東大 工学系研究科 物理学 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説2項目）

接線方向へ投影して張力を消す

棒に沿う単位ベクトルは $(\sin\theta,\cos\theta)$、$\theta$ が増える向きの接線単位ベクトルは $(\cos\theta,-\sin\theta)$ である。張力は棒に沿うため、その接線成分は零となる。答案で行った加減は、この接線方向の内積に相当する。

実際、 $$\ddot x=l(\ddot\theta\cos\theta-\dot\theta^2\sin\theta),\quad \ddot y=-l(\ddot\theta\sin\theta+\dot\theta^2\cos\theta)$$ を代入すると、向心加速度に由来する $\dot\theta^2$ の項が相殺し、 $\ddot x\cos\theta-\ddot y\sin\theta=l\ddot\theta$ が得られる。この段階では小角近似を使っていない。

エネルギーと加速度の向きの検算

質点の速さは $l|\dot\theta|$、最下点を零とした位置エネルギーは $mgl(1-\cos\theta)$ なので $$E=\frac12ml^2\dot\theta^2+mgl(1-\cos\theta).$$ 時間微分は $dE/dt=ml\dot\theta(l\ddot\theta+g\sin\theta)=0$ となり、運動方程式とエネルギー保存が一致する。小さい正の $\theta$ に対して $\ddot\theta<0$ なので、最下点へ戻す加速度にもなっている。

鉛直軸の向きを取り違える誤り

$y$ を下向きと決めた本問で $m\ddot y=-mg-T\cos\theta$ と置くと、重力の接線成分の符号が変わり、最下点が不安定になる式を得る。例えば $\ddot\theta=+(g/l)\sin\theta$ なら正の小角がさらに増え、物理的な復元と逆になる。重力の成分を原題の座標へ合わせる。

小角近似の意味

Taylor展開 $\sin\theta=\theta-\theta^3/6+\cdots$、$\cos\theta=1-\theta^2/2+\cdots$ から、一次の精度では $\sin\theta$ を $\theta$、$\cos\theta$ を1とできる。角度はラジアンで扱い、$|\theta|\ll1$ が条件である。解を求めた後にも最大振幅を調べ、仮定が保たれるかを確認する。

線形方程式の一般解は $C\cos\Omega_0t+D\sin\Omega_0t$ である。$\theta(0)=0$ が $C=0$ を、$\dot\theta(0)=u_1/l$ が $D=u_1/(l\Omega_0)$ を決める。位置と速さの二つの初期条件が必要である。

初期速度と周期の確認

微分すると $\dot\theta(0)=u_1/l$ となり、$\dot x(0)\simeq l\dot\theta(0)=u_1$ を再現する。周期 $2\pi\sqrt{l/g}$ は質量に依存せず、長い棒ほどゆっくり振れる。初期の運動エネルギー $mu_1^2/2$ と、小角の最大位置エネルギー $mgl\theta_{\max}^2/2$ を比べても、$\theta_{\max}=|u_1|/\sqrt{gl}$ が得られる。

速さを角速度と同一視する誤り

$\dot\theta(0)=u_1$ とすると、角速度と速度の単位を混同し、振幅を $u_1/\Omega_0$ と誤る。この振幅は長さの単位を持ち、角度にならない。最下点では $x=l\sin\theta$ の微分から $\dot x=l\dot\theta$ を使う。

座標が動かない精度を区別する

$y=l(1-\theta^2/2+\cdots)$ には角度の一次の変化がない。したがって、小角の一次理論ではおもりの鉛直位置は $l$ のままで、鉛直加速度も二次以降となる。ただし、実際に鉛直運動が完全にないのではなく、捨てる精度に現れるという意味である。

原題は $\theta$ に加え、無次元量 $\sqrt{l/g}\,\dot\theta$、$(l/g)\ddot\theta$ も小さいと指定している。そのため $l\dot\theta^2/g$ や $(l/g)\theta\ddot\theta$ を二次として落とせる。角度だけが小さく、非常に高速で回る場合にまで $T=mg$ を使えるわけではない。

二次の補正と次の設問への使い方

鉛直の式を正確に解けば $$T=\frac{mg+ml(\dot\theta^2\cos\theta+\ddot\theta\sin\theta)} {\cos\theta}.$$ これを小さい量で展開すると、零次が $mg$ で一次の補正はないことが分かる。後の水平の式には $T\sin\theta$ が現れるので、一次の精度では $mg\theta$ としてよい。二次の張力補正に一次の $\theta$ を掛けても三次となり、採用する精度には入らない。

向心力の項を一次へ混ぜる誤り

固定支点の張力に現れる $ml\dot\theta^2$ だけを残し、他の同じ次数の項を無視すると、近似の次数が不揃いになる。逆に、近似記号なしで全振動について $T=mg$ と断言すると、鉛直加速度のある正確な式と矛盾する。答案では「一次の精度」と条件を添える。

質量零の節点は代数的な拘束になる

質量 $M_{\rm hinge}$ の蝶番なら $M_{\rm hinge}\ddot\delta=T\sin\theta-k\delta$ と書く。原題のモデルではその質量を無視するので、独立した慣性項を持たず、各時刻で水平力が釣り合う。これは蝶番が静止するという条件ではない。棒の角度が変われば $\delta$ も変わり、速度も持ち得る。

ばねの復元力 $-k\delta$ は自然長からの変位に比例するHookeの法則である。原題は $\delta=0$ を自然長と定めているため、別の初期伸びを加える必要はない。

符号と単位の検算

正の $\theta$ ではおもりが蝶番の右にあり、棒は蝶番を右へ引く。その釣り合いにはばねの伸び $\delta>0$ が必要で、得た比例式の符号と合う。$mg/k$ は長さなので、無次元の角度を掛けた $\delta$ の単位も正しい。

$k\to\infty$ で $\delta\to0$ となり、硬いばねほど支点が固定点へ近づく。$k$ が小さい場合は、同じ角度でも支点の変位が大きくなる。

蝶番に重力成分を直接入れる誤り

水平方向の式へ $mg\sin\theta$ と $T\sin\theta$ を同時に足すと、重力の効果を二重に数える。重力はおもりへ鉛直に作用し、蝶番へ伝わる水平力は棒の張力成分である。例えば誤式 $k\delta=2mg\theta$ は支点変位を2倍にし、その後の固有振動数まで変えてしまう。

支点加速度を含む絶対座標

Newtonの式を使うのは、慣性系に対するおもりの絶対座標 $x$ である。支点から測った水平変位 $l\theta$ だけを2回微分すると、支点の加速度 $\ddot\delta$ を落としてしまう。II.2の関係を微分すると $\ddot x=(l+mg/k)\ddot\theta=L\ddot\theta$ となり、これを水平運動方程式へ入れる。

この $L$ は棒が伸びた長さではなく、支点が動くことでおもりの変位が増える比例係数である。棒の実際の長さは $l$ のままである。

エネルギーからの独立な導出

一次の変位に対応する二次のエネルギーを取ると $$K=\frac12mL^2\dot\theta^2,\quad U=\frac12mgl\theta^2+\frac12k\delta^2 =\frac12mgL\theta^2.$$ 従ってEuler--Lagrange方程式は $mL^2\ddot\theta+mgL\theta=0$ となり、$L>0$ で割れば同じ式が得られる。支点が動く分は運動エネルギーだけでなく、ばねのエネルギーにも入る。

硬いばねと軟らかいばねの確認

$k\to\infty$ なら $L\to l$、$\Omega_s\to\Omega_0$ となる。有限の正の $k$ では $L>l$ なので $\Omega_s<\Omega_0$、支点が動く場合のほうが遅く振れる。

$\ddot x=l\ddot\theta$ と誤って固定支点の式を使うと $\Omega_s=\Omega_0$ のままになり、ばね定数に全く依存しない答えになる。支点変位 $\delta$ が角度と同じ一次量であるため、その加速度も落とせない。

絶対速度から初期角速度を決める

おもりの速さは支点の速さと棒に対する相対速度の和なので、 $$\dot x=\dot\delta+l\dot\theta =\left(\frac{mg}{k}+l\right)\dot\theta=L\dot\theta.$$ 従って、与えられた $u_2$ をそのまま $l\dot\theta$ に等置してはいけない。質量を無視した蝶番は、水平力の代数的釣り合いに従って瞬時に速度を変え得る。打ち出す前に蝶番が静止していたことを、打ち出し直後も $\dot\delta=0$ という条件へ延長しない。

初期値とエネルギーの検算

解は $\theta(0)=0$ を満たす。微分して $\dot x(0)=L\dot\theta(0)=u_2$ となり、実際に与えた初速度を再現する。II.3のエネルギーへ代入すると $$\frac12mL^2\dot\theta^2+\frac12mgL\theta^2 =\frac12mu_2^2$$ となる。初めに棒が鉛直でばねが自然長だから、エネルギーがすべておもりの並進分であることにも合う。

固定支点の初期条件を使う誤り

$\dot\theta(0)=u_2/l$ とすると、解の振幅は正解の $L/l$ 倍となる。その解から計算するおもりの初速度も $Lu_2/l>u_2$ であり、与えられた条件を満たさない。振動方程式だけを確かめてもこの誤りは検出できないため、最後に絶対座標の速度へ戻して確認する。

支点が動き始める瞬間の初期条件

$\xi(0)=0$ でも $\dot\xi(0+)=A\omega$ であり、位置が零という条件から速度零は導けない。本問の $t<0$ の静止状態と正弦状の駆動をつなぐ理想化では、支点速度が跳ぶ。質量のない棒が両端から受ける力は棒に沿い、最初は棒が鉛直なので、おもりには横方向の力積を与えない。従っておもりの横速度は連続で零、相対角速度だけが $-A\omega/l$ へ変わる。

同じ結論は、支点速度の急変を含む短時間の式 $l\,\Delta\dot\theta=-\Delta\dot\xi$ を積分しても得られる。初めに $\dot\theta(0)=0$ とするのは、おもりを支点と同じ水平速度で打ち出す別の初期条件になる。

特解と同次解の係数

$\theta_p=B\sin\omega t$ と置けば $(\Omega_0^2-\omega^2)B=A\omega^2/l$ なので、 $B=A\omega^2/[l(\Omega_0^2-\omega^2)]$ となる。同次解は $C\cos\Omega_0t+D\sin\Omega_0t$ で、初期角度零から $C=0$、初期角速度から $$D\Omega_0+B\omega=-\frac{A\omega}{l},\qquad D=-\frac{A\omega\Omega_0}{l(\Omega_0^2-\omega^2)}$$ が得られる。これらをまとめたものが答案である。

分母が零の共振ではこの特解を使えない。$\omega=-\Omega_0$ の場合は $\theta_p=(A\Omega_0/(2l))t\cos\Omega_0t$ と置き、初期角速度を合わせて上記の特別な式を得る。時間とともに増える項があるので、小角近似はその項も十分小さい時間範囲に限る。

別の積分表示による確認

零初期角度と初期角速度 $\dot\theta_0$ を持つ強制振動は $$\theta(t)=\frac{\dot\theta_0}{\Omega_0}\sin\Omega_0t +\int_0^t\frac{\sin\{\Omega_0(t-s)\}}{\Omega_0} \frac{A\omega^2}{l}\sin\omega s\,ds$$ とも書ける。積分核は、瞬間的な外力に対する単振動の応答を重ねたものである。この式を微分すれば運動方程式と二つの初期条件を直接満たすと確かめられる。$\dot\theta_0=-A\omega/l$ を代入して積分すると答案の式を再現する。

具体的な初期条件の誤りと適用範囲

同じ微分方程式を $\dot\theta(0)=0$ で解いた式は $$\theta_{\rm wrong}= \frac{A\omega^2}{l(\Omega_0^2-\omega^2)} \left(\sin\omega t-\frac{\omega}{\Omega_0}\sin\Omega_0t\right).$$ この式では $\dot x(0+)=A\omega+l\dot\theta(0+)=A\omega$ となり、静止していたおもりの初速度を変えてしまう。支点とおもりの初速度を別々に検算する必要がある。

また共振から外れていても、$|\Omega_0^2-\omega^2|$ が小さい場合は角度が大きくなり得る。得られた $\theta$ とその時間微分が、原題の小角近似が成り立つ時間範囲で使う。分母が非零というだけで、任意の振幅や時間へ線形解を適用しない。