北大 工学院 機械・宇宙航空工学系研究室群 専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

ねじり問題では，まず「切断面より片側にある外力モーメントの和」を内ねじりモーメントにする。今回のように分布ねじりモーメントが途中までしか作用しない場合，区間を分けることが最重要である。

ねじれ角の積分

微小区間のねじれ角は $$d\phi=\frac{T(x)}{G I_p}\,dx$$ である。$T(x)$ が荷重区間で三角形，不荷重区間で一定になるため，右端ねじれ角は三角形面積と長方形面積の和としても検算できる。

両端固定の反モーメント

両端固定では，力のつり合いだけでは左右反モーメントを決められない。追加条件は「右端と左端の相対ねじれ角が 0」である。答案では $$\int_0^L \frac{T(x)}{G I_p}\,dx=0$$ を明記すると，静定問題との違いがはっきりする。

典型ミス

$0\le x\le 2L/3$ で $T_1=\tau(2L/3-x)$ としてしまう誤りが多い。$x$ は右端から測っているので，切断面より右側に残る分布モーメントの長さは $x$ である。座標の取り方を図に戻して確認すること。

方針

この設問は，門型ラーメンを「水平はり」と「左右の片持ちはり」に分け，角部での力・モーメント・たわみ角の整合を使う近似解析である。軸変形は無視するので，脚部上端の水平変位は 0 として扱う。

角部条件

柱の上端に水平力 $N$ と端モーメント $M$ が作用すると，水平変位とたわみ角は片持ちはり公式で表せる。水平変位を 0 とおくことで $N$ と $M$ の関係が出る。さらに，剛節角部では水平スパンと脚部のたわみ角が等しいため，もう一つの式が得られる。

検算

$R$ は全体の鉛直つり合いからただちに $W/2$ でなければならない。$M$ は $WL$ の次元，$N$ は $W$ の次元，たわみは $WL^3/EI$ の次元であり，最終式はすべて次元的に整合している。

典型ミス

水平内力 $N$ を 0 としてしまうと，柱上端の水平変位条件を満たせない。左右対称だから水平反力が消えるのではなく，左右で向きが反対の内力として現れる，と考える。

方針

前半は「負の質量」を用いた合成重心・合成慣性モーメントで処理する。後半は円板中心の並進運動と中心まわりの回転運動を分け，最後に純転がり条件を使う。

有孔板の検算

円孔が上側にあるため，重心は下側へ移動する。したがって $y_G$ は負である。$e=0$ とおけば $y_G=0$ となり，中心孔をもつ正方形板の式に戻る。

転がり条件

内側転がりでは，中心の公転角 $\theta$ と円板の自転角が同じではない。問題で与えられた $\phi=a\theta/b$ を使うと，接触点でのすべりなし条件が回転方程式に反映される。

典型ミス

円板の慣性モーメントに $Mb^2$ を使う誤りが多い。一様円板なので $I_{O'}=Mb^2/2$ である。また，重心まわりの慣性モーメントでは，最後に平行軸の項 $mOG^2$ を引く必要がある。

方針

前半は周波数応答と Routh 判別，後半は標準 2 次系の状態空間表現である。原点極を見落とすと安定性の判定を誤る。

位相交差の見つけ方

$G(j\omega)$ は原点極で $-90^\circ$ を持つ。二次因子がさらに $+90^\circ$ の偏角を持つと，全体の位相が $-180^\circ$ になる。したがって実部 $8-\omega^2=0$ を使えばよい。

状態フィードバック

$u=[f_1\ f_2]x$ は入力に正符号で加わる設定である。そのため特性方程式は $5+f_1$ ではなく $5-f_1$ になる。符号規約を問題の式に合わせることが採点上重要である。

検算

ステップ定常値は DC ゲインで確認できる。$G(0)=1/5$ なので，大きさ $A$ のステップの定常値は $A/5$ である。$0.1$ を得るには $A=0.5$ となり，時間応答を解かずに確認できる。

方針

この問題は，容器全体・ノズル単体・流体検査体積の三つを分けて力のつり合いを立てる。速度と圧力は連続式と Bernoulli 式で先に決めておくと，運動量式の整理が短くなる。

運動量流束の向き

流体は右向きに噴出するため，流体は右向き運動量を持ち出す。したがって容器・ノズル側は反作用として左向きの拘束力を必要とする。この向きの判断を先にしておくと，符号の検算になる。

圧力項の扱い

出口圧力は大気圧であり，ノズル外壁にも大気圧が作用する。大気圧を絶対圧で扱う場合は，内外の投影面積を丁寧に差し引く必要がある。ゲージ圧で扱えば同じ結果に到達する。

典型ミス

$v_1=V$ としてしまう誤りが多い。収縮ノズルなので断面積が変化し，連続式から $v_1=(d_2/d_1)^2V$ である。また，力のつり合いだけでなく，流体の運動量変化を含めること。

方針

二次元ポアズイユ流れを解き，その流量を液面降下の体積保存式に接続する。速度分布は放物線，流量は圧力勾配に比例する。

せん断応力の検算

$\tau_{xy}$ は $y$ に対して直線で，流路中央で 0 になる。上下壁で符号が反対になるのは，壁が流体を減速する向きにせん断力を及ぼすためである。

液面降下

流量が $H$ に比例するため，液面高さは指数関数的に減少する。したがって粘性係数の推定式には $H_0-H_1$ ではなく $\ln(H_0/H_1)$ が現れる。

典型ミス

圧力勾配を $\rho gH$ としてしまうと次元が合わない。正しくは流路長さ $\ell$ で割って $$-\frac{dp}{dx}=\rho gH/\ell$$ である。

方針

符号規約を最初に固定する。ここでは「系に入る熱」を正，「系が外部へする仕事」を正にしている。この規約では第一法則は $dU=\delta Q-\delta L$ である。

有効仕事

$p_0dV$ は周囲を押しのけるために必ず消費される仕事である。軸仕事や電気仕事のように外部で取り出せる仕事を考えるときは，この押しのけ仕事を差し引く。

エクセルギーとの関係

可逆過程で有効仕事が最大になる。実際の不可逆過程ではエントロピー生成により有効仕事が失われ，その損失は周囲温度を掛けた形で評価される。

典型ミス

$\delta Q=TdS$ は可逆過程でのみ成り立つ。不可逆過程では一般に $\delta Q<TdS$ であり，この区別を答案に書くと安全である。

方針

タービンは可逆断熱なので比エントロピー一定で状態を追う。湿り蒸気域では乾き度を用いてエンタルピーを補間し，過熱蒸気表にない値は直線補間する。

ランキンサイクルの熱効率

ポンプ仕事を無視するので，正味仕事はタービン仕事である。吸熱量はボイラでの $h_3-h_1$，再熱サイクルではこれに再熱器の吸熱量 $h_\mathrm{re}$ が加わる。

検算

再熱により低圧タービン入口のエントロピーが大きくなるため，低圧タービン出口の乾き度は単純ランキンの $0.804$ より大きい $0.881$ になる。これは再熱の目的と一致している。

典型ミス

再熱サイクルの分母に $h_\mathrm{re}$ を入れ忘れると，効率を過大評価する。再熱で仕事は増えるが，同時に熱も追加投入している点を必ず反映する。