埼玉大学の院試過去問｜理工学研究科・数学6回42問の出題と対策

このガイドは、埼玉大学大学院理工学研究科の数理電子情報専攻・数学プログラム（博士前期課程）で、筆記試験の数学を受ける人向けです。2024〜2026年度の6回（2023年8月〜2026年2月実施）、計42問を院試Hubの解答原稿から読み、出題分野、120分の配分、失点しやすい設問をまとめました。

問題は数学プログラムの公式過去問ページに、2003年度入試以降のPDFが入学年度と実施年月つきで掲載されています。大学による解答はなく、2026年8月実施の令和9年度入試の問題もまだ載っていません（2026年10月28日確認）。院試Hubの年度別ページでは、6回とも第1問（線形代数）の解答を無料で読めます。出願書類、口述試験、英語の扱いは埼玉大学大学院の受験条件のページにまとめています。工学部の第3年次編入学試験の数学は、問題も出願資格も異なる別の試験です。

試験形式：120分で必答4問と選択1問、各20点

6回の問題冊子の表紙には、同じ注意事項が書かれています。問題1〜4はすべて解答し、A・B・Cから1問を選んで、答案用紙1枚に1問ずつ計5問を書きます。配点は各20点、合計100点です。答案用紙の裏面も使えますが、使う場合はその旨を表面に書くよう指示されています。

8月の回は翌年4月入学と同じ年の秋期入学をあわせた選抜で、2月の回は4月入学だけの選抜です。年度は入学年度で数えるため、2026年度の問題は2025年8月と2026年2月に実施されています。以下では、回を「2026年度（2025年8月）」のように入学年度と実施年月で書きます。

2027年4月入学の第1次募集では、専門科目が2026年8月20日13時〜15時、面接が翌21日10時からでした（募集要項PDF19ページ）。専門科目は「線形代数学」と「微分積分学」に関する4問に解答し、「代数」「幾何」「解析」に関する基礎的な問題3問から1問を選ぶ指定で、過去6回の冊子と同じ構成です。筆記試験区分の配点は専門100点と面接100点の計200点で、英語の試験も外部スコアの提出もありません（同15ページ）。数学の募集人員20人のうち、口述試験区分が13人程度、筆記試験区分が7人程度です。

この第1次募集は実施済みです。研究科の募集一覧では、2027年4月入学の第2次募集は電気電子物理工学と融合教育の2プログラムだけで、数学は含まれていません（2026年10月28日確認）。過去6回のうち3回は2月実施ですが、次の2月に数学の試験があるかは新しい告知で確かめてください。口述試験の内容、面接、外部生の出願手順は受験条件のページの数学の節にあります。

2024〜2026年度の出題：6回42問

各回の7問を、院試Hubの解答原稿の見出しと内容から短くまとめました。番号は問題冊子のとおりです。問題冊子のA・B・Cには分野名が書かれていないため、表の分野名は内容から付けています。年度別ページでは、選択問題A・B・Cを第5〜7問として表示しています。

必答問題と選択問題の傾向

線形代数（必答1・2）

行列の固有値を求める設問は、6回すべてにありました。2025年度（2025年2月）だけは第1問が線形写像の核と双1次形式で、固有値は第2問です。行列の累乗は2025年度（2024年8月）から4回続いています。2025年度（2024年8月）は固有ベクトルによる展開から向きの極限を、2025年度（2025年2月）は対角化できない行列の累乗を求め、2026年度の2回は対角化から累乗を閉じた形で書く問題でした。

直交補空間は、2024年度（2023年8月）、2026年度（2025年8月）、2026年度（2026年2月）の第2問で3回出ています。正規直交基底まで求めるのは、前の2回です。核・像や部分空間の次元を扱う設問は4回あり、2024年度（2024年2月）第2問は、部分空間を部分空間へ写す線形写像全体の次元を数える抽象的な問題でした。行列は2次か3次で、計算量は多くありません。そのかわり、行列式や固有値の符号を1つ誤ると、対角化から累乗まで後の設問がすべてずれる構成です。

微分積分（必答3・4）

第3問は6回とも2変数関数です。臨界点を求めてヘッセ行列で判定する極値の問題が3回、原点での偏微分可能性と全微分可能性を調べる問題が2回、一様連続の定義と証明が1回でした。2024年度（2024年2月）は、極値に続けて閉三角形上の最大値・最小値も求めます。

第4問は積分です。広義積分が3回で、うち2024年度（2024年2月）と2026年度（2025年8月）は、原点で特異性をもち符号の変わる関数の広義重積分を、同じ流れで扱いました。原点を除いた近似領域で積分の極限を求め、絶対値や正部分の積分の極限と比べて、広義積分が存在するかを判定します。残りは立体の体積と楕円領域の重積分が1回ずつ、面積の比較で示す積分不等式が1回でした。2025年度（2025年2月）と2026年度（2026年2月）の第4問は、小問に分かれていない1問20点の計算です。

選択問題（A・B・C）

Aは代数です。8月実施の3回は環（素イデアル、単元群、イデアルの積）、2月実施の3回は群（正規部分群と半直積、指数2の部分群、ℤ²の商群）でした。6回だけの傾向なので、次の回もこの分け方になるとは限りません。

要項は選択問題を「代数」「幾何」「解析」の順に挙げており、冊子のBはその「幾何」に当たる位置の問題です。Bは6回とも位相空間・距離空間の証明問題で、曲線や曲面の問題は出ていません。開集合系の公理を確かめる問題が2回、ハウスドルフ性を調べる問題が2回あり、ほかに連続性の言い換え、完備性、完全不連結性、商空間が出ています。

「解析」のCは、5回が複素解析でした。留数定理で実軸上の積分を求める問題が3回、積分路を平行にずらす計算が1回、コーシー・リーマンの関係式と調和関数が1回です。2026年度（2025年8月）だけは、積分方程式を微分方程式に直して解く問題でした。

定義をそのまま書かせる設問もあります。2025年度（2025年2月）では、第3問(1)の一様連続、Aの(1)(2)の群と元の位数、Cの(1)(3)の正則性と調和関数で定義が問われました。2024年度（2023年8月）のA(1)は素イデアルの定義です。条件を1つ落とすと定義として不完全になるので、教科書の定義を条件まで含めて書ける状態にしておきます。

取り組む順番と最初の一手、失点しやすい設問

答案用紙は1問1枚なので、解く順番は自由です。例えば、最初の5分で選択問題A・B・Cを読んで1問を決め、第1・2問、第3問、第4問の順に進め、選んだ選択問題に25分前後を残す配分が考えられます。第1・2問は、固有値の和と積をトレースや行列式と照合するなど検算の手段が多いので、早めに確実に終えておくと、後半の証明に時間を回せます。以下は、院試Hubの解答原稿が失点しやすい点として扱った箇所です。

必答1・2：行列式の符号と重複固有値

• 特性多項式は、0の多い行や列で余因子展開すると因数の形のまま残せます。2026年度（2025年8月）第1問(1)は第2行で展開すると2次式の計算だけで済みます。2次の行列は、トレースと行列式から特性方程式を直接書けます。
• 解答原稿が繰り返し注意しているのは行列式の符号です。2024年度（2024年2月）第1問(1)は余因子展開の符号、2025年度（2025年2月）第2問(1)と2026年度（2026年2月）第1問(1)はad−bcのbcの符号で、ここを誤ると以後の設問がすべてずれます。
• 重複する固有値では、固有空間の次元を数えます。2026年度（2025年8月）第1問(2)の固有値1は条件式が1本だけで、固有ベクトルを2本取らないと変換行列が正則になりません。2025年度（2025年2月）第2問は固有空間が1次元で対角化できないので、(4)では単位行列の定数倍と冪零行列に分けて二項定理を使います。2つが可換であることを1行書いておきます。
• 2024年度（2024年2月）第1問(3)は判別式が負になりますが、設問は複素行列の範囲です。固有値が3つとも異なることから対角化可能と言えるので、実数解がないことを理由に対角化できないと書かないようにします。
• 直交行列や正規直交基底を求める設問（2024年度（2023年8月）第1問(2)、2026年度（2025年8月）第2問(2)）は、直交させた後に長さを1にするところまでが答えです。
• 2025年度（2024年8月）第2問は、一次独立な3本のベクトルを座標系とみなすと3次の行列式で判定できます。核の基底は、定義域の基本ベクトルの一次結合で書きます。
• 2026年度（2026年2月）第2問(3)の「像の直交補空間は核に等しい」は、行列が対称であることから3行で導いてから使います。

必答3・4：場合分けの漏れと、収束の判定

• 臨界点の連立方程式は、積の形の式を割らずに場合分けします。2026年度（2025年8月）第3問(1)では、6x(y+1)=0からx=0の場合を落とすと臨界点が2つ欠けます。2024年度（2023年8月）第3問(1)は、(xy)²=4からxy=−2の場合も調べ、実数解がないことを示します。
• ヘッセ行列の判定では、2024年度（2023年8月）第3問(2)の8/x³がx=−1で負になる点に注意します。極値は座標だけでなく値まで書き、極値にならない臨界点は鞍点と明記します。
• 全微分可能性は、偏微分係数を求めてから、座標軸から外れた方向で剰余を評価します。2025年度（2024年8月）第3問(1)のmin{|x|,|y|}は軸上で0なので偏微分係数は0ですが、直線y=xに沿うと剰余が距離に比例して残ります。(2)のmaxは偏微分係数が存在しない時点で、全微分可能でもないと言えます。2026年度（2026年2月）第3問の考え方は、受験条件のページの解答例で読めます。
• 一様連続の定義（2025年度（2025年2月）第3問(1)）は、δを選ぶ位置が要点です。δを2点の取り方より前に選ぶ順序で書かないと、各点連続の定義になります。
• 符号の変わる関数の広義重積分（2024年度（2024年2月）第4問、2026年度（2025年8月）第4問）では、近似領域で有限の極限が出ても、それだけで収束すると書くのが典型的な誤りです。絶対値または正部分の積分が発散するかを調べ、判定の根拠にします。2024年度（2024年2月）は、yの積分区間が0をまたぐので、絶対値の積分を2区間に分けます。
• 2026年度（2025年8月）第4問(2)は、問題冊子に印刷されたf⁺の定義で、場合分けの2行の条件（y≥xとx<y）が重なっています。院試Hubの解答原稿は、2行目の条件をx>yの誤植と読み、f⁺をfの正の部分として解いたうえで、その読み方を明記しています。
• 2025年度（2024年8月）第4問は、原点と無限遠の2か所で区間を分けて比較します。(3)は、yについて先に積分すると(2)の積分にそのまま帰着する設計です。
• 体積を求める2025年度（2025年2月）第4問は、2曲面の交線から積分範囲の円板を決めます。交線の方程式の負の根は、放物面上でz≥0であることから捨てます。楕円領域の2026年度（2026年2月）第4問は、半軸の長さを係数に入れた極座標を使い、ヤコビアンに半軸の積が掛かることと、直線の条件を三角関数の合成で角の範囲に直すことが要点です。
• 2024年度（2023年8月）第4問(3)は、(2)の不等式をどの関数に当てはめるかを見抜く問題です。右辺の被積分関数を上端の変数で微分した形から候補を作り、非負であることを確かめてから(2)を使います。

選択問題：定義の条件、反例の選び方、留数計算の手順

• 定義は条件を省かずに書きます。2024年度（2023年8月）A(1)の素イデアルは、環全体と一致しないという条件を落としやすい箇所です。2025年度（2025年2月）A(2)の元の位数は、正の整数のうち最小のものと書きます。
• 反例は、条件を満たすように具体的に選びます。2024年度（2024年2月）A(3)では、スカラー行列は共役で動かないので、対角成分の異なる対角行列を選びます。2026年度（2025年8月）A(3)(イ)では、X²+Y²がイデアル(X,Y)の2つの元の積で書けないことを、既約性で示すところまでが答案です。
• 開集合系の公理（2024年度（2023年8月）B(1)、2026年度（2025年8月）B(1)）は、空集合と全体、有限個の共通部分、任意個の和集合を順に確かめます。2026年度（2025年8月）は空集合を定義で別扱いしているので、和集合の証明では空でない開集合を1つ選んで包含に持ち込みます。
• 2024年度（2024年2月）B(3)は、連続性の否定から点列を作る問題です。否定で固定されるε₀を、nごとに取り替えないことが要点です。2025年度（2025年2月）B(3)では、ℚの2点の間に無理数を取って分けます。有理数で切ると、その点が集合に含まれて分割になりません。
• 2026年度（2026年2月）B(2)は、商写像による像の逆像が、元の開集合を整数だけ平行移動したものの和集合になることを書き出します。逆像が元の開集合に戻ると書くのは誤りです。
• 留数定理で実積分を求める3回（2024年度（2024年2月）、2025年度（2024年8月）、2026年度（2026年2月）のC）は手順がほぼ共通です。極を求め、閉曲線の内側にある極だけの留数を足し、半円の弧の上の積分が0に近づくことを評価します。1位の極の留数は、分母の微分を使う次の式で求めると計算が短くなります。

2025年度（2024年8月）C(3)は、cos xのままでは上半平面の弧の評価ができないので、e^(iz)で計算して最後に実部を取ります。上半平面では次の不等式が使えます。

2024年度（2024年2月）C(3)は、z=e^(iθ)の置換でdθ=dz/(iz)とすることを忘れず、単位円の内側の極だけを拾います。2025年度（2025年2月）C(4)は、合成関数の2階微分で、1階偏微分に掛かる項を落とさないようにします。2026年度（2025年8月）Cは、微分する前にt=0を代入して初期値を読み取り、未知関数が微分可能である根拠も書きます。

分野別の練習と参考書

6回の出題から、練習する論点と対応する教科書を挙げます。教科書は代表的なものの例です。

• 線形代数：固有値・対角化・累乗を2次と3次の両方で、直交補空間とグラム・シュミットの直交化、核・像と次元定理。齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）で、固有値と対角化、内積と直交補空間を確認できます。
• 微分積分：2変数関数の極値判定、全微分可能性の定義、広義積分の収束判定、重積分の変数変換。杉浦光夫『解析入門I・II』（東京大学出版会）で、多変数の微分と重積分、広義積分の扱いを確認できます。
• 代数（選択A）：群は正規部分群・剰余群・準同型定理、環はイデアル・剰余環・単元。雪江明彦『代数学1 群論入門』『代数学2 環と体とガロア理論』（日本評論社）が対応します。
• 位相（選択B）：開集合系の公理、連続写像の言い換え、ハウスドルフ性、連結性、商位相、距離空間の完備性。内田伏一『集合と位相』（裳華房）で、公理を一つずつ確かめる証明の書き方を練習できます。
• 解析（選択C）：コーシー・リーマンの関係式、留数定理による実積分、変数分離形の微分方程式。神保道夫『複素関数入門』（岩波書店）で、留数の計算と積分路の取り方を確認できます。

過去問は、まず1回分を120分で通して解き、必答4問のどこで止まったかを記録します。次に、同じ回の選択問題A・B・Cを3問とも解き、時間内に最後まで書ける分野を決めます。2025年度（2025年2月）のように定義を書かせる設問は、教科書を閉じて定義を書き、条件の抜けを確かめる練習に使えます。

無料解答と解答PDFの使い方

年度別ページでは、6回とも第1問（線形代数）の解答と最終答を無料で公開しています。

• 2026年度（2026年2月）第1問：2次行列の対角化と累乗
• 2026年度（2025年8月）第1問：対称行列の対角化と累乗
• 2025年度（2025年2月）第1問：符号付き対角行列が定める線形写像と双1次形式
• 2025年度（2024年8月）第1問：固有値分解と累乗の向きの極限
• 2024年度（2024年2月）第1問：パラメータつき行列の正則性と対角化可能性
• 2024年度（2023年8月）第1問：2次形式の対称行列表示と直交変換による標準化

同じページでは、第2問以降も方針と失点しやすい点の解説を読めます。途中式と最終答は解答PDFに収録しています。まず無料の第1問で固有値の計算と検算の書き方を確かめ、残りの6問を自分で解いてから解説と照合してください。

埼玉大学大学院数学の解答・解説PDFは、2024〜2026年度の6回分で、各回の必答4問と選択問題A・B・Cの3問、計42問を収録しています。PDFは実施回ごとに分かれ、1回あたり17〜21ページです。解答と解説を設問ごとに分け、解説では方針、検算、失点しやすい点、別解のうち必要なものを書いています。各問の冒頭にある配点の内訳は、院試Hubによる見立てです。問題文は収録していないので、公式サイトの問題PDFと並べて使ってください。

収録回と価格は埼玉大学大学院理工学研究科のページでも確認できます。学部3年次への編入を考えている場合は、工学部第3年次編入学試験の数学の解答・解説を見てください。