東大 工学系研究科 物理学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説2項目）

慣性モーメントの定義と円板分割

固定軸のまわりに角速度 $\omega$ で回る剛体の微小質量 $dm$ の速さは $r_\perp\omega$ である。各部分の運動エネルギーを足せば $$K_{\rm rot}=\frac12\int(r_\perp\omega)^2\,dm =\frac12I_C\omega^2$$ となる。この係数 $I_C$ が慣性モーメントで、単位は質量と長さの二乗の積である。球対称な一様球では、重心を通るどの軸についても同じ値になる。

半径 $b$ の一様な薄い円板では、環状部分の質量を $dm'=2\pi\sigma r\,dr$ として $I_{\rm disk}=\int_0^b r^2(2\pi\sigma r)\,dr=(1/2)M_{\rm disk}b^2$ となる。球を $z$ の位置で切った円板の半径は $\sqrt{a^2-z^2}$ なので、答案の積分が得られる。円板の半径をすべて $a$ としてはいけない。

別の積分による確認

球座標では $r_\perp=r\sin\theta$、$dm=\rho r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ である。よって $$I_C=\rho\int_0^a r^4\,dr\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta \int_0^{2\pi}d\phi =\rho\frac{a^5}{5}\frac43\,2\pi=\frac25Ma^2$$ となり、円板分割と一致する。

薄い球殻との取り違え

一様な「中身の詰まった球」では質量が内部にもある。一方、すべての質量が表面にある薄い球殻の慣性モーメントは $2Ma^2/3$ であり、本問へ使うと自転のエネルギーを $5/3$ 倍に見積もる。後の撃力の高さも $7a/5$ ではなく $5a/3$ へ変わってしまう。密度が体積で一様か、表面で一様かを区別する。

剛体の速度の分解

剛体の任意の点Pの速度は $\boldsymbol v_P=\boldsymbol V_C+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_{P/C}$ である。これは位置の式 $\boldsymbol r_P=\boldsymbol r_C+\boldsymbol r_{P/C}$ を微分し、剛体内の相対位置が回転だけで変化することを使えば得られる。本問では $\boldsymbol\omega$ が紙面の奥向き、接触点までの位置が下向きなので、外積は左向きとなる。

すべらないとは、床と接している球の点が、その瞬間に床に対して動かないという条件である。球の重心が静止するという意味ではない。床も静止し、変形を無視した剛体として扱うことが、この条件を使う前提である。

上端と接触点で確かめる

$v=a\omega_0$ のとき、接触点では速度が $v-a\omega_0=0$、上端では $v+a\omega_0=2v$ となる。重心は速さ $v$ で進む。これらの値は、接触点を瞬間の回転中心と見た速度分布にも一致する。

ただし、接触している「球の物質点」は時刻とともに入れ替わる。接触点の速度が零でも、同じ物質点の加速度まで零になるとは限らない。瞬間回転中心という見方を、固定された支点と取り違えない。

符号を逆にした式の誤り

$v+a\omega_0=0$ と書くと、$v>0$ に対して $\omega_0<0$、すなわち反時計回りを要求する。しかし右へ進む球が反時計回りなら、接触点は右へさらに動き、床に対してすべる。本問は時計回りの大きさを $\omega_0>0$ と定めたので、相殺すべき二つの速度の向きを先に図で確認してから $v-a\omega_0=0$ と置く。

力積と角力積の導出

運動方程式 $M\,d\boldsymbol V/dt=\boldsymbol F$ を撃力が働く短時間で積分すると、 $M(\boldsymbol V_+-\boldsymbol V_-)=\int\boldsymbol F\,dt$ となる。右辺が力積であり、$P$ の単位は力ではなく運動量である。同様に、重心まわりの式 $d\boldsymbol L_C/dt=\boldsymbol\tau_C$ を積分すれば角運動量の変化は角力積に等しい。撃力の間に球の姿勢がほとんど変わらない理想化では、腕 $h-a$ を一定として外へ出せる。

床の作用と撃力の高さ

床上の球へ水平な撃力を与え、直後からすべらない条件を満たす高さを探している。鉛直運動量は変わらないので、撃力の極限で床から特別な鉛直力積は必要ない。重力や通常の垂直抗力は有限の力であり、その短時間積分は零に近づく。有限の摩擦係数で扱う通常の接触なら、床からの水平力積もこの極限では零である。

そのため、水平運動量の増加は $P$、重心まわりの角運動量の増加は $P(h-a)$ と書ける。$h=7a/5$ では、撃力だけで並進と自転の比が転がり条件に一致する。最初にすべりを起こし、その後の摩擦で転がりへ移る場合とは条件が違う。

二つの式へ戻す検算と腕の誤り

得られた値を代入すると $Mv=P$、 $I_C\omega_0=(2/5)Pa=P(h-a)$ がともに成り立つ。また $a<h<2a$ なので、球の上半分の実際に打てる高さにある。

重心まわりの腕を床からの高さ $h$ と取り違え、 $I_C\omega_0=Ph$ とすると $h=2a/5$ になる。しかしその高さは重心より下であり、右向きの撃力は反時計回りに回そうとする。腕は「どの点のまわりに角運動量を計算するか」で決まる。本問の重心まわりでは $h-a$ である。

すべらない静止摩擦は散逸を表さない

剛体の運動エネルギーは重心の並進と重心まわりの回転の和である。$v=a\omega$ を使うと $K=(M+I_C/a^2)v^2/2=7Mv^2/10$ となる。回転分を落とさず、両方のエネルギーを含める。

床と接する球の点の速度が零なら、そこで働く垂直抗力と静止摩擦力の仕事率は $\boldsymbol F_{\rm contact}\cdot\boldsymbol v_{\rm contact}=0$ である。摩擦力が自転と並進のエネルギー配分を変えても、合計を散逸させるとは限らない。本問は転がり摩擦を無視し、すべりも跳躍もないと指定しているため、撃力後の区間では重力による位置エネルギーとの交換だけを考えられる。

球の重心が上がる高さ

上面も下面も水平で、球の半径は変わらない。重心の高さは下面で $a$、上面で $H+a$ だから、増分は $H$ である。坂の途中の速さは、その位置での重心上昇を $\Delta y_C$ として $$v^2=\frac{P^2}{M^2}-\frac{10g}{7}\Delta y_C$$ で確かめられる。右辺が負になる高さには到達しない。等号の限界を含めるかは、上面へ達する限界をいうのか、有限の速さで通過するのかを区別する。

回転エネルギーを落とした誤答

並進分 $P^2/(2M)$ だけを $MgH$ と比べると、 $P_{\rm wrong}=M\sqrt{2gH}$ となり、正しい限界値の $\sqrt{7/5}$ 倍を要求する。球の自転も坂をのぼる際の位置エネルギーへ変換されるため、この答えは必要な撃力を過大に見積もる。また $P_{\rm crit}$ は運動量の単位 $M\sqrt{gH}$ を持ち、$H\to0$ で零になる。

弾まない衝突で使う保存則

衝突の間、接触力は短時間に大きな力積を与え、球の重心速度と自転を変える。その過程では変形や振動などへエネルギーが移り、弾まないという条件は衝突前後の運動エネルギー保存を保証しない。ここで役立つのは、接触力の作用点Qまわりの角運動量である。Qでの力積はQまわりのモーメントを持たず、重力の力積は衝突時間の極限で無視できるため、この角運動量は保存できる。

衝突後にエネルギー保存へ戻れる理由

原題は、衝突後の球がQを中心に回転し、弾まずに段差を越える運動を指定している。その区間でQが固定接触点として働けば、接触力の仕事率は零である。重力は保存力なので $$\frac12I_Q\omega^2+Mgy_C=\text{一定}$$ を使える。衝突時の散逸と、その後の保存的な運動を一つの式で連続につないではならない。

エネルギー損失の符号と誤った比較

$0<H<a$ なら $H>0$、$14a-5H>9a>0$ であり、答案の損失は確かに正である。$H\to0$ では損失も零となり、段差のない運動に戻る。

衝突前の $K_0$ をそのまま位置エネルギーと比較すると、IIIと同じ $P_{\rm crit}$ を答えることになる。しかし段差では $K_1<K_0$ なので、その撃力では衝突後にエネルギーが足りない。例えば $H=a/2$ では $K_1/K_0=(1-5/14)^2=81/196$ であり、衝突前のエネルギーの半分以上が失われる。

角運動量を並進と自転に分ける

固定点Qまわりの角運動量は $$\boldsymbol L_Q =\boldsymbol r_{C/Q}\times M\boldsymbol V_C+\boldsymbol L_C$$ となる。これは各質量の位置を $\boldsymbol r_{i/Q}=\boldsymbol r_{C/Q}+\boldsymbol r_{i/C}$、速度を重心速度と相対速度へ分け、重心の定義により交差項が消えることから導かれる。並進速度は水平なので、その腕はQと重心の鉛直距離 $a-H$ である。重心とQの距離そのものの $a$ ではない。

平行軸の定理と衝突後の拘束

平行な軸へ距離 $b$ だけ移したとき、慣性モーメントは $I'=I_C+Mb^2$ となる。質量ごとに二乗距離を展開すると、重心からの一次の項が $\int\boldsymbol r_{i/C}\,dm=0$ で消えるためである。Qは球の表面上にあり $|CQ|=a$ なので、$b=a$ を使う。

衝突後はQまわりの剛体回転として扱うため、重心の速さも $a\omega_1$ となる。この並進分をすでに含む慣性モーメントが $I_Q$ である。$I_Q\omega_1$ にさらに $M(a\omega_1)a$ を足すと二重に数えてしまう。

自作解説図：Qまわりの並進角運動量に使う腕

極限と誤った腕の検算

$H\to0$ なら $\omega_1\to P/(Ma)=\omega_0$ となり、段差が消える極限と合う。$0<H<a$ では $0<\omega_1<\omega_0$ であり、衝突後の回転速度は小さくなる。

並進項の腕を誤って $a$ とすると $L_Q=7Pa/5$、$\omega_1=P/(Ma)$ となり、$H$ がいくら高くなっても速度が変わらないという誤答を生む。Qから重心へ引いた線が長さ $a$ でも、水平運動量との外積に必要なのはその鉛直成分 $a-H$ である。

段差の上で必要な位置エネルギー

Qを中心に回る間、重心は半径 $a$ の円弧を進む。初めの重心の高さは下面から $a$、Qの真上では $H+a$ なので上昇量は $H$ である。重心がQの真上に来るところが乗り越えの位置エネルギーの最大であり、そこを越えれば上面へ進める。ここでは原題が指定した、弾まずQを中心に回る運動を用いている。

衝突の損失を含めた比較

IIIのなめらかな坂の限界を $P_{\rm smooth}$ とすると $$\frac{P_{\rm crit}}{P_{\rm smooth}} =\frac{7a}{7a-5H}>1.$$ 同じ高さでも段差のほうが大きな撃力を要する。これは、坂ではない衝突過程でエネルギーが失われるためである。例えば $H=a/2$ ならこの比は $14/9$ であり、撃力はなめらかな坂の場合の約1.56倍必要になる。

$H\to0$ ではこの比が1へ近づき、両方の限界値自体は零へ近づく。$P_{\rm crit}$ の単位は $Ma\sqrt{gH}/a$、すなわち運動量である。$H<a$ の範囲では分母は正で、絶対値を落とす操作にも問題がない。

衝突前の保存を仮定した誤り

$K_0=MgH$ と置いた $P=M\sqrt{10gH/7}$ を本問へ代入すると $$\frac{K_1}{MgH}=\left(1-\frac{5H}{7a}\right)^2<1$$ となり、確かに段差を越えるためのエネルギーが不足する。衝突でQまわりの角運動量を保存し、その結果から求めた $K_1$ を使う順序が必要である。式だけでなく、保存則を適用する区間を答案へ書くと、誤った保存の使い回しを避けられる。