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関東 · 東京農工大学

農工大知能情報の院試過去問・解答｜数学・専門科目

農工大の2026年度共通数学4問を、極値・二重積分・行列・微分方程式の途中計算と領域図で解説。知能情報の専門科目2024〜2026年度18問の出題比較、公式PDF、2027年度の専門3題必答への変更も確認できます。

最終更新: 2026/10/17

東京農工大学の6専攻・公式過去問を見る

東京農工大学の知能情報システム工学専攻は、工学府博士前期課程の公式ページで数学と専門科目を別々に公開しています。このページには2026年度の共通数学4問の解答と、専門科目の2024〜2026年度・18問の出題比較を掲載しています。他専攻の公式問題は、農工大の院試過去問一覧から専攻を選べます。

知能情報の数学・専門科目の公式過去問PDF

数学と専門科目は別のPDFです。2026年度は、どちらも問題と公式の筆答解答例が同じファイルに入っています。数学は生体医用システム工学・化学物理工学・機械システム工学とも共通です。

入試年度数学専門科目
2026年度問題・解答例問題・解答例
2025年度問題問題
2024年度問題問題

2026年度の専門PDFには口述試験の評価の観点も載っています。年度は工学府の公式一覧の表記で、R8の表紙は「2025年10月・2026年4月入学」です。2026年10月16日時点で同一覧に2027年度の過去問は掲載されていません。

2026年度の共通数学4問を解く

2026年度の数学・PDF2ページは、第1問が2変数関数の極値、第2問が2重積分、第3問が行列、第4問が初期条件付き微分方程式です。4題すべてに解答し、論証や計算過程が分かるように書く指定です。専門科目の「6問から3問選択」と取り違えないでください。

以下は院試hubによる解説です。全6ページの公式PDFにある3〜6ページの解答例と照合し、途中計算と条件の意味を説明しています。専門科目18問の年度比較と販売PDFは、この共通数学4問とは別です。

2026年度数学第1問：停留点を求めて極値を判定する

公式問題2ページの第1問の関数について、まず偏微分がともに0となる点を探します。定義域に境界はないので、極値を取る点はこの条件を満たします。

f(x,y)=2x3−3xy2+3x2−6y2+1f(x,y)=2x^3-3xy^2+3x^2-6y^2+1
fx=3(2x2+2x−y2),fγ=−6y(x+2).\begin{aligned}fₓ&=3(2x^2+2x-y^2),\\fᵧ&=-6y(x+2).\end{aligned}

fᵧ=0はy=0またはx=−2です。y=0ならfₓ=6x(x+1)=0となり、x=0、−1を得ます。x=−2ならfₓ=3(4−y²)=0なのでy=±2です。したがって、停留点は4つです。

(0,0),(−1,0),(−2,2),(−2,−2)(0,0),\quad(-1,0),\quad(-2,2),\quad(-2,-2)

停留点であるだけでは極大・極小とは決まりません。2階偏微分を使い、ヘッセ行列の行列式Δを計算します。

fxx=12x+6,fxy=−6y,fyy=−6(x+2),Δ=fxxfyy−(fxy)2.\begin{gathered}f_{xx}=12x+6,\quad f_{xy}=-6y,\\f_{yy}=-6(x+2),\\\Delta=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.\end{gathered}
停留点での2階微分による判定
点fₓₓΔ判定
(0,0)6−72鞍点
(−1,0)−636極大
(−2,2)−18−144鞍点
(−2,−2)−18−144鞍点

Δ>0かつfₓₓ<0となる(−1,0)で極大となり、その値は次のとおりです。ほかの3点ではΔ<0なので、点の近くに関数値が増える方向と減る方向があります。極小値はありません。

f(−1,0)=−2+3+1=2f(-1,0)=-2+3+1=2

求めた2は極大値です。y=0に沿うとf(x,0)=2x³+3x²+1はx→∞でいくらでも大きくなるため、関数全体の最大値ではありません。公式解答例はPDF3ページで確認できます。

2026年度数学第2問：積分領域の切り口を使う

領域Dは、−1≤x+y≤1と−1≤x−y≤1を同時に満たす点の集まりです。2組の平行線で囲まれた、頂点(±1,0)、(0,±1)の正方形になります。

I=∬Ddx dy1+x2,D={(x,y):∣x∣+∣y∣≤1}.\begin{gathered}I=\iint_D\frac{dx\,dy}{1+x^2},\\D=\{(x,y):|x|+|y|\le1\}.\end{gathered}

この領域の書き換えは、max(|x+y|,|x−y|)=|x|+|y|という恒等式からも確かめられます。xを一つ固定すると、yの下端は−1+|x|、上端は1−|x|で、その間の長さは2(1−|x|)です。

元の積分領域と、xを固定した縦の切り口頂点が(1,0)、(0,1)、(−1,0)、(0,−1)の正方形。xを固定した縦の切り口の長さは2(1−|x|)。緑線はxが2分の1の例で、yが−2分の1から2分の1まで動く。元の領域 DxyO−111−1x = 1/2切り口の長さ：2(1−|x|)s=x+y、t=x−yで変換した積分領域変換後はsとtがそれぞれ−1から1まで動く正方形。左図のxが2分の1の線は、s+t=1の線分に移る。元の面積要素は変換後の2分の1。変換後の領域stO−111−1s+t = 1s = x+y、t = x−y
青い領域では、xを固定してy方向に積分できます。緑線はx=1/2の例です。変数変換を使うと、領域は黄色い正方形に変わり、同じ緑線はs+t=1へ移ります。面積要素の係数1/2も必要です。

被積分関数はyに依存しないので、y方向の積分は切り口の長さを掛けるだけです。その後、xの正負の対称性を使います。

I=∫−112(1−∣x∣)1+x2 dx=4∫011−x1+x2 dx.\begin{aligned}I&=\int_{-1}^{1}\frac{2(1-|x|)}{1+x^2}\,dx\\&=4\int_0^1\frac{1-x}{1+x^2}\,dx.\end{aligned}

分子を1と−xに分けると、逆正接と対数の積分になります。対数は自然対数です。

I=4[arctan⁡x−12log⁡(1+x2)]01=4(π4−12log⁡2)=π−2log⁡2.\begin{aligned}I&=4\left[\arctan x-\frac12\log(1+x^2)\right]_0^1\\&=4\left(\frac\pi4-\frac12\log2\right)\\&=\pi-2\log2.\end{aligned}

公式解答の変数変換でも確かめる

公式解答例4ページではs=x+y、t=x−yを使います。逆変換と面積要素は次のとおりです。領域は−1≤s≤1、−1≤t≤1の正方形です。

x=s+t2,y=s−t2,∣∂(x,y)∂(s,t)∣=∣∣121212−12∣∣=12.\begin{gathered}x=\frac{s+t}{2},\qquad y=\frac{s-t}{2},\\\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right|=\left|\begin{vmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{vmatrix}\right|=\frac12.\end{gathered}
I=12∫−11∫−1111+(s+t2)2 dt dsI=\frac12\int_{-1}^1\int_{-1}^1\frac{1}{1+\left(\frac{s+t}{2}\right)^2}\,dt\,ds

内側をtで積分すると、係数2と面積要素の1/2が相殺されます。

I=∫−11arctan⁡s+12 ds−∫−11arctan⁡s−12 ds.\begin{aligned}I&=\int_{-1}^1\arctan\frac{s+1}{2}\,ds\\&\quad-\int_{-1}^1\arctan\frac{s-1}{2}\,ds.\end{aligned}

第1項でu=(s+1)/2、第2項でu=(s−1)/2と置き、arctanが奇関数であることを使うと、同じ区間の積分にまとまります。

I=2∫01arctan⁡u du−2∫−10arctan⁡u du=4∫01arctan⁡u du=4[uarctan⁡u−12log⁡(1+u2)]01=π−2log⁡2.\begin{aligned}I&=2\int_0^1\arctan u\,du-2\int_{-1}^0\arctan u\,du\\&=4\int_0^1\arctan u\,du\\&=4\left[u\arctan u-\frac12\log(1+u^2)\right]_0^1\\&=\pi-2\log2.\end{aligned}

元の領域の面積は2、変換後の正方形の面積は4です。面積要素の1/2を忘れると、積分値も2倍になります。領域を変換するときは、変数の範囲と面積要素を一緒に書きます。

2026年度数学第3問：特性多項式で行列の高次式を下げる

問題の行列をA、3次の単位行列をEとします。

A=(02−1−103010)A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-1&0&3\\0&1&0\end{pmatrix}

[1] |tE−A|の計算

tE−AではAの非対角成分の符号が反転します。第1行で余因子展開すると、

∣tE−A∣=∣t−211t−30−1t∣=t(t2−3)+2t−1=t3−t−1.\begin{aligned}|tE-A|&=\begin{vmatrix}t&-2&1\\1&t&-3\\0&-1&t\end{vmatrix}\\&=t(t^2-3)+2t-1\\&=t^3-t-1.\end{aligned}

[2] A⁹−3A²の計算

ケイリー・ハミルトンの定理より、行列A自身が特性多項式を満たします。

A3−A−E=O,A3=A+EA^3-A-E=O,\qquad A^3=A+E

A⁹を(A³)³と見れば、A+Eの3乗に置き換えられます。AとEは可換なので、通常の二項展開を使えます。

A9−3A2=(A+E)3−3A2=A3+3A2+3A+E−3A2=A3+3A+E=4A+2E.\begin{aligned}A^9-3A^2&=(A+E)^3-3A^2\\&=A^3+3A^2+3A+E-3A^2\\&=A^3+3A+E\\&=4A+2E.\end{aligned}

最後にAの各成分を4倍し、対角成分に2を加えます。

A9−3A2=(28−4−4212042)A^9-3A^2=\begin{pmatrix}2&8&-4\\-4&2&12\\0&4&2\end{pmatrix}

一般の2つの行列では、積の順序を入れ替えた二項展開は使えません。ここでは単位行列との和なので使えます。公式解答例はPDF5ページです。

2026年度数学第4問：初期条件付きの微分方程式

方程式と初期条件は次のとおりです。logは自然対数なので、2ˣの微分は2ˣlog 2になります。

dydx=(y+1)2xlog⁡2,y(0)=2\frac{dy}{dx}=(y+1)2^x\log2,\qquad y(0)=2

z=y+1と置くと、z′=2ˣlog 2・zです。積分因子を掛け、積の微分を逆に使います。

ddx(ze−2x)=e−2x(z′−2xlog⁡2 z)=0.\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(ze^{-2^x}\right)&=e^{-2^x}\left(z'-2^x\log2\,z\right)\\&=0.\end{aligned}

この積は定数です。zで割っていないので、定数0の場合も含められます。

ze−2x=C,y+1=Ce2xze^{-2^x}=C,\qquad y+1=Ce^{2^x}

x=0では2ˣ=1、y+1=3なのでC=3/eです。求める解は全実数xで定義され、

y(x)=3e2x−1−1y(x)=3e^{2^x-1}-1

となります。x=0でy(0)=2となり、微分しても元の方程式に一致します。

y′(x)=3e2x−12xlog⁡2=(y(x)+1)2xlog⁡2.\begin{aligned}y'(x)&=3e^{2^x-1}2^x\log2\\&=(y(x)+1)2^x\log2.\end{aligned}

公式解答例6ページのように変数分離しても解けます。その場合、y+1で割る前にy=−1も元の方程式の解であることを確認します。ただしy=−1は今回の初期条件を満たしません。また、log|y+1|=2ˣ+Cから指数を戻すとき、2ˣをx log 2と取り違えないようにします。

2027年度は専門3題必答。2026年度の選択方式と違う

2026年度の公式専門問題1ページは、6問から3問を選ぶよう指定しています。 一方、2027年4月入学の募集要項・冊子4〜5ページは、 専門科目を3題必答・90分としています。数学は別試験で60分です。2026年10月16日に両方を照合しました。

過去問で得意な3問だけを選び続けると、取り組まない分野が残ります。年度別の出題一覧を使って未習分野を点検し、 90分の演習では3題の答案を最後まで書く練習も組み込みます。これは練習の提案で、次年度の出題分野や配点を予測するものではありません。 古い年度をその年の形式で解く場合は、その問題用紙の選択数に従ってください。

この募集は2026年7月に出願を終了しています。出願・試験日と次回募集の確認先、TOEIC・TOEFLの原本と有効期限も確認できます。

2024〜2026年度18問の出題分野

院試hubの年度別解答を比較すると、アルゴリズムや計算機だけでなく電気電子・確率まで範囲が広がっています。下表は扱った問題の分類で、分野別の配点や合格に必要な点数ではありません。

年度専門科目の6問対策上の読み方
2026計算幾何、集合、並列共振回路、静電界、固定小数点とキャッシュ、論理回路。符号付き面積、包除原理、アドミタンス、基準電位、bit数、ドントケア、JK-FFまで幅がある。計算幾何の向き、静電界の基準電位、固定小数点の符号を、式や表の最初に定義する。
2025文字列判定と再帰生成、コンピュータアーキテクチャ、交流回路とオペアンプ、pn接合、フーリエ変換と一次系、条件付き確率と期待値。再帰・キャッシュ・パイプラインに加え、交流回路、半導体、フーリエ変換、条件付き確率まで確認する。
2024順列の先頭移動操作、文字列の数え上げ、交流回路とテブナン等価、平行平板コンデンサ、集合演算・IEEE754・計算機基礎、確率密度関数と指数分布。順列操作の添字、文字列の重複条件、コンデンサの電荷固定、確率密度の正規化を問題ごとに確認する。

2026年度：計算幾何とキャッシュで条件を読み分ける

問1・内部判定は「凸」と「反時計回り」を使う

符号付き面積は2本のベクトルの外積成分の半分です。向きを逆にすると符号が反転するので、単に面積の大きさを求める計算とは異なります。三角形では点から各辺を見た3つの符号が同じかを調べます。

凸多角形の頂点が反時計回りなら、内部の点はすべての有向辺の左側にあります。辺ごとに符号を調べ、右側になる辺があれば外部です。凸でない多角形にはこの判定をそのまま使えません。問題の形状条件が、使えるアルゴリズムを決めています。

問5・キャッシュ容量はタグのビット数を含めない

この問題では32ビットのアドレスをタグ12ビット、インデックス15ビット、オフセット5ビットへ分けます。32バイトのブロック内位置に5ビットを使い、残りからタグ幅を引くとセット番号が15ビットになります。

データ容量は、2の15乗セット×4ウェイ×32バイト＝4MiBです。タグと制御用ビットをデータ容量へ足したり、インデックスをウェイ数と取り違えたりしないよう、セット数・ウェイ数・ブロックサイズを別々に書きます。

回路と確率は年度をまたいで比較する

2026年度の並列共振回路は、共通の電圧に対して枝電流が加わるため、アドミタンスを足すと共振条件が見えます。2024年度のテブナン等価では、開放電圧と内部インピーダンスを別々に求めます。同じ交流回路でも、最初に求める量が違います。

確率も同様です。2025年度の条件付き確率では、事前確率と全確率を使って分母を作ります。2024年度の確率密度では、まず積分が1になる正規化条件を確認します。「確率の公式」を一つ覚えるだけで済ませず、離散的な事象の和なのか、連続変数の積分なのかを分けて復習できます。

公式解答例と院試hubの詳解はどう違うか

2026年度は大学の解答例を無料で確認できます。例えば専門第1問の公式解答例・PDF12ページは、符号付き面積の式と、三つの符号がそろうかを判定するCコードを示しています。 院試hubの第1問の無料解答例では、なぜ符号で点の内外を判定できるか、凸多角形の「反時計回り」という条件をどう使うかも説明しています。実際の説明を読んで比較できます。

院試hubの知能情報システム工学・2024〜2026年度18問の解答PDFは専門科目用です。共通数学、他専攻、公式問題本文・図表は含みません。見本では中間式や説明の詳しさを確認できます。

演習後は、アルゴリズムなら添字と停止条件、計算機ならビット幅、回路なら電圧・電流の向き、確率なら分母や積分範囲を答案と照合してください。間違えた分野だけ教科書の該当章に戻り、同じ年度の問題を解き直すと、直した条件を確認できます。

不合格後に次の受験・研究室を考える場合

工学府の2027年4月入学・一般入試は2026年7月16日で出願を締め切っています。次回募集の有無は入試担当へ、次の受験や研究生としての受入れは希望教員へ確認します。農工大の再募集の確認先と、出願後の専攻変更の扱いに、現行要項の条件をまとめています。

途中式と最終答まで読める解説

このガイドで扱う解答PDF

問題本文は含みません。公式の問題冊子と併用してください。

専門科目の収録解説の分野（2024〜2026年度・18項目）

院試hubの収録解説3実施回・18項目の見出しを分野別に数えたものです。設問を分割した項目や、公開資料の制約を説明する項目を含むため、公式問題の大問数や完成答案数とは一致しません。が8項目（全体の44%）で最多。・電磁気学・回路は3実施回すべてに出ています。

分野項目数全項目に占める割合直近の連続出題最後に出た回
844%3回連続2026年度
電磁気学・回路422%3回連続2026年度
確率・統計211%—2025年度

このほか1項目だけ収録した分野は 位相・幾何・情報・微分積分・解析・物性物理 です。

収録年度と解説項目数

院試hubに収録した3実施回の一覧です。どの回も解説見出しは6項目です。

実施回解説項目数公開範囲
2026年度6第2問の途中式・最終答
2025年度6第6問の途中式・最終答
2024年度6第1問の途中式・最終答

農工大 専門科目の解答で立てた注意点（58件）

院試hubの解説で、その設問だけに立てた小見出しです（「方針」「検算」のような全問共通の 見出しは除いています）。新しい実施回から並べています。

  • 2026年度 第2問 集合NOR と同じ考え方 / 包除原理の符号 / べき集合の要素
  • 2026年度 第4問 静電界平行平板の基準電位 / 試験電荷の扱い / 直線電荷の電位差
  • 2026年度 第5問 固定小数点とキャッシュ固定小数点の読み方 / CA と OV の違い / キャッシュ容量の数え方
  • 2025年度 第1問 文字列判定と再帰生成3 文字表で十分な理由 / 表の作り方 / 再帰生成の順序 / 配列引数の扱い
  • 2025年度 第2問 コンピュータアーキテクチャ実効アクセス時間の式 / タグとインデックスの分解 / パイプラインの数え方 / ハザードとアウトオブオーダー
  • 2024年度 第1問 順列の先頭移動操作Rotate の添字 / 最小操作回数の見方 / Sort の前半ループ / Sort の後半ループ

電磁気学・回路12件

  • 2026年度 第3問 並列共振回路アドミタンスで考える / 共振時の枝電流 / 符号の確認
  • 2026年度 第6問 論理回路XOR を含む式の扱い / don't care の利用 / JK-FF の励起表
  • 2025年度 第3問 交流回路とオペアンプ直列 RLC の見方 / 1 W となる値が二つある理由 / オペアンプ回路の符号
  • 2024年度 第3問 交流回路とテブナン等価直列部分と並列部分を分ける / 電流の極値 / テブナン等価

確率・統計6件

  • 2025年度 第6問 条件付き確率と期待値袋の事前確率 / ベイズの定理の分母 / 期待点の比較
  • 2024年度 第6問 確率密度関数と指数分布偶関数の密度 / 差の分布 / 分散の別解

微分積分・解析4件

  • 2025年度 第5問 フーリエ変換と一次系三角波の変換 / シフトと干渉 / エネルギー積分の近道 / 一次系の応答

位相・幾何3件

  • 2026年度 第1問 計算幾何符号付き面積の意味 / 三角形内部判定 / 凸多角形の場合

物性物理3件

  • 2025年度 第4問 pn 接合と半導体デバイス準位とキャリアの対応 / 平衡バンド図の要点 / I--V 特性の物理

情報3件

  • 2024年度 第5問 集合演算・IEEE754・計算機基礎集合演算の簡約 / IEEE754 の手順 / 数値誤差の典型例

頻出論点と、同じ論点を出す他大学

院試hubが解答した大問の論点を、他大学の出題と突き合わせたものです。併願先を 探すときの重なりの実数として使えます。

論点この専攻での出題出題年度同じ論点を出す他大学全国の出題大学
フーリエ変換1問2025京都大学・東京大学・名古屋工業大学・筑波大学・名古屋大学14大学
ラプラス変換1問2025北海道大学・東京大学・東北大学・東京科学大学・早稲田大学12大学
波動関数1問2024名古屋大学・東京科学大学・東京都立大学・北海道大学・東北大学15大学
オペアンプ回路1問2025九州大学・東京科学大学・東京大学・北海道大学・京都大学8大学
PN接合1問2025九州大学・東京科学大学・筑波大学・北海道大学・東京大学8大学
RLC回路1問2026千葉大学・九州大学・東京大学・東北大学・東京科学大学7大学

農工大 公式の過去問の公開年度と公式解答例

公式の過去問ページ
工学府 博士前期課程（6専攻）
公開されている年度
2024〜2026年度（R6〜R8）
公式の解答例
一部年度・一部科目のみ公開
英語の扱い
英語や出願要件は年度別の募集要項で確認。公式過去問ページは数学・専門科目PDFを年度別に公開。
院試hubが最後にリンクを確認した日
2026-10-16
ページの内容
R8の共通数学は生体医用システム工学・化学物理工学・機械システム工学・知能情報システム工学に掲載。専門科目の問題・解答例と口述試験の評価の観点も専攻ごとに掲載されています。院試hubの解答・解説集は知能情報システム工学の専門科目が対象で、共通数学や他専攻は含みません。

よくある質問

農工大知能情報の専門科目は6問から3問を選ぶ試験ですか。

2026年度の公式問題は6問から3問を選ぶ指定ですが、2027年4月入学の募集要項は3題必答と指定しています。専門は90分、数学は別に60分です。古い問題の選択方式を次の試験へそのまま当てはめないでください。

農工大知能情報の数学と専門科目は同じPDFですか。

別PDFです。公式ページでは年度を選んだ後、知能情報システム工学の行にある数学と専門科目を別々に開けます。院試hubの販売PDFの18問は専門科目用です。2026年度の共通数学4問は、この記事で途中計算を無料公開しています。

公式解答はどこで確認できますか。

2026年度（R8）の公式専門科目PDFには、筆答試験問題・筆答試験解答例・口述試験評価の観点がまとまっています。2024・2025年度は公式の専門科目問題と、院試hubの解答・解説集を区別して利用してください。

農工大知能情報の院試数学は何が出ますか。

2026年度の共通数学は4題全問必答で、2変数関数の極値、2重積分、行列、初期条件付き微分方程式が出題されています。この記事に全4問の途中計算と領域図を掲載しています。公式問題はPDF2ページ、公式解答例は3ページからです。知能情報の販売PDFには共通数学は含みません。

情報分野以外にどのような問題が出ていますか。

2024〜2026年度には、交流回路、静電界、平行平板コンデンサ、pn接合、フーリエ変換、確率の問題があります。3年分の出題を整理したもので、次回の出題や配点を示すものではありません。受験科目・選択方法は当該年度の募集要項を確認してください。

東京農工大学の院試対策ガイド

東京農工大学の解答PDF一覧で、東京農工大学の研究科・専攻・科目をまとめて確認できます。

院試対策ガイド一覧（大学別）