埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報専攻 数学プログラム 数学 2024年度（2023年8月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

方針

交差項の係数を $2$ で割って左右に振り分ける。対称という条件があるので $A$ は一意に定まる。

検算

${}^{t}\bm{x}A\bm{x}=2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz$ を展開して元の $F$ と一致することを確かめる。$xz$ の係数が $2a_{13}=0$ になっている点も確認する。

失点しやすい点

交差項の係数をそのまま非対角成分に入れると $A$ が $F$ を再現しない。$2$ で割ることを忘れない。

方針

実対称行列は直交行列で対角化できる。固有値が相異なる場合は固有ベクトルが自動的に直交するので、正規化するだけで直交行列になり、グラム・シュミットは不要である。

検算

$P$ の各列の長さが $1$、互いの内積が $0$ であることを確かめる。また ${}^{t}P=P^{-1}$ なので、$AP$ の第 $j$ 列が $\lambda_j\times$（$P$ の第 $j$ 列）になっていることを見れば十分である。

失点しやすい点

「対角化する行列」を求めよではなく「直交行列」を求めよなので、正規化を省くと条件を満たさない。また列の順序と対角成分の順序を対応させる。

符号と退化

固有値が $0,2,3$ なので $F$ は半正定値であり、正の慣性指数 $2$、退化次数 $1$ である。$X$ 方向は $F$ の値に寄与しないので、$F=0$ となる点全体は $\lambda=0$ の固有ベクトル $(1,-2,1)^{\top}$ が張る直線になる。

検算

$(x,y,z)=(1,-2,1)$ を元の $F$ に代入すると $2+4+2+2\cdot1\cdot(-2)+2\cdot(-2)\cdot1=8-4-4=0$ となり、標準形で $X$ 方向が消えることと合う。

失点しやすい点

変換の向きを取り違えて $\bm{X}=P\bm{x}$ としてしまうと ${}^{t}PAP$ ではなく $PA\,{}^{t}P$ が現れる。直交行列だから同じ形に見えるが、対応する固有値の並びがずれる。設問文の定義をそのまま使う。

方針

$W$ の基底を $2$ 本取ってグラム・シュミットしてもよいが、$3$ 次元では外積を使うと $2$ 本目が一発で出る。$\bm{n}\times\bm{u}_1$ は $\bm{n}$ とも $\bm{u}_1$ とも直交するので、自動的に $W$ の中で $\bm{a}_1$ と直交する。

検算

$\bm{a}_2$ が $W$ に属すること：$-3-3+3\cdot2=0$。$\bm{a}_1$ と直交すること：$-3+3+0=0$。長さ：$9+9+4=22$。すべて確認できる。

失点しやすい点

「正規直交基底」なので、直交させるだけでなく長さを $1$ にする。また本数は $\dim W=2$ 本である。

検算

法線は反転するはずである。 $R\bm{n}=\frac1{11}(9-2-18,\ 2-9+18,\ -6-6-21)^{\top}=\frac1{11}(-11,11,-33)^{\top}=(-1,1,-3)^{\top}=-\bm{n}$。 $W$ の元は不変のはずである。$R(1,1,0)^{\top}=\frac1{11}(9+2,\ 2+9,\ -6+6)^{\top}=(1,1,0)^{\top}$。 どちらも期待どおりである。

行列の性質

$R$ は対称かつ直交で $R^2=I$、$\det R=-1$、固有値は $1,1,-1$ である。鏡映はこれらの性質で特徴づけられる。$\operatorname{tr}R=\frac{9+9-7}{11}=1$ で、固有値の和 $1+1-1=1$ と一致する。

別解

(1)の正規直交基底 $\bm{a}_1,\bm{a}_2$ と $\bm{a}_3=\bm{n}/\sqrt{11}$ を並べた直交行列 $Q$ を作り、 $R=Q\operatorname{diag}(1,1,-1)\,{}^{t}Q$ としても同じ行列が得られる。射影を使う方が計算量は少ない。

失点しやすい点

「$W$ に関する鏡映」は $W$ を鏡とする変換であって、$W$ の元を反転させるのではない。反転するのは法線方向である。符号を取り違えると $-R$ になる。

方針

分数を含むので、まず分母を払って多項式の関係に直す。$x\ne0$、$y\ne0$ が定義域の条件なので、$x^2$ や $y^2$ を掛ける操作で解が増えることはない。

検算

$(1,2)$：$f_x=-4+2\cdot1\cdot2=0$、$f_y=-4/4+1=0$。 $(-1,-2)$：$f_x=-4/1+2(-1)(-2)=-4+4=0$、$f_y=-4/4+1=0$。どちらも満たす。

対称性

$f(-x,-y)=-4/x-4/y-x^2y=-f(x,y)$ である。$f$ は原点対称な符号反転をもつので、臨界点も $(x,y)\mapsto(-x,-y)$ で対応し、極大と極小が入れ替わる。

失点しやすい点

$(xy)^2=4$ から $xy=2$ だけを取ると場合分けが不完全になる。$xy=-2$ を検討し、実数解がないことを示す。

極大値が極小値より小さいこと

極大値 $-8$ は極小値 $8$ より小さい。定義域が $x\ne0$、$y\ne0$ で $4$ つの連結成分に分かれており、$(1,2)$ と $(-1,-2)$ は別の成分に属するため、この現象は矛盾しない。極値は局所的な性質である。

検算

$(1,2)$ の近くで $f(1.1,2)=3.636+2+2.42=8.06$、$f(0.9,2)=4.444+2+1.62=8.06$ となり、$8$ より大きい。極小と整合する。

別解

相加・相乗平均でも下からの評価が得られる。$x,y>0$ の領域では $\dfrac4x+\dfrac4y+x^2y=\dfrac2x+\dfrac2x+\dfrac4y+x^2y\ \ge\ 4\sqrt[4]{\dfrac2x\cdot\dfrac2x\cdot\dfrac4y\cdot x^2y}=4\sqrt[4]{16}=8$ で、等号は $\dfrac2x=\dfrac4y=x^2y$、すなわち $(x,y)=(1,2)$ のときに成り立つ。第 $1$ 象限では $8$ が最小値である。

失点しやすい点

$f_{xx}$ の $8/x^3$ は $x=-1$ で $-8$ になる。$3$ 乗なので符号が反転することを見落とすと、$(-1,-2)$ を極小と誤判定する。

方針

$e^x-1$ は $[0,\infty)$ で狭義単調増加かつ $[0,\infty)$ への全射だから逆関数が存在する。定義域と値域を書き添えると(2)の図示で使える。

2つの曲線の関係

$s=e^{t}-1$ と $t=\log(s+1)$ は $st$ 平面で同じ曲線を表す。(2)ではこの曲線が積分領域の境界になる。

失点しやすい点

$\log$ の中を $y$ とせず $y+1$ とする。$y=0$ のとき $x=0$ になることで確認できる。

図の読み方

長方形 $R$ を曲線 $s=e^{t}-1$ で切ると、曲線の左側の部分は $A$ に、右側の部分は $B$ に含まれる。$A$ と $B$ はそれぞれ長方形からはみ出す部分をもつので、和は $R$ より真に大きくなり得る。

等号の条件

$A\cup B$ が $R$ に一致し、かつ $A\cap B$ 上で $g$ の積分が $0$ になるとき等号が成り立つ。曲線が長方形の対角の頂点 $(y,x)$ を通るとき、すなわち $y=e^{x}-1$ のときである。

背景

$g\equiv1$ とすると $xy\le\int_0^x(e^t-1)dt+\int_0^y\log(s+1)ds$ となり、ヤングの不等式そのものになる。一般の増加関数 $\varphi$ とその逆関数 $\varphi^{-1}$ について同じ形が成り立つ。

失点しやすい点

$g\ge0$ を使う箇所を明示する。符号が変わる関数では領域を広げても積分が増えるとは限らない。

$g$ の見つけ方

右辺の被積分関数を(2)の形と見比べる。右辺第 $1$ 項の $e^{t}-1+\cos(e^{t}-1+t)$ は、上端 $u=e^{t}-1$ を使って $u+\cos(u+t)$ と書ける。$\dfrac{\partial}{\partial u}\{u+\cos(u+t)\}=1-\sin(u+t)$ だから、$g(s,t)=1-\sin(s+t)$ が候補になる。積分定数のずれ $-\cos t$、$-\cos s$ は最後に $\sin x$、$\sin y$ として両辺から消える。

$g\ge0$ の確認

(2)を使うには非負性が必須である。$1-\sin(s+t)\ge0$ は $\sin\le1$ から従う。$1+\cos$ や $1-\cos$ でも非負だが、それでは右辺の形が合わない。

検算

$x=y=0$ とすると両辺とも $0$ で等号が成り立つ。$x=y$ が小さいときは左辺 $\approx x^2+2x$、右辺 $\approx\int_0^x(t+1)dt\times2\approx x^2+2x$ で、両辺の主要項が一致する。

失点しやすい点

$-\cos t$、$-\cos s$ の項を落とすと不等式が閉じない。内側の積分を下端 $0$ まできちんと評価する。

真のイデアルであること

$J\ne R[x]$ の条件を落とすと $R[x]$ 自身が素イデアルになってしまう。剰余環 $R[x]/J$ が整域であることと素イデアルであることが同値、という言い換えでもよい（$J\ne R[x]$ は剰余環が零環でないことに対応する）。

失点しやすい点

$2$ つ目の条件だけ書いて $J\ne R[x]$ を落とす答案が多い。定義を問う設問なので両方を明記する。

極大イデアルとの関係

極大イデアルは必ず素イデアルだが逆は成り立たない。$R=\mathbb{Z}$、$I=(x^2-2)$ は素だが極大でなく、$\mathbb{Z}[x]/I\cong\mathbb{Z}[\sqrt2]$ は整域だが体でない。設問4で示すのは素性までである。

方針

素でないことを示すには定義の $2$ つ目の条件を破る具体例を作る。$x^2-c$ が $R$ の中で因数分解できるときが最も分かりやすい。

次数の議論が必要な理由

「$x-d$ は $f$ で割り切れない」ことを次数で押さえる。$R$ が整域でないと $\deg(fq)$ が下がり得るので、この議論は整域の仮定に依存している。

失点しやすい点

$I\ne R[x]$ も確認しておくとよい。$\deg f=2$ なので $1\notin I$ であり、真のイデアルである。

方針

$f$ はモニックなので $R$ が体でなくても割り算ができ、余りは次数 $1$ 以下で一意である。$x^2\equiv c\pmod{I}$ という関係だけ使えばよい。

検算

$a_1=a_2=0$ とすると余りは $b_1b_2$ で、定数同士の積として正しい。$b_1=b_2=0$ とすると $a_1a_2c$ で、$a_1x\cdot a_2x=a_1a_2x^2\equiv a_1a_2c$ と合う。

失点しやすい点

$x^2$ を $c$ に置き換える操作を忘れると次数 $2$ のまま残り、余りにならない。

方針

剰余環 $R[x]/I$ の元を $a x+b$ の形で表し、積の公式（設問3）を使って「積が $0$ なら一方が $0$」を示す、という流れである。仮定「$a^2c-b^2=0\Rightarrow a=b=0$」は、$c$ が $R$ の商体で平方数にならないことを意味している。

設問2との関係

$c=d^2$ のときは $a=1$、$b=d$ が $a^2c-b^2=d^2-d^2=0$ を満たすので、設問4の仮定が破れる。$2$ つの設問はちょうど裏表になっている。

具体例

$R=\mathbb{Z}$、$c=2$ とすると $a^2\cdot2=b^2$ を満たす整数は $a=b=0$ のみ（$\sqrt2$ が無理数だから）。したがって $(x^2-2)$ は $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルで、$\mathbb{Z}[x]/(x^2-2)\cong\mathbb{Z}[\sqrt2]$ が整域であることに対応する。

失点しやすい点

$a_2^2(b_1^2-a_1^2c)=0$ から $a_2=0$ の枝を落とさない。整域なので積が $0$ なら因子のどちらかが $0$ であり、両方の場合を追う必要がある。

方針

半直線は「上端 $a$」だけで決まるので、共通部分は $\min$、和集合は $\sup$ に対応する。$\min$ は有限個でしか保証されないが、$\sup$ は任意個で取れる。この非対称性が、共通部分が有限個に限られる公理と一致している。

無限個の共通部分が閉じない例

$U_n=(-\infty,1/n)$ とすると $\bigcap_n U_n=(-\infty,0]$ となり、これは $\mathcal{O}$ に属さない。公理が有限個の共通部分しか要求しない理由がここに現れる。

失点しやすい点

和集合で $\sup$ が達成される場合と達成されない場合を分けて書く必要はないが、$(-\infty,A)$ になること（$A$ 自身は入らないこと）は確認する。

通常の位相との違い

$Y$ を通常の位相をもつ $\mathbb{R}$ とすると、$f$ は $x=0$ と $x=1$ で不連続である。たとえば $f^{-1}\bigl((1.5,2.5)\bigr)=\{0\}$ は開でない。$\mathcal{O}$ は通常の位相より粗いので開集合が少なく、逆像として要求される条件が弱まり、連続になる。

なぜ上向きの跳びだけが問題にならないか

$\mathcal{O}$ の開集合は $(-\infty,a)$ の形なので、逆像は「$f$ の値が小さい部分」である。$f$ が下から近づく側でだけ滑らかであればよく、上向きの跳び（$x=0$ で値が $2$ に跳ね上がる）は $\{f<a\}$ を閉じさせない。実際 $x=0$ は $\{f<a\}$ から除かれるだけで、残りは開集合になる。

一般論

この位相は下限位相（左半直線位相）と呼ばれ、$f:E\to Y$ が連続であることは $f$ が上半連続であることと同値である。本問の $f$ は各点で上半連続になっている。

失点しやすい点

$a$ の場合分けで境界の等号（$a\le1$ か $a<1$ か）を丁寧に扱う。$a=1$ のとき $f(x)<1$ は $f(x)=0$ と同値である。

方針

$(x+i\xi)^2$ を展開して、$x$ を含む部分と含まない部分に分けるだけである。$F$ の定義に現れる $e^{-ix\xi}$ の形に合わせるために、$-2i\xi x=-ix(2\xi)$ と読み替えるのが要点である。

収束の確認

$|e^{-(x+i\xi)^2}|=e^{-x^2+\xi^2}$ で、$\xi$ を固定すれば $x$ について急速に減衰するから積分は絶対収束する。

失点しやすい点

$(i\xi)^2=-\xi^2$ なので、$-(x+i\xi)^2$ の定数項は $+\xi^2$ になる。符号を間違えると(4)の答えの指数が逆になる。

方針

複素数の絶対値は指数の実部だけで決まる。$-R^2+t^2$ の $-R^2$ が $R\to\pm\infty$ で支配するので、$t$ の寄与は有界な定数にとどまる。

$R$ の符号によらない理由

$R$ は $2$ 乗の形でしか現れないので、$R\to+\infty$ と $R\to-\infty$ で同じ評価が使える。$2$ つの極限を別々に計算し直す必要はない。

失点しやすい点

$|e^{z}|=e^{\operatorname{Re}z}$ を使う。$|e^{-(R+it)^2}|=e^{-|R+it|^2}$ としないこと。

方針

$e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数で書けないので、$1$ 変数のままでは計算できない。$2$ 乗して重積分にし、極座標で $r\,dr$ が $e^{-r^2}$ の微分に対応することを使うのが標準の手法である。

符号の確定

$I^2=\pi$ からは $I=\pm\sqrt{\pi}$ の $2$ 通りが出る。被積分関数が正であることから正の側を選ぶ、という一行を必ず書く。

失点しやすい点

$F(0)$ は定義に $\xi=0$ を代入したもので $e^{-ix\cdot0}=1$ になる。この確認を省かない。

方針

平方完成すると積分路が実軸から $\operatorname{Im}z=\xi/2$ の水平線へずれる。$e^{-z^2}$ が整関数で、縦辺の寄与が消えるので、積分路を実軸へ戻してよい。これが「積分路のずらし」の典型である。

検算

$\xi=0$ とすると $F(0)=\sqrt{\pi}$ で設問3と一致する。また $F(\xi)$ は再びガウス型で、$e^{-x^2}$ のフーリエ変換が自分自身と同じ形になるというよく知られた性質を表している。

設問1の役割

設問1は $(\ast)$ の右辺の積分が $e^{\xi^2/4}F(\xi)$ に等しいことを示している。設問4はこれを別経路（周回積分）で $\sqrt{\pi}$ と評価し、両者を突き合わせて $F(\xi)$ を確定させる構成になっている。

失点しやすい点

長方形の $4$ 辺の向き（周回の向き）を揃えないと符号が合わない。上辺は $R+i\eta$ から $-R+i\eta$ へ向かうので、$x$ の増加方向に直すとマイナスが付く。