埼玉大学 理工学研究科 数理電子情報専攻 数学プログラム 数学 2024年度（2024年2月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

方針

$a$ を含む行は第 $1$ 行と第 $3$ 行にまたがるので、どの行で展開しても $a$ の $2$ 次式になる。第 $1$ 行の小行列式の $1$ つが $0$ になるので、その分だけ計算が軽い。

検算

$a=0$ とすると $A=\begin{pmatrix}-1&0&2\\1&-1&2\\0&1&-2\end{pmatrix}$ で、直接計算すると $(-1)(2-2)-0+2(1-0)=2$。公式の $2(0+1)^2=2$ と一致する。

失点しやすい点

余因子展開の符号 $+,-,+$ を落とすと第 $2$ 項の符号が反転し、$2a^2-4a+2$ のような別の式になる。展開の符号を式に明示して書く。

複素数の範囲であること

$a$ は複素数だが、$2(a+1)^2=0$ の解は $\mathbb{C}$ でも $a=-1$ のみである。重解なので、$\det A$ は $a=-1$ で $2$ 位の零点をもつ。

失点しやすい点

$(a+1)^2=0$ から $a=\pm1$ としない。平方の形をそのまま読む。

重解であることの意味

$\det A$ が $a=-1$ で $2$ 位の零点をもつことは、$a$ を $-1$ の近くで動かしても行列式が符号を変えずに $0$ に触れることを意味する。$a$ が実数のときは $\det A=2(a+1)^2\ge0$ で、$a=-1$ 以外では常に正である。

方針

対角化可能性の判定は、固有値がすべて相異なるかを先に見るのが最短である。相異なれば固有ベクトルの一次独立性が自動的に従うので、固有空間の次元を数える必要がない。本問は $\mathbb{C}$ 上なので、判別式が負でも $3$ 個の固有値がそろう。

検算

固有値の和は $0+(-2+i\sqrt2)+(-2-i\sqrt2)=-4$ で、$\operatorname{tr}A=-1-1-2=-4$ に一致する。積は $0$ で $\det A=2(-1+1)^2=0$ と一致し、設問2とも整合する。

実行列としてはどうか

$A$ は実行列だが、実数の範囲では固有値が $1$ つしかないので実行列としては対角化できない。設問が「複素行列の範囲で」と断っているのはこのためである。

失点しやすい点

$\lambda=0$ が固有値であることは $\det A=0$ から分かるが、残りの $2$ 次因子の判別式が負であることに驚いて「対角化不可能」と誤答しやすい。複素数の範囲では相異なる $2$ 根が出る。

基底を使わない言い方

$f$ は $V$ の基底 $n$ 本それぞれの行き先を $V'$ の中で自由に決めることで定まる。行き先 $1$ つあたりの自由度が $n'$ だから合計 $nn'$ である。この数え方が(3)でそのまま使える。

失点しやすい点

$n+n'$ や $\max$ としない。写像の空間の次元は積になる。

検算

$n=n'=1$ なら $L(V,V')$ は $1$ 次元、すなわち実数倍の写像全体である。実際 $nn'=1$ で一致する。

有限次元の仮定

無限次元では $\dim L(V,V')$ は $\dim V\cdot\dim V'$ という形にならない。設問が有限次元を仮定しているのはこのためである。

方針

部分空間の判定は「空でない」「和で閉じる」「スカラー倍で閉じる」の $3$ 点で、後半 $2$ つは $f+cg$ の形でまとめて示せる。$W'$ が部分空間であることを使う箇所を明示する。

失点しやすい点

$K$ の元は写像であって、$W$ や $W'$ の元ではない。演算が写像の和とスカラー倍であることを踏まえ、$\bm{w}$ を代入した式で議論する。

$K$ が真部分空間になる条件

$W'\ne V'$ かつ $W\ne\{\bm{0}\}$ のとき、$W$ の元を $W'$ の外へ写す線形写像が存在するので $K\subsetneq L(V,V')$ になる。(3)の次元の式もこの場合に $nn'$ より真に小さくなる。

行列で見る

延長した基底に関する $f$ の行列表示を、$W$ 由来の $m$ 列と残り $n-m$ 列、$W'$ 由来の $m'$ 行と残り $n'-m'$ 行にブロック分割する。条件は左下ブロック（$W$ の像の $W'$ に入らない成分、$(n'-m')\times m$ 型）がすべて $0$ ということである。自由な成分の個数は $nn'-(n'-m')m=mm'+(n-m)n'$ となり、上と一致する。

検算

$W=\{\bm{0}\}$（$m=0$）なら $\dim K=nn'$ で $K=L(V,V')$ となり正しい。 $W=V$、$W'=V'$（$m=n$、$m'=n'$）なら $\dim K=nn'$ でやはり全体。 $W=V$、$W'=\{\bm{0}\}$ なら $\dim K=0$ で $K=\{0\}$ となり、これも正しい。

$K\subseteq L(V,V')$ との整合

$mm'+(n-m)n'\le nn'$ は $mm'\le mn'$、すなわち $m'\le n'$ から従う。次元が全体を超えないことが確認できる。

失点しやすい点

条件を「$f(\bm{w})\in W'$ がすべての $\bm{w}\in W$ で成り立つ」から「基底の像だけ見ればよい」に落とす一行を省かない。線形性から基底で確認すれば十分である。

方針

括弧を展開してから微分すると符号を間違えにくい。$1$ 階の結果を再び因数分解しておくと、(2)の臨界点の場合分けがそのまま読める。

検算

$f$ は $x$ と $y$ の入れ替えで不変である。実際 $f_y$ は $f_x$ の $x\leftrightarrow y$ 入れ替えになっており、$f_{xx}$ と $f_{yy}$ も対応している。$f_{xy}$ は対称式である。

失点しやすい点

$f_{xy}$ と $f_{yx}$ は $f$ が多項式（$C^{\infty}$ 級）なので一致する。片方だけ書いて一致を述べておく。

方針

$f_x,f_y$ がともに積の形なので、割らずに場合分けする。$y=0$ の枝と $1-2x-y=0$ の枝を漏らさない。

検算

$\bigl(\frac13,\frac13\bigr)$ の近くで $f$ を評価する。$f\bigl(\frac13\pm0.1,\frac13\bigr)$ は $0.4333\cdot0.3333\cdot0.2333\approx0.0337$ と $0.2333\cdot0.3333\cdot0.4333\approx0.0337$ で、 どちらも $1/27\approx0.0370$ より小さく、極大と整合する。

失点しやすい点

極大値は $f$ の値であって座標ではない。$1/27$ を書き切る。また $4$ つの臨界点をすべて挙げ、極値でないものは鞍点と明記する。

方針

有界閉集合上の連続関数の最大最小は、内部の臨界点の値と境界上の値を比べればよい。本問は境界上で $f\equiv0$ となるので、境界を辺ごとに $1$ 変数関数として調べる標準手順を省略できる。$f$ の因数がそのまま $D$ を定める $3$ つの不等式に対応していることが仕掛けである。

極値と最大最小の違い

設問2の「極大」は局所的な性質、設問3の「最大」は $D$ 上の大域的な性質である。今回はたまたま一致するが、内部の臨界点が複数あったり境界の値が大きかったりすれば一致しない。

別解

相加・相乗平均でも上から評価できる。$x,y,1-x-y\ge0$ で和が $1$ だから $xy(1-x-y)\le\bigl(\frac13\bigr)^3=\frac{1}{27}$ であり、等号は $x=y=1-x-y=\frac13$ のときに限る。微分を使わずに最大値が出る。

失点しやすい点

境界を $3$ 辺に分けて調べる場合、$x+y=1$ の辺で $f=0$ になることを見落として煩雑な計算に入り込みやすい。因数 $1-x-y$ を見れば即座に分かる。

方針

$D_n$ は $x\ge1/n>0$ なので特異性がなく、通常の累次積分が使える。$f$ の分母が $x$ だけの式なので、$y$ を先に積分すると $x^3$ がきれいに約分される。

検算

$n=2$ とすると $\frac34-\frac12+\frac{1}{16}=\frac{12-8+1}{16}=\frac{5}{16}=0.3125$ で、極限 $0.75$ より小さく単調に近づく形になっている。

失点しやすい点

$-x+x^2$ は $0<x\le1$ で $0$ 以下である。下端が負であることを意識せずに $y^2$ の差を扱うと符号を誤る。$\frac12(y_2^2-y_1^2)$ の形なら符号は自動的に処理される。

方針

絶対値がついたら、被積分関数の符号が変わる境界（ここでは $y=0$）で積分区間を割る。割らずに $|y|$ のまま扱うと原始関数が書けない。

発散の原因

$1/x$ の項が $x\to0^{+}$ で対数発散を生む。これは領域の $y$ 方向の幅が $x$ の $1$ 次で細るのに対し、$|f|=|y|/x^3$ が $x^{-3}$ で増大するためで、差し引き $x^{-1}$ が残る。

失点しやすい点

$\int|y|\,dy$ を $\frac12|y|^2$ の差と書くと、区間が $0$ をまたぐ場合に誤りになる。必ず $2$ 区間に分ける。

方針

設問の順序がそのまま論証の順序である。(1)だけを見て「収束する」と答えるのが典型的な誤りで、(2)を経由して絶対値の積分を見るのが正しい判定手順である。

汲み尽くし方への依存の具体例

下端を $y\ge x^2-x$ の代わりに $y\ge\lambda(x^2-x)$（$0<\lambda\le1$）と縮めた領域列でも $D$ を汲み尽くせるが、 $\int(x^3-\lambda^2(x^2-x)^2/2\cdot\dots)$ の形で $x^{-1}$ の係数が $\lambda$ に依存して残り、極限値が変わる。値が一意に定まらないことが確かめられる。

背景

これは条件収束級数の並べ替えで和が変わる現象の重積分版である。ルベーグ積分の言葉では、$f$ は可測だが可積分ではなく $\int_D f$ は定義されない。

失点しやすい点

「(1)で有限値が出たから収束」と書かない。理由として絶対値の積分が発散することを明示する。

全単射でもあること

$\varphi$ は明らかに単射（$b$ が右上成分として読み取れる）で、$N$ の任意の元は $\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}$ の形だから全射である。よって $\varphi$ は同型で、$N\cong(\mathbb{C},+)$ である。

失点しやすい点

定義域の演算が加法、値域の演算が乗法である。$\varphi(b_1+b_2)=\varphi(b_1)\varphi(b_2)$ という「加法を乗法に移す」形になることを確認する。

$N$ の意味

$N$ は対角成分が $1$ の上三角行列全体で、$\mathbb{C}$ の加法群と同型な「平行移動」の群にあたる。(4)で $G$ をこの $N$ と対角行列群 $H$ に分解する準備になっている。

方針

正規性は「核として書く」のが最短だが、共役の具体形も書いておくと(3)との対比が明確になる。共役で右上成分が $x$ から $ax/d$ に変わるだけで $N$ から出ないことが要点である。

失点しやすい点

$g^{-1}$ の右上成分は $-b/(ad)$ である。$-b$ とだけ書くと計算が合わない。$2$ 次上三角行列の逆行列の形を確認する。

別解

共役の一般形 $gng^{-1}=\begin{pmatrix}1&ax/d\\0&1\end{pmatrix}$ から、$N$ 上の共役作用は右上成分を $a/d$ 倍するだけだと分かる。$\varphi$ を通せば、これは $\mathbb{C}$ 上のスカラー倍に対応する。

方針

正規でないことを示すには反例を $1$ つ挙げれば十分である。一般には $g h g^{-1}=\begin{pmatrix}a_h& b(d_h-a_h)/d\\0&d_h\end{pmatrix}$ の形になり、 $a_h\ne d_h$ かつ $b\ne0$ のときに右上成分が $0$ でなくなる。反例はこの条件を満たすように選ぶ。

失点しやすい点

$h$ をスカラー行列（$a=d$）に取ると共役で動かないので反例にならない。対角成分が相異なる $h$ を選ぶ。

どこで $c=0$ が効くか

$G$ が上三角に限られているので、共役をとっても左下成分は $0$ のままである。$GL_2(\mathbb{C})$ 全体では対角行列群も冪単群も正規でない。

方針

「準同型・単射・全射」の $3$ 点を順に示す。単射は核が自明であること、全射は代表元を $H$ から取り直せることに帰着する。$h$ の作り方は「$g$ の対角成分だけを残す」で、$h^{-1}g$ が $N$ に落ちるのが本質である。

構造の意味

$G=HN$、$H\cap N=\{I\}$、$N\trianglelefteq G$ が成り立つので、$G$ は $H$ による $N$ の半直積である。設問2で $N$ が正規、設問3で $H$ が正規でないことを見たので、直積ではなく半直積になる。

検算

$\rho$（設問2）を使うと $G/N\cong\operatorname{Im}\rho=\mathbb{C}^{*}\times\mathbb{C}^{*}$ である。一方 $H$ も対角成分の組で $\mathbb{C}^{*}\times\mathbb{C}^{*}$ と同型だから、両者が同型であることと整合する。

失点しやすい点

全射性の証明で $h$ を明示的に構成しないと点が伸びない。$h^{-1}g\in N$ の計算を書き切る。

方針

(i)は任意の開集合について述べているので、そこに具体的な開球 $B_{\varepsilon}(f(a))$ を代入するのが第一手である。距離空間では開球が開集合の基底になるので、この特殊化で十分になる。

$f(f^{-1}(V))\subseteq V$ について

一般に等号は成り立たない（$f$ が全射でなければ真の包含になる）が、必要なのは包含だけなのでこれで足りる。

失点しやすい点

$U$ が開であることから $\delta$ を取り出す一行を省かない。$a\in U$ と $U$ が開であることの両方が必要である。

方針

$\varepsilon$ を与えられたら、(ii)で $\delta$ を取り、その $\delta$ を収束の定義に入れて $N$ を取る、という二段構えになる。$\varepsilon\to\delta\to N$ の順序を崩さない。

失点しやすい点

$\delta$ を先に固定してから $\varepsilon$ を選ぼうとすると論理が逆になる。量化子の順序を答案の書き順で表現する。

$\delta$ の取り直し

(ii)の $\delta$ は $\varepsilon$ ごとに変わってよく、$a$ を動かすと変わってもよい。(ii)は $1$ 点 $a$ における連続性の条件であり、一様連続性ではない。

方針

否定命題に現れる「任意の $\delta>0$」に $\delta=1/n$ を代入して点列を作るのが定石である。$\delta$ を $0$ に近づける列であれば $1/n$ でなくてもよいが、$1/n$ が最も扱いやすい。

選択公理について

各 $n$ について $x_n$ を選ぶ操作は可算選択を使っている。この水準の議論では通常明示しないが、点列を「取れる」ことの根拠がここにある。

3つの条件の関係

(1)(2)(3)を合わせると (i)$\Rightarrow$(ii)$\Rightarrow$(iii)$\Rightarrow$(ii) が示され、(ii)と(iii)の同値が従う。距離空間では (ii)$\Rightarrow$(i) も成り立ち、$3$ つはすべて同値である。一般の位相空間では点列連続性は連続性より弱いことがあり、距離空間（第一可算）であることが効いている。

失点しやすい点

否定を作るとき $\varepsilon_0$ が「ある特定の値」で固定される点を落とさない。$n$ ごとに $\varepsilon$ を変えてしまうと、$f(x_n)$ が収束しないことが言えなくなる。

方針

$z=e^{i\theta}$ と置くと三角関数はすべて $z$ の有理式になる。$\cos\theta=(z+z^{-1})/2$、$\sin\theta=(z-z^{-1})/(2i)$ の $2$ 本を覚えておけばよい。

失点しやすい点

$z^{-1}=\bar z$ は $|z|=1$ のときに限る。単位円周上であることを断る。

(3)への接続

$\cos^2\theta$ を $z$ で表すと分母に $z^2$ が現れる。この $z^2$ が $d\theta=dz/(iz)$ の $1/z$ と組み合わさって、(2)の $f(z)=z/(2z^4+5z^2+2)$ をちょうど作る。

方針

$z^2$ の $2$ 次式とみて因数分解する。留数は $g(z_0)/h'(z_0)$ で求め、$z_0^2$ の値を代入して $z_0$ でくくると約分される。$4$ 点を個別に計算する必要はない。

検算

$f$ は奇関数（$f(-z)=-f(z)$）だが、$1$ 位の極の留数は $z_0$ と $-z_0$ で同じ値になる。実際 $\operatorname{Res}_{-z_0}f=\frac{-z_0}{-(8z_0^3+10z_0)}=\frac{z_0}{8z_0^3+10z_0}$ で一致し、上の結果と整合する。

絶対値

$|\pm i/\sqrt2|=1/\sqrt2<1$、$|\pm i\sqrt2|=\sqrt2>1$ である。この大小が(3)でどの極を拾うかを決める。

方針

$\theta$ の有理三角関数の $0$ から $2\pi$ までの積分は、$z=e^{i\theta}$ で単位円周上の有理関数の積分に必ず直せる。$d\theta=dz/(iz)$ の変換を忘れないことと、単位円の内部にある極だけを拾うことが要点である。

検算

一般に $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos^2\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a(a+b)}}$（$a>0,\ a+b>0$）が成り立つ。$a=1$、$b=8$ とすると $\dfrac{2\pi}{\sqrt{9}}=\dfrac{2\pi}{3}$ で一致する。

値の妥当性

被積分関数は $\cos^2\theta$ が $0$ のとき $1$、$1$ のとき $1/9$ をとる。平均が $1/3$ 程度なら積分は $2\pi/3\approx2.09$ となり、実際の値と整合する。

失点しやすい点

$1/i=-i$ を使うので、最後に虚数単位が消えて実数になることを確認する。また $\pm i\sqrt2$ を誤って足すと符号が変わって値が $0$ になってしまう。$|z|<1$ の判定を明記する。