筑波大数学の院試対策｜3問選択・冬入試・2026年度の解答解説

筑波大学数学学位プログラムの専門試験は、2026年度の夏・冬とも6問から3問選択です。微積分・線形代数・代数をすべて選ぶ義務はありません。各問の証明まで見て、3問を最後まで書ける組合せを練習します。

選択数と試験時間を確認する

答案は1題につき1枚で、問題番号と該当する選択肢の記号を記入します。2026年度の第5問を選ぶ場合はC・Dの両方に解答します。第3問・第6問のように枝を一つ選ぶ形式と混同せず、各問冒頭も読んでください。出典：数学学位プログラムの公式過去問の各冊子。次年度も同じ出題数とは限りません。

2027年度一般の専門は180分です。配点は専門600点、英語100点、口述300点。冬は2027年1月27日に専門、翌28日に専門等に関する個別面接があります。出願日程・教員の内諾・英語成績の提出方法を確認してから演習計画を組んでください。

2026年度8月期・第2問：階数から表現行列と対角化へ

公式問題PDFの3ページの全4小問を解説します。与えられた行列の階数が3であるという条件から、像上の線形変換が対角化できないことまで示す問題です。行列の最初の3列を順にu₁、u₂、u₃、像をWとします。

（1）階数3となるパラメータ

上から3行・左から3列の小行列は下三角で行列式1です。したがって、どのaでも階数は3以上です。一方、4行全体では次の行列式になります。

行列式が0という条件だけでは、一般には階数が3とまでは言えません。この問題では3次小行列式が0でないことが必要な補足です。

（2）u₁、u₂、u₃がWの基底になる理由

先ほどの3次小行列式から3本の列は一次独立です。すべてAの像に属し、Wの次元は階数と同じ3なので基底です。a=−1のとき第4列u₄は次のように表せます。

（3）像に制限した変換の表現行列

AはWをWに写します。実際、w=AxならAw=A(Ax)も像に入ります。基底ベクトルにAを作用させ、その結果をu₁、u₂、u₃の係数で書き直すと、表現行列の各列が得られます。

検算ではU=(u₁ u₂ u₃)としてAU=UBを確認します。Aの左上3×3をそのままBにすることはできません。Wで使っている基底が標準基底とは異なるためです。

（4）実数上で対角化できないことの証明

固有値0の代数的重複度は2ですが、固有空間の次元は1です。固有値2の固有空間は1次元なので、固有ベクトルを3本の基底にできません。したがって、Bを対角化する実正則行列は存在しません。「重根があるから対角化できない」だけでは証明にならず、固有空間の次元を計算することが決め手です。

180分で3問を書き切る練習

演習の一例は、最初の10分で問題と枝を確認し、3問に各50分、最後の20分を検算に使う配分です。これは練習用の目安で、問題ごとの公式配点を仮定したものではありません。計算問題だけで3問を選ぶと、後半の証明で止まることがあります。選択前に各問の最後の小問まで読みます。

• 線形代数：階数・像・核の次元、基底の取り方、表現行列、固有空間まで一続きに説明する。上の第2問でAU=UBを自力で検算する。
• 微積分：停留点だけで結論にせず、極値の判定、積分領域の変換、広義積分の収束を確認する。
• 代数・幾何・解析の選択：使う定理の仮定を問題の条件から確認する。例えば準同型では像と核、位相では連続性やコンパクト性の定義を書けるかを確認する。

冬の受験者は冬の問題冊子を本番用として解いてください。2025年度冬の5問と2026年度冬の6問のように、同じ期でも選択肢の数は変わります。夏の問題も補充演習に使えますが、必ず受験する期の冊子を通して解く回を作ります。

公式過去問と年度別の解答・解説

公式サイトには問題と出題意図があります。出題意図は答案の計算過程を示す解答ではありません。院試hubでは2023・2024年度、2025・2026年度の夏・冬、計6実施回35問の解答・解説を収録しています。収録年度と見本は筑波大数学の解答・解説ページで確認できます。

2027年度の試験日程・配点は数理物質科学研究群の博士前期募集要項第8節に基づきます。選択数は上記の過去問の指定です。募集要項の年度と過去問の年度を分けて確認してください。