東大 工学系研究科 物理学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（解説2項目）

衝突の保存則と振動の式をつなぐ

二物体の運動方程式を衝突時間について積分すると、衝突内力の力積は相殺する。衝突時間が十分短く、ばねからの有限の力の力積を無視できるので、直前と直後で $mv=(m+M)u$ となる。付着衝突では運動エネルギーを保存しない。 一体化した後にはばねが外力として働く。Hooke の法則 $F=-kx$ から $\ddot x+\omega_c^2x=0$、一般解 $A\cos\omega_ct+B\sin\omega_ct$ を得て、位置と速度の初期条件で係数を決めた。

初期値と損失の確認

解を微分すれば $\dot x(0)=mv/(m+M)$ となる。振幅は長さの単位を持ち、振動中のエネルギーは $(m+M)u^2/2$ で一定。一方、衝突で失われた量は $$\frac12mv^2-\frac12(m+M)u^2=\frac{mMv^2}{2(m+M)}>0.$$

付着時にもエネルギー保存を課す誤り

$mv^2/2=(m+M)u^2/2$ とすれば $u=v\sqrt{m/(m+M)}$。例えば $m=M$ で $v/\sqrt2$ と出るが、運動量からの $v/2$ と一致しない。衝突と、その後の保存的な振動を分ける。

位置の零点と速度の位相

$x=(u/\omega_c)\sin\omega_ct$ を微分すると $\dot x=u\cos\omega_ct$。位置と速度には位相差 $\pi/2$ があり、位置が極大のとき速度は零、原点を通るとき速さが最大になる。正方向へ出発したので、最初は $0<\omega_ct<\pi$ で位置が正、半周期後に負の速度で原点を通る。 この議論は付着が保たれ、ばねが線形で摩擦がない条件で成り立つ。

エネルギーと時間尺度の確認

原点ではばねの位置エネルギーが再び零なので、衝突直後と同じ速さ $u$ に戻る。向きは逆である。$k$ を4倍にすると戻る時間は半分になり、質量 $m+M$ を4倍にすると2倍になる。どちらも単振動の周期の依存性と一致する。

四分の一周期を戻り時刻とする誤り

$t=\pi/(2\omega_c)$ では $\dot x=0$ だが $x=u/\omega_c$ は最大であり、原点ではない。また速度を $+u$ とするのは、一周期後の状態と最初の帰還を取り違えている。

弾性衝突の二つの条件

短い衝突ではばねの力積を無視して二物体の運動量が保存される。完全弾性ではさらに $$\frac12mu_A^2+\frac12Mu_B^2=\frac12mv^2.$$ 運動量の差を用いてこの式を因数分解すると、速度が変わらない自明な場合を除き $u_B-u_A=v$ を得る。これは衝突前の接近速度 $v$ と、衝突後の離反速度が等しいことを表す。

質量の極限と向きの確認

$M=m$ では $u_A=0,u_B=v$ と速度を交換する。$M\gg m$ なら A はほぼ $-v$ へ反射し、B はわずかに動く。$M<m$ では A も正方向へ進むが $u_B>u_A$ なので衝突直後は離れる。どの場合も元の運動量式とエネルギー式へ代入して等号を確認できる。

付着の共通速度を使う誤り

$u_A=u_B=mv/(m+M)$ とすると離反速度が零で、反発係数が0になる。$M=m$ ならエネルギーが $mv^2/2$ から $mv^2/4$ へ失われ、完全弾性という条件に反する。

グラフを衝突時刻で区切る

衝突のない区間では A は外力を受けず等速運動し、B は $m\ddot x_B=-kx_B$ に従う。最初の速度交換で A の速度は零なので、$t_s$ までは原点にとどまる。$0<\omega t<\pi$ では B の位置は正であり、途中で A と接触しない。 $t_s$ の直前には B の速度が $-v$、A が零。等質量弾性衝突により直後は A が $-v$、B が零となる。B はばねの自然長の位置で停止するので、その後も動かない。

連続性とエネルギーを確かめる

再衝突で両者の位置は零のまま連続し、速度だけが交換する。全エネルギー $mv^2/2$ は、初め A、途中 B とばね、最後 A の運動エネルギーへ移る。図の B の初期傾きは1、原点帰還直前は $-1$。A は帰還時刻から傾き $-1$ の直線となり、B から離れるので三度目の衝突はない。

B の正弦曲線を負の位置へ延長する誤り

$x_B=(v/\omega)\sin\omega t$ を全時刻へ延長して A を原点に残すと、再衝突による速度交換を落とす。例えば $t=3\pi/(2\omega)$ に B を $-v/\omega$ と予測するが、実際には B は零、A が $-\pi v/(2\omega)$ にいる。

反発係数の定義と衝突後の運動

反発係数は、一次元衝突の離反速度を接近速度で割った $$e=\frac{u_B-u_A}{v-0}$$ である。$0<e<1$ は相対運動のエネルギーの一部が失われる条件で、総運動量の保存とは別の式を与える。 衝突が終われば A の速度は一定だが、B の速度はばねのため $u_B\cos\omega_2t$ と変化する。再衝突直前の速度に初回直後の $u_B$ を使うことはできない。

位相と符号の確認

$\cos(7\pi/6)=-\sqrt3/2$ なので B は負方向へ戻っている。また再衝突位置は $\sin(7\pi/6)<0$ により負。そこへ等速で進む A の速度も負でなければならず、$(1-2e)<0$、すなわち $e>1/2$ が必要になる。初回の衝突損失は $$\Delta K=\frac{mv^2}{3}(1-e^2)>0$$ であり、原題の非弾性条件と一致する。

B に A と同じ等速運動を課す誤り

B の速度を $(1+e)v/3$ のままとすると、二度目の衝突でも正方向と予測する。しかし指定時刻では位相が $\pi$ を越え、B は初期位置を負方向へ通過している。各物体へ作用する力を分けて時間発展させる。

衝突条件は速度一致ではない

再衝突は二つの位置が一致し、接近している瞬間に起きる。速度が等しいことを要求するわけではない。無次元時刻 $\phi=\omega_2t$ を使うと位置差は $$x_B-x_A=\frac{(1+e)v}{3\omega_2} \left(\sin\phi-\frac{1-2e}{1+e}\phi\right).$$ この式に指定時刻の $\sin\phi=-1/2$ を入れ、係数を解いた。得た値は $1/2<e<1$ を満たす。

それ以前に衝突していないことの確認

得た係数では $(1-2e)/(1+e)=-3/(7\pi)$。$0<\phi\le\pi$ では正弦も正または零なので位置差は正。$\pi<\phi\le7\pi/6$ では $$\frac{d}{d\phi}\frac{\sin\phi}{\phi} =\frac{\phi\cos\phi-\sin\phi}{\phi^2}<0$$ である。この区間で分子の微分は $-\phi\sin\phi>0$ だが、終点でも $-7\sqrt3\pi/12+1/2<0$ なので全区間で負となる。従って $\sin\phi/\phi$ が $-3/(7\pi)$ へ初めて達するのは指定時刻。そこで $\dot x_B-\dot x_A<0$ となり、離れていた B が A に近づく再衝突である。

速度を等しくして決める誤り

$(1-2e)/3=-\sqrt3(1+e)/6$ と置けば $e=(2+\sqrt3)/(4-\sqrt3)>1$ となり、原題の範囲から外れる。位置一致の条件を速度一致へ置き換えたためである。