埼玉大学工学部 3年次編入の数学過去問｜6年分18問の出題と解き方

このページで扱うのは、埼玉大学工学部の第3年次編入学試験で出題される数学の過去問です。大学・短期大学・高等専門学校を卒業した人や、4年制大学に2年以上在学して62単位以上を修得した人などが、工学部の3年次に入るための選抜で、高校生などが受ける一般選抜とは問題も日程も別です。令和9年度（2027年4月入学）は機械工学・システムデザイン学科、電気電子物理工学科、環境社会デザイン学科の3学科が各若干名を募集し、筆記試験は3学科に共通の数学でした。

令和3〜8年度（2021〜2026年度入学）の6回分を、大学の問題冊子と院試Hubの解答・解説PDFで読み、18大問の出題と失点しやすい設問をまとめました。どの年度も大問1が微分積分、大問2が線形代数、大問3が微分方程式で、選択問題はなく3題とも解答します。問題は大学の編入学学生募集のページで令和6〜8年度のPDFが公開されていて、大学による解答例はありません。院試Hubの解答・解説PDFは6回分の18大問・69設問を71ページの1冊にまとめた商品で、年度別の無料公開ページはありません。

令和9年度は7月4日に数学90分と面接。数学300点の順位で合否を決める

令和9年度埼玉大学工学部第3年次編入学学生募集要項の内容です（2026年10月28日確認）。令和9年度は2027年4月に入学する回で、試験は実施済みです。

英語の試験と外部英語試験のスコア提出は、選抜方法に含まれていません。面接では提出書類が使われ、電気電子物理工学科だけは大学の1・2年次に学ぶ専門知識を問うことがあると書かれています。出願書類は成績証明書、卒業（見込）証明書と、大学のホームページに掲載された様式で書く「志望の理由」などです（要項3ページ）。

2028年4月入学（令和10年度）の日程と募集学科は、2026年10月28日時点で公表されていません。令和9年度の募集学科に情報工学科と応用化学科は入っていないため、翌年度の対象学科も次の要項で確かめてください。入学後は、出身校で修得した単位が学科の基準で認定され、在学できるのは休学期間を除いて6年までです（要項5ページ）。

学科別の志願者と合格者（令和6〜8年度）

同じ要項の7ページに、令和6〜8年度の学科別の志願者数と合格者数が載っています。括弧内は、院試Hubが志願者数を合格者数で割った値です。受験者数は載っていないため、実際に受験した人に対する倍率とは異なります。

数学は3学科共通の問題ですが、合格者数は学科ごとに大きく違います。機械工学・システムデザイン学科は3年とも合格者が1〜2人で、志願者数を合格者数で割ると13.5〜34.0でした。電気電子物理工学科は6〜7人、環境社会デザイン学科は3年とも5人が合格しています。合格者の得点や合格最低点は公表されていないので、何点取れば合格かはこの表から判断できません。

公式過去問の入手先と、問題冊子に書かれた答案の指示

令和9年度の編入学学生募集のページには、過去問題として令和6〜8年度の数学のPDFが掲載されています（2026年10月28日確認）。令和3〜5年度のPDFはこのページからリンクされていませんが、同じ大学のサーバーで配信が続いていることを同日に確かめました。募集要項は、工学部係の窓口での閲覧と、外部サイト（サイバーカレッジ）での閲覧も案内しています（要項7ページ）。

問題冊子の表紙は6回とも同じ形式で、3学科の名前と「数学（問題冊子）」が書かれています。注意事項のうち、答案の書き方に関わるのは次の3点です。

• 解答は1問につき1枚の答案用紙に書き、解答が得られた経過がわかるように書く。
• 答案用紙が足りない場合は、表面の右下に「裏面に続く」と書いて裏面を使う。
• 受験番号をすべての答案用紙の右上に書く。書き忘れや誤記は零点になることがある。

最終的な値だけを書いた答案では、経過を示す指示を満たせません。表紙に試験時間の記載はないため、練習では要項の90分で3題を解きます。大学は解答例も出題意図も公表していないので、自分の答えは検算と解説の照合で確かめることになります。

令和3〜8年度の出題：毎年、微分積分・線形代数・微分方程式の3題

各大問のテーマを、問題冊子と院試Hubの解答・解説PDFの見出しから短くまとめました。年度は入学年度で、2021年度（令和3年度）は2021年4月に入学する人を選んだ回です。

微分積分では、重積分が6回すべてに出ています。2022年度は3次元極座標で球の体積、2023年度は楕円を単位円に写す変数変換、2024・2025年度は極座標で4分円と半円環を扱い、変数変換とヤコビアンを使う設問は4回ありました。2変数関数の極値は2021・2023・2024年度、偏導関数は2021・2025・2026年度、マクローリン展開は2022・2024年度です。2026年度の大問1は多項式の微分や正方形上の累次積分を含み、短い計算で終わる設問から始まっていました。

線形代数では、固有値や特性方程式を使う設問が6回とも出ています。2021・2025年度は固有値が重解になり、その固有値に対する固有ベクトルが1本しか取れない行列でした。2022年度は3項間漸化式を2次行列で表して一般項を求め、2023年度はケーリー・ハミルトンの定理と冪零行列で行列の累乗を、2024年度は対称行列の正規直交な固有ベクトルからAⁿの成分を求めています。逆行列は2022年度の4次と2024・2026年度の3次で計3回、証明問題は2021年度の線形従属、2023年度のブロック行列の行列式、2024年度の可換な対称行列の積の3回です。

微分方程式は、定数係数の2階線形方程式が6回とも出ています。右辺が同次解と重なる共鳴は2022年度（ヒントつき）と2025年度で、特性方程式の重解は2021年度、−2±iのように実部をもつ複素数の根は2023年度に出ています。1階では、変数分離が2021・2022・2024・2026年度、積分因子を使う1階線形が2023〜2025年度に3年続きました。Bernoulli形として解けるのは2022・2024・2025年度で、2022・2024年度は変数分離でも解けます。2022年度の完全微分方程式、2023年度の連立微分方程式、2021年度のdy/dxについての2次方程式は1回ずつです。

2021年度大問3の問1と2026年度大問3の問3は、どちらもdy/dx=y log(2x)の同じ方程式です。2026年度は問題文でy≠0を仮定しているため、y≡0の扱いだけが2021年度と異なります。6回分の中に同じ式が2回あるので、型の練習には古い年度も使えます。

90分で3題：最初に型を見分け、1題25分を目安にする

令和9年度の要項では、数学は90分です。答案用紙は1問1枚なので、解く順番は自分で選べます。最初の5分で3題の設問をすべて読み、型が分かった設問から書き始めます。目安として1題に25分、残りの10分前後を検算に回すと、固有ベクトルや微分方程式の解を元の式に代入して確かめる時間が取れます。この配分は院試Hubの提案で、大学が示したものではありません。

大問3の微分方程式は、6回とも特性方程式で解く2階線形と、変数分離・積分因子・Bernoulli形などの1階の組み合わせでした。型を判定すれば手順がほぼ決まるので、先に大問3の型を確かめておくと、残り時間の見通しが立ちます。各分野の最初の一手は次のとおりです。

• 重積分：領域を不等式で書き、極座標や変数変換を使うならヤコビアンを最初に書きます。
• 2変数関数の極値：∂f/∂x=0、∂f/∂y=0を因数分解した形に直し、停留点を組み合わせで漏れなく挙げてから、判別式D=fxx·fyy−fxy²とfxxの符号で判定します。
• 固有値：3次の特性多項式は、トレース・2次の主小行列式の和・行列式から係数を作ると速く、定数項の約数を代入して根を1つ見つけてから因数分解します。
• 微分方程式：型を判定し、2階なら右辺の関数が同次解に含まれるか（共鳴するか）を、特殊解を置く前に確かめます。

微分積分：ヤコビアン、積分範囲、停留点の数え落とし

解答・解説PDFで、誤りやすい点として説明している設問です。ここでは考え方の分かれ目だけを挙げ、計算の全体は解説集に譲ります。この節から後の問番号は、その分野の大問の中の番号です。

• 2021年度問1：(1)は分母をyで微分すると−3が出て、商の微分の符号が2回変わります。解説集はここを最も多い誤りとしています。(2)は指数に変数yを含むので、exp(2y log x)の形に直してからyで微分し、x>0の条件を添えます。
• 2021年度問2：原点での2次近似式でxyの係数はfxyです。2次の項に付く1/2と、xyの項に付く2が打ち消し合うためで、1/2·fxyと書くと誤りになります。(2)は停留点が4つあり、因数分解した2式の組み合わせを順に挙げると漏れません。
• 2022年度問3：球の体積は「重積分により求めよ」という指示なので、体積要素r²sinθ dr dθ dφを覚えた式として書かず、ヤコビアンの行列式から導きます。天頂角θの範囲は0からπです。
• 2023年度：問1の(cos x)^(1/sin x)は底も指数もxの関数なので、対数微分法を使い、最後にyを掛け戻します。問3の楕円の変数変換のヤコビアンはabrで、rを落とすと値が変わります。
• 2024年度：問2の(arccos x)²はu=arccos xとおくと積分範囲がπ/2から0へ逆向きになります。部分積分を2回行い、下端u=0で残る値を落とさないようにします。問3は極値が存在する場合に答える形なので、鞍点が極値でないことも書きます。
• 2025年度：問1は閉区間での最大・最小なので、端点x=0と2πの値も比べます。問4の半円環は1≦r≦2、0≦θ≦πで、θを2πまでとると積分が0になってしまいます。
• 2026年度問3(3)：混合2次偏導関数では、sin(xy)の係数が4xy−xy=3xyにまとまります。fはxとyを入れ替えても変わらないので、結果も対称になるかで検算できます。

線形代数：重解の固有値、成分の順番、証明の根拠

• 2021年度問2、2025年度問2(1)：特性方程式が重解をもち、重解の固有値に対する固有ベクトルは1本だけです。A−λEの階数を確かめ、対角化できないことにも一言触れると、問われていない点まで理解していることが伝わります。
• 2022年度問1：数列をベクトルで表すとき、第1成分が添字の大きい項です。初項のベクトルの成分の順番を逆にすると、その後の固有ベクトル展開と一般項がすべて崩れます。累乗の指数がn−1になる点も、n=1を代入して確かめます。
• 2023年度問1：ブロック行列の行列式の証明では、ブロック単位の行と列の変形が行列式を変えない根拠として、変形を表す行列の行列式が1であることを書きます。成分を書き下して4次の行列式を展開する方法は現実的ではありません。
• 2024年度問3・問4：「大きさ1の固有ベクトル」を求めるので、√2、√3、√6で割って正規化します。問4はこの正規直交な固有ベクトルを使うと、Aⁿの(1,1)成分を固有値の累乗の和として書けます。
• 2025年度問1：外積を行列式の形で計算すると、第2成分に符号の反転が付きます。外積が元の2つのベクトルと直交するかを内積で確かめると、符号の誤りに気づけます。(2)の体積はスカラー三重積の絶対値です。
• 逆行列（2022年度の4次、2024・2026年度の3次）：余因子で求めるなら余因子行列の転置を使います。4次は掃き出し法が現実的で、どちらの方法でも行列と逆行列の積を少なくとも1行分は計算して検算として書きます。

固有値を求めたら、固有値の和がトレース、積が行列式に一致するかを確かめます。対角化できない行列や固有空間の次元の確かめ方は、線形代数の院試対策ページでも練習できます。

微分方程式：型の判定、共鳴の確認、割り算で失う解

• 共鳴：2022年度(3)は右辺xeˣのeˣが同次解に含まれるため、問題文のヒントどおりxを1つ掛けた形の特殊解を置きます。2025年度(3)は右辺のcos x、sin xが同次解そのもので、x(A cos x+B sin x)とおきます。2026年度問2は同次解の角振動数が√2で、右辺のsin xとは重なりません。
• 右辺がsinだけの場合：y′の項がある方程式では、特殊解にcosとsinの両方を置きます。2021年度問3は、結果として一方の係数が0になる問題です。2026年度問2はy′の項がないので、A sin xだけの仮定で足ります。
• 積分因子：2024年度問1は積分因子がexp(−cos x)で、符号を誤ると右辺のexp(cos x)と打ち消し合わず先へ進めません。2025年度(1)は右辺のsin 2xを2 sin x cos xと開くと、積分因子と同じsin xで置換できます。
• Bernoulli形：y′+Py=Qyⁿに対してu=y^(1−n)とおきます。2025年度(2)はn=3なのでu=y⁻²で、微分すると係数−2が付きます。これを落とすと以後の係数がすべてずれます。
• 割り算で失う解：変数分離でyやy(y−1)などで割るときは、定数解を別に調べます。2022年度(1)ではy≡0が、2024年度問2ではy≡0とy≡−1が、一般解の式から外れる解です。
• 2021年度問4：dy/dxについての2次方程式とみて因数分解すると、解の族が2つ出ます。両方を解いて書く必要があります。
• 2022年度：(2)はu=2x+y+4とおくとu′=2+y′で、u′=y′としないことが要点です。(4)は完全微分方程式の条件が成り立つかを先に確かめてから、ポテンシャル関数を作ります。
• 2023年度(3)：連立微分方程式は係数行列の固有値・固有ベクトルで解き、得た解を2本の式に代入して検算します。

2021年度大問3問2：原題の分母と同次形の区別

この問題は根号の中が(x²−2y²)/xで、分母がxです。y=vxとおいても右辺がvだけの式にならないので、厳密には同次形ではありません。それでも置換すると変数分離でき、問題文に添えられたarcsinの積分公式で解けます。x>0として整理すると、原題のままでは次の形になります。

根号の中の分母がx²なら標準的な同次形で、右辺だけが次のように変わります。

左辺は共通で、右辺の積分が2√xになるかlog|x|になるかで解の形が変わります。解答・解説PDFは原題どおり分母xのまま解き、分母がx²の場合の解との違いも注記しています。どちらの式でも、√(1−2v²)で割るときは1−2v²=0となる場合を別に確かめます。

練習の順番と参考書

1. 最新の2026年度を90分で解き、3題それぞれにかかった時間と、止まった設問を記録します。
2. 止まった分野を上の表で探し、同じ分野の別の年度を解きます。重積分なら2022〜2025年度の変数変換4問、固有値なら6回分、積分因子を使う1階線形なら2023〜2025年度の3問がまとまった練習になります。
3. 6回分の大問3から微分方程式の型を一覧にし、式を見て解法を言えるかを確かめます。共鳴するかどうかの判定も一覧に加えます。
4. 答案は1問1枚で経過を書く指示なので、解き直しでは途中式を省かず、代入による検算の1行も答案に残します。

教材は、高専や大学の1・2年次で使った微分積分と線形代数の教科書の演習問題が土台になります。編入試験向けの問題集を使うなら、桜井基晴『編入数学徹底研究』（金子書房）で微分積分・線形代数・微分方程式の頻出の型を確かめ、過去問形式の演習を増やしたい場合は同じ著者の『編入数学過去問特訓』（金子書房）を加えられます。微分方程式の型ごとの解き方と、解を元の式に代入する確かめ方は、微積分・解析の院試対策ページにもまとめています。

解答PDFの収録範囲と使い方

院試Hubの埼玉大学工学部第3年次編入学試験・数学の解答・解説PDFは、令和3〜8年度（2021〜2026年度）の6回分、18大問・69設問を71ページの1冊にまとめています。各設問に解答と解説があり、解説では誤りやすい符号や積分範囲、別解、検算の方法を説明しています。2021年度大問3問2は、原題の分母のまま解いたうえで、分母がx²なら同次形になることを区別して注記しています。

問題本文と原図は収録していません。大学の募集ページなどで入手した問題PDFと並べて使ってください。この商品には年度別の無料公開ページがないため、収録内容と見本は商品ページで確認できます。

埼玉大学工学部の商品は埼玉大学工学部のページにまとめています。ほかの大学の編入試験は大学編入の一覧から探せます。大学院の理工学研究科の入試は別の試験で、数学プログラムの過去問は埼玉大学院の数学のガイドで扱っています。