東大 工学系研究科 物理学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説2項目）

距離の二乗で質量を重み付けする

慣性モーメントの定義は $I=\int r_\perp^2\,dm$ である。同じ角速度 $\omega$ で回る各部分の速さが $r_\perp\omega$ なので、運動エネルギーを足した $K_{\rm rot}=(1/2)\int(r_\perp\omega)^2dm=(1/2)I\omega^2$ の係数として現れる。本問の軸は円板の中心にあり、円板上の極座標の半径 $r$ をそのまま $r_\perp$ に使える。

密度が一様な円板では、半径方向の環に入る質量は $dr$ に比例するだけでなく、円周の長さ $2\pi r$ にも比例する。この面積要素を落とさない。

平均二乗半径で確かめる

求めた値から、質量で平均した二乗半径は $\langle r^2\rangle=I/M=R^2/2$ である。すべての質量が中心から $R$ 以内にあるので、$I<MR^2$ という一般的な上限にも合う。単位も質量と長さの二乗の積である。

円環の公式を使う誤り

薄い円環の式 $I=MR^2$ を使うと、本問の回転エネルギーは2倍になり、後の有効質量も $3M/2$ ではなく $2M$ になる。円板の内部にも質量がある点が円環との違いである。与えられた密度と形状から積分すれば、この取り違えを避けられる。

ばねの伸びが重心移動の2倍になる理由

剛体上の点の速度は、重心の並進速度と自転による相対速度の和である。接地側では両者が相殺して零になり、反対の上側では両者が同じ下り向きとなるため、上側接点の速さは $2\dot x$ になる。糸がそこで滑らずに巻き付くので、ばね端の速さも $2\dot x$ である。原点で自然長という初期条件から積分して、伸びは $2x$ と得られる。固定端の斜面からの高さが $2R$ であるため、上側の糸は斜面に平行に保たれる。

張力と摩擦力の役割

Hookeの法則 $T=K\Delta\ell$ は、ばねが線形に伸びる範囲で使う。本問では $\Delta\ell=2x$ であり、$T=2Kx$ となる。張力は中心より上で上り向きに作用して回転を妨げるため、静止を保つ摩擦力も上り向き、すなわち $f=-T$ でなければならない。この摩擦力が中心まわりに張力と逆向きのモーメントを与える。

ポテンシャルからも確かめられる。ばねと重力の和は $$U(x)=\frac12K(2x)^2-Mg x\sin30^\circ =2Kx^2-\frac12Mgx.$$ $dU/dx=4Kx-Mg/2=0$ より同じ $x_0$ が出て、$d^2U/dx^2=4K>0$ なので安定である。

ばねの伸びを $x$ とする誤り

重心だけを追って $\Delta\ell=x$ とすると、ばねのエネルギーも $Kx^2/2$ と誤り、釣り合いを $x=Mg/(2K)$ と予測する。これは正しい値の4倍である。円板に糸が固定されているだけなのか、円周へ巻き付くのかで変位関係が変わるため、力の式の前に拘束の関係を決める。

すべらない条件と回転の符号

斜面に沿う移動量と回転角の関係は $x=R\theta$ なので、角加速度は $\alpha=\ddot x/R$ となる。張力は上側の接点を上り向きへ引き、下り転がりと逆向きのトルクを作る。また下り向きを正とした摩擦力 $f$ は、下側接点で同じく逆向きのトルクを作る。そのため回転の右辺は $-R(T+f)$ である。$f$ が負なら、この摩擦力のトルクは下り転がりを助ける向きになる。

回転が有効質量へ入る理由

動径方向に変形しない円板が、すべらずに転がるときの運動エネルギーは $$K_{\rm motion}=\frac12M\dot x^2+\frac12I\left(\frac{\dot x}{R}\right)^2 =\frac12\left(M+\frac{I}{R^2}\right)\dot x^2.$$ したがって $M+I/R^2=3M/2$ が、座標 $x$ の加速に必要な慣性を表す。IIのポテンシャルから $(3M/2)\ddot x=-dU/dx=Mg/2-4Kx$ としても同じ式を導ける。この導き方では、摩擦力が仕事をしないというすべらない接触条件を使っている。

静的極限と誤った係数

$\ddot x=0$ を代入すると $4Kx=Mg/2$ となり、IIの釣り合い位置に戻る。$K\to0$ では $\ddot x=g/3$ となり、自由な一様円板が $30^\circ$ 斜面をすべらずに転がる加速度にも合う。

回転の慣性を無視すると $M\ddot x+4Kx=Mg/2$ となり、固有角振動数を $\sqrt{4K/M}$ と誤って求める。正しい値 $\sqrt{8K/(3M)}$ の $\sqrt{3/2}$ 倍であり、周期を過小に見積もる。

平衡位置をずらす置換

定数の外力がある線形振動では、まず平衡位置を引けば非同次項を消せる。$x_0$ が $4Kx_0=Mg/2$ を満たすため、$y=x-x_0$ に対する式は同次の単振動となる。$K,M>0$ なので $\Omega^2>0$、指数的な増大ではなく周期的な運動をする。余弦と正弦は二つの独立な初期条件を指定できる一般解を張る。

自作解説図：釣り合い位置 $x=x_0$ を中心とする振動

初期値と力学的エネルギーの検算

微分すると $\dot x=x_0\Omega\sin\Omega t$、$\ddot x=x_0\Omega^2\cos\Omega t$ であり、初期位置・初速度はともに零である。$t=\pi/\Omega$ では $x=2x_0$、速さは零で、そこから戻る。運動範囲で $x\ge0$ なので、ばねは負の張力を要求しない。

また $$\frac34M\dot x^2+2Kx^2-\frac12Mgx=0$$ へ代入すれば、最初に静止していたときのエネルギー零が保たれる。運動方程式と初期値だけでなく、エネルギーでも式全体を確かめられる。

平衡位置と振幅の誤り

$x=x_0\cos\Omega t$ とすると、初期位置は $x_0$ となり、原点から放した条件を満たさない。さらにその式はばねの自然長より上り側の $x<0$ にも入る。振幅 $x_0$ は重心位置そのものの最大値ではなく、平衡位置から測った変位の最大値である。位置の最大値は $2x_0$ と区別する。

静止摩擦力は上限以下で変わる

静止摩擦力の条件は $|f|\le\mu N$ であり、常に $|f|=\mu N$ ではない。摩擦は、すべらない拘束を維持するために必要な大きさで働く。まず運動方程式から必要な $f$ を求め、その値が全時刻で上限内にあるかを調べる必要がある。

本問では $f<0$ なので、摩擦力は上り向きである。円板が折り返して上り向きに動くときでも、摩擦力が必ず運動方向と逆になるわけではない。静止摩擦が妨げるのは接点での相対的なすべりであり、重心の速度とは区別する。

全振動区間で最大値を取る

$|f|=Mg/6+(2/3)Kx$ は $x$ の増加関数である。III.2の最大変位 $x=2x_0$ で $$|f|_{\max}=\frac16Mg+\frac23K\frac{Mg}{4K} =\frac13Mg$$ となる。最初の $x=0$ では $|f|=Mg/6$、釣り合い位置では $|f|=Mg/4$ であり、いずれも最大値ではない。$\mu_{\rm crit}N=(2/(3\sqrt3))(\sqrt3Mg/2)=Mg/3$ と戻すと上限をちょうど満たす。

釣り合い位置だけを調べる誤り

$x=x_0$ の摩擦力だけを使うと $\mu\ge1/(2\sqrt3)$ となる。しかしこの値では最大変位で必要な $Mg/3$ に対し、最大静止摩擦力は $Mg/4$ しかなく、すべりが起きる。また $N=Mg$ とすると $\mu\ge1/3$ となり、斜面の法線成分を過大評価する。全時刻の必要摩擦力と、斜面に垂直な力の式を別々に確認する。

衝突時に使う角運動量

原題は接触点ですべりがなく、接触時に角運動量が保存されると指定している。先端Qに働く力積はQまわりにモーメントを持たず、重力やばねの有限な力は衝突時間の極限で力積を持たない。そこでQまわりの角運動量を使う。並進項の腕は斜面に沿う運動量に垂直な $R-h$ であり、距離 $CQ=R$ そのものではない。

平行軸の定理 $I_Q=I+MR^2$ は、Qまわりの回転に伴う重心並進も含む。接触後の速度の向きを決めるには、エネルギー保存ではなく、保存された角運動量から求めた符号付きの $\omega_+$ を使う。

離れる向きの速度を幾何から求める

局所的に下り方向を右、斜面外向き法線を上と見れば、 $\boldsymbol r_{C/Q}=(-s,R-h)$ である。時計回りの回転に対応する重心速度は $$(v_{x,+},v_{\perp,+}) =\bigl((R-h)\omega_+,\,s\omega_+\bigr).$$ $0<h<2R$ の範囲では $s>0$ なので、法線速度が正となるのは $\omega_+>0$、すなわち $h<3R/2$ のときである。$h=3R/2$ では衝突後の角速度が零となり、この衝突で斜面を離れる速度は生じない。$h>3R/2$ で計算上の速度が斜面へ向かう場合には、床との追加の接触条件が必要となり、離脱する解ではない。

具体的な高さと誤答の確認

$h=R$ なら $\omega_+=v/(3R)$、$s=R$ なので $v_{\perp,+}=v/3>0$ となり、確かに離れる。$h=3R/2$ なら角運動量は零である。$h$ の単位も結果の上限も長さであり、$K,M,g$ が消えるのは、それらが正の共通因子 $v$ にだけ入るためである。

並進角運動量の腕を $R$ と誤ると $\omega_+=v/R$ となり、$0<h<2R$ の全範囲で離れるという誤答になる。例えば $h=1.8R$ では正しい保存角運動量が負なのに、その誤式では正となる。どの軸のまわりで、どの運動量の垂直距離を使うかを図の幾何へ戻して確かめる。