

$P_n$ はPoisson分布であり、 $$\sum_{n=0}^{\infty}P_n=e^{-A^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{2n}}{n!}=1$$ となる。井戸散乱では $\sin(k_2\ell)=0$ のとき $R=0$ になり、井戸内に半波長が整数個入る共鳴透過の条件と一致する。$V_0\to 0$ では $k_1=k_2$ となり、幅に関係なく $R=0$ になることも確認できる。

典型ミス

$p$ の逆変換の符号を間違えると $H_0$ の零点エネルギーが正しく出ない。相互作用表示では $e^{iH_0t/\hbar}$ と $e^{-iH_0t/\hbar}$ の順序を逆にしないこと。散乱では透過率を $|F/A|^2$ としてよいのは左右の漸近領域の波数が同じだからであり、一般には速度比を掛ける必要がある。

試験で書くべきポイント

連続の方程式はSchrodinger方程式と複素共役を並べて引き算する形を示す。井戸の反射率は最終式だけでなく、4つの接続条件を明記すれば途中点を取りやすい。無反射エネルギーでは $E>0$ の制限を書き忘れない。

方針

理想気体では $1/N!$ と $h^{3N}$ を含む古典分配関数から出発する。平均場Isingは、1スピン問題に落として自己無撞着方程式を作り、$M=0$ 近傍の傾きで転移温度を決める。熱機関は効率だけでなく熱流量も $T$ に依存するため、仕事率 $W(T)$ を最大化する。

途中式の要点

エントロピーの示量性は、Stirling公式で $N!$ を入れた後に初めて正しく出る。平均場方程式では $$M=\tanh\left(\frac{T_c}{T}M\right)$$ まで簡約してから、$\tanh x\simeq x-x^3/3$ を使う。熱機関では、$T$ を上げると効率は上がるが熱流 $K(T_h-T)$ は下がるため、その積に最大が生じる。

検算

理想気体の結果は $PV=Nk_BT$ と $U=3Nk_BT/2$ を再現する。$S$ は $N,V$ を同時に2倍にすると2倍になり、Gibbsのパラドックスを避ける形になっている。平均場Isingでは $T\to 0$ で $M\to \pm1$、$T\to T_c-0$ で $M\to 0$ となり物理的である。熱機関の最大効率式は $T_h=T_c$ でゼロになり、温度差がない極限と合う。

典型ミス

理想気体で $1/N!$ を落とすと、エントロピーが示量変数にならない。Ising模型では相互作用のペア数 $z$ を入れ忘れると $T_c$ がずれる。また、$mH$ の $m$ は磁気モーメントの大きさであり、理想気体の質量 $m$ とは別文脈で使われている点に注意する。熱機関ではCarnot効率をそのまま最大化して $T=T_h$ としてしまうと、熱流がゼロになり仕事率もゼロになる。

試験で書くべきポイント

分配関数の位相空間積分、Stirling公式の適用、熱力学量を微分で出す流れを書く。平均場では $Z_i$ から $\langle S_i\rangle$ を計算して自己無撞着方程式に至る過程が採点対象である。熱機関では $W=K(T_h-T)(1-T_c/T)$ を明示し、微分して最大条件を出すだけで簡潔に満点答案にできる。