立教大学 理学研究科 物理学専攻 物理学 2024年度 夏季（2023年7月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

方針

動摩擦力が速度によらない一定値であることが「等加速度直線運動」と整合している。逆に等加速度であったという観測から、摩擦力の総和が一定であることが読み取れる。

検算

次元は $[f]=\mathrm{N/m}$ である。$mv_0/(lT_1)$ は $\mathrm{kg\cdot m/s}\div(\mathrm{m\cdot s})=\mathrm{kg/s^2}=\mathrm{N/m}$ で合う。

失点しやすい点

「単位長さあたり」を落として $mv_0/T_1$ と答えない。$l$ で割る。

並進との違い

並進では棒のどの部分も同じ速さで動くので摩擦力の総和がそのまま効くが、回転では中心から遠い部分ほど腕が長くトルクへの寄与が大きい。そのため $s$ を掛けて積分する必要がある。

検算

(a)の結果 $f=mv_0/(lT_1)$ を代入すると $t=\dfrac{m\omega_0}{3f}=\dfrac{l T_1\omega_0}{3v_0}$ となる。$\omega_0=v_0/l$（端の速さが $v_0$ に等しい回転）なら $t=T_1/3$ で、同じ端速度でも回転の方が早く止まることが分かる。内側の部分が遅く、摩擦の効き方が並進より不利だからである。

失点しやすい点

トルクを $f\cdot l\cdot(l/2)$ のように「全摩擦力 $\times$ 代表的な腕」で済ませない。積分すると係数が $1/4$ になる。

方針

ねじると糸が斜めになり、その分だけ棒が上がる。この上昇量が $\theta$ の $2$ 次から始まるので、位置エネルギーは調和振動子と同じ $\theta^2$ に比例する形になる。$\theta=0$ が安定な釣り合い点であることの証拠でもある。

2つの近似

$\sin(\theta/2)\simeq\theta/2$ と $\sqrt{L^2-d^2}\simeq L-d^2/(2L)$ の $2$ つを使っている。どちらも $\theta$ の $2$ 次までを残す近似として整合している。

失点しやすい点

$2$ 点間の距離を $a\theta$（弧長）としない。弦の長さ $2(a/2)\sin(\theta/2)$ である。$\theta$ の $2$ 次までなら両者は一致するが、導出の筋道として弦を取る。

符号の意味

$\theta>0$ のとき $\tau<0$、すなわちトルクはねじれを戻す向きにはたらく。復元力であり、(e)の振動を生む。

$2U/\theta$ という形

$U\propto\theta^2$ という $2$ 次形式に固有の関係である。一般の $U(\theta)$ では成り立たない。設問が「$\theta,U$ を用いて」と指定しているのはこの構造を確認させるためである。

失点しやすい点

$\tau=-U/\theta$ としない。$2$ 次式の微分で係数 $2$ が出る。

二糸振り子

この装置は二糸振り子（bifilar pendulum）と呼ばれ、周期を測ることで慣性モーメントを実験的に決める方法として使われる。$\omega^2=\dfrac{mga^2}{4LI}$ を $I$ について解けば $I=\dfrac{mga^2}{4L\omega^2}$ となる。

検算

$\omega$ の次元は $\dfrac{a}{l}\sqrt{g/L}$ で、$a/l$ が無次元、$\sqrt{g/L}$ が $\mathrm{s^{-1}}$ だから合う。 また $a$ を大きくすると糸の間隔が広がって復元トルクが増え、$\omega$ が大きくなる。$L$ を長くすると糸が寝やすくなり復元が弱まって $\omega$ が小さくなる。どちらも直感と合う。

$m$ が消えること

$\omega$ の最終形に $m$ が現れない。復元トルクも慣性モーメントもともに $m$ に比例するためで、単振り子の周期が質量によらないのと同じ理由である。

失点しやすい点

$\mathrm{P}$ のまわりの慣性モーメントを重心まわりのものと取り違えない。本問では重心が $\mathrm{P}$ 上にあるので両者は一致するが、その理由を一言添える。

方針

トロイダルコイルは磁場が磁心の内部に閉じ込められるので、アンペールの法則が最も素直に使える形になる。積分路を貫く電流の総和が $NI$ であることを明記する。

$1/r$ 依存

内周側ほど磁場が強い。円周の長さ $2\pi r$ が短いぶん、同じ起磁力 $NI$ に対して $H$ が大きくなるためである。(d)の近似はこの $r$ 依存が無視できる場合にあたる。

失点しやすい点

$H$ と $B$ を混同しない。アンペールの法則は $H$ について書かれ、$B=\mu H$ で物質の透磁率が入る。

方針

$B$ が $r$ に依存するので、エネルギー密度に体積を掛けるだけでは済まない。$r$ 方向に薄い殻へ分けて積分する。

$1/r$ の積分

$\displaystyle\int\frac{dr}{r}=\ln r$ から対数が現れる。トロイダルコイルの自己インダクタンスに対数が出るのはこのためである。

失点しやすい点

体積要素で $2\pi r$ を落として $a\,dr$ としない。円周の長さが $r$ に比例することが $B^2$ の $r^{-2}$ を $r^{-1}$ に緩め、対数積分にしている。

別解：磁束から

$1$ 巻きを貫く磁束は $\Phi=\displaystyle\int_{r_0}^{r_0+b}B(r)\,a\,dr=\frac{\mu NIa}{2\pi}\ln\frac{r_0+b}{r_0}$ である。鎖交磁束は $N\Phi$ だから $L=N\Phi/I$ で同じ式が得られる。$2$ 通りで一致することが検算になる。

$I$ が消えること

インダクタンスは形状と透磁率で決まる量なので $I$ が約分される。残っていたら計算違いである。

失点しやすい点

$U=\frac12LI^2$ の係数 $\frac12$ を落とすと $L$ が $2$ 倍になる。

$ab$ の意味

$ab$ は磁心の断面積である。細い環の極限では磁場は断面内でほぼ一様（$B\simeq\mu NI/(2\pi r_0)$）とみなせ、磁束は「磁束密度 $\times$ 断面積」で決まる。この見方から $L=\dfrac{N\Phi}{I}\simeq\dfrac{N}{I}\cdot\dfrac{\mu NI}{2\pi r_0}\cdot ab$ として同じ式が直接得られる。

ソレノイドとの対応

環の全長を $\ell=2\pi r_0$ と書くと $L\simeq\dfrac{\mu N^2S}{\ell}$（$S=ab$）となり、長いソレノイドの自己インダクタンスの公式と同じ形である。トロイダルは端の効果がないので、この式が近似ではなく良い精度で成り立つ。

失点しやすい点

$\ln(1+x)\simeq x$ の $1$ 次までで止める。$x^2/2$ の項まで残すと「$ab$ に比例する」という結論が言えなくなる。

零点エネルギーの相殺

スピン下向きの状態では、調和振動子の零点エネルギー $\hbar/2$ とスピンの $-\hbar/2$ がちょうど打ち消し合い、基底エネルギーが厳密に $0$ になる。超対称性をもつ系に特徴的な性質である。

縮退の意味

$n\ge1$ でスピンの向きが異なる $2$ 状態が同じエネルギーをもつ。この対応関係を作るのが(c)の $\hat Q_\pm$ である。

失点しやすい点

$n=0$ の状態を $2$ 重に数えない。$|{-1}\rangle\otimes|\uparrow\rangle$ は存在しないので、基底状態だけ縮退がない。

方針

$\hat\sigma_\pm$ に書き換えるのが要点である。$\hat\sigma_\pm^2=O$ という単純な性質から $\hat Q_\pm^2=0$ が直ちに従う。

$\hat H\ge0$

$\hat H=2\hat Q_1^2$ で $\hat Q_1$ はエルミートだから $\hat H$ は半正定値、すなわちエネルギー固有値は必ず $0$ 以上である。(a)で $E_n=\hbar n\ge0$ となったことと整合する。

失点しやすい点

$(\hat p-i\hat x)(\hat p+i\hat x)$ の交差項で $[\hat p,\hat x]=-i\hbar$（$[\hat x,\hat p]=i\hbar$ の逆）を使う。符号を取り違えると $\hat\sigma_3$ の向きが反転する。

具体形での確認

$\hat p-i\hat x=-i\sqrt{2\hbar}\,\hat a$、$\hat p+i\hat x=i\sqrt{2\hbar}\,\hat a^\dagger$ だから $$\hat Q_+=-i\sqrt{\hbar}\,\hat\sigma_+\hat a,\qquad \hat Q_-=i\sqrt{\hbar}\,\hat\sigma_-\hat a^\dagger .$$ $\hat Q_+$ は振動子の量子を $1$ つ減らしスピンを上げるので、エネルギーは $-\hbar+\hbar=0$ で変わらない。(a)の対応 $|n,\downarrow\rangle\leftrightarrow|n-1,\uparrow\rangle$ がそのまま見える。

基底状態が特別な理由

$\hat Q_+|0,\downarrow\rangle=0$（$\hat a|0\rangle=0$）かつ $\hat Q_-|0,\downarrow\rangle=0$（$\hat\sigma_-|\downarrow\rangle=0$）である。両方の超電荷に消される状態が超対称性の不変な基底状態で、縮退相手をもたない。

失点しやすい点

$[\hat H,\hat Q_\pm]=0$ の証明で $\hat Q_\pm^2=0$（(b)）を使う。これがないと $2$ 項が相殺しない。

縮退摂動論を使う理由

$n\ge1$ の準位は $2$ 重に縮退しているので、通常の $1$ 次摂動（対角要素）では扱えない。縮退部分空間で $\hat V$ を対角化する必要がある。本問では対角成分が $0$ なので、分裂は非対角要素の絶対値そのもので決まる。

検算

$\hat V=\lambda\sqrt2\hat Q_1$ と $\hat H=2\hat Q_1^2$ を使うと、$\hat H_1=2\hat Q_1^2+\lambda\sqrt2\hat Q_1$ は $\hat Q_1$ だけの $2$ 次式である。$\hat Q_1$ の固有値を $q$ とすれば厳密に $E=2q^2+\sqrt2\lambda q$ となる。$\hat H$ の固有値 $\hbar n$ に対応する $q=\pm\sqrt{\hbar n/2}$ を代入すると $E=\hbar n\pm\lambda\sqrt{\hbar n}$ で、$1$ 次摂動の結果が実は厳密解になっている。

基底状態が動かない意味

$q=0$ に対応する基底状態は $\hat Q_1$ にも消されるので、摂動を加えても $E=0$ のままである。超対称性が破れていないことの現れで、$\lambda$ の高次でも $0$ である。

失点しやすい点

非対角要素に $\sqrt n$ が入る。$\hat a$ の行列要素 $\langle n-1|\hat a|n\rangle=\sqrt n$ を落とすと $n$ 依存が消える。

$N=2$ の特殊性

周期的境界条件のもとで $2$ サイトの環は、同じ結合が $2$ 本重なる形になる。設問文が「この場合も $i=1,2$ をとる」と注意しているのはこのためで、$-Js_1s_2$ ではなく $-2Js_1s_2$ になる。

検算

$h=0$ とすると $Z_2=2e^{2\beta J}+2e^{-2\beta J}=4\cosh(2\beta J)$ である。(c)の一般式に $N=2$ を入れても同じ値になることを後で確かめられる。

失点しやすい点

係数 $2$ を落として $-Js_1s_2$ とすると、以降の検算が合わなくなる。

各成分の由来

$V_{++}$ は $s_i=s_{i+1}=+1$ で $Js_is_{i+1}=J$、$h(s_i+s_{i+1})/2=h$。 $V_{+-}=V_{-+}$ は $s_is_{i+1}=-1$、磁場の項が $0$ になるので $e^{-\beta J}$。 $V_{--}$ は $J$ と $-h$。磁場を半分ずつ両端に振り分けたことで $V$ が実対称になる。

なぜ対称にするか

実対称なら固有値が実で、固有ベクトルが直交する。$Z_N=\operatorname{tr}(V^N)$ を固有値の $N$ 乗の和として書ける保証が得られる。

失点しやすい点

磁場の項を $hs_i$ とすると $V$ が非対称になり、$V_{+-}\ne V_{-+}$ になる。設問文の $\dfrac{s_i+s_{i+1}}{2}$ に従う。

検算

$N=2$ とすると $\lambda_1^2+\lambda_2^2=(\lambda_1+\lambda_2)^2-2\lambda_1\lambda_2 =4e^{2\beta J}\cosh^2\beta h-2(e^{2\beta J}-e^{-2\beta J})$。 $4\cosh^2=2+2\cosh2\beta h$ を使うと $2e^{2\beta J}\cosh2\beta h+2e^{-2\beta J}$ となり、(a)と一致する。

$\cosh^2-1=\sinh^2$

根号の中の整理でこの恒等式を使う。$\sinh^2$ の形にしておくと $h=0$ で根号が $e^{-\beta J}$ になり、以降の極限が読みやすい。

失点しやすい点

$\det V$ で $e^{\beta(J+h)}e^{\beta(J-h)}=e^{2\beta J}$ となり $h$ が消える。ここで $h$ を残すと固有値が誤る。

相転移がないこと

$f$ は $\beta>0$ の範囲で $h$ と $\beta$ の解析関数である（根号の中が常に正）。自由エネルギーに特異点がないので、$1$ 次元イジング模型は有限温度で相転移を起こさない。(f)の結果はこの事実の具体的な表れである。

検算

$h=0$ では $\lambda_1=e^{\beta J}+e^{-\beta J}=2\cosh\beta J$ となり、よく知られた $f=-\dfrac{1}{\beta}\ln(2\cosh\beta J)$ に一致する。

失点しやすい点

$\lambda_2$ の寄与を落とす根拠を書く。$|\lambda_2/\lambda_1|<1$ を確認したうえで極限を取る。

熱力学的な意味

$-\partial f/\partial h$ は $1$ スピンあたりの磁化である。自由エネルギーを外場で微分すると共役な示量変数が出る、という一般則の具体例である。

具体形

(d)を代入して微分すると $$\langle\hat s\rangle=\frac{e^{\beta J}\sinh\beta h}{\sqrt{e^{2\beta J}\sinh^2\beta h+e^{-2\beta J}}}$$ が得られる。(f)ではこの式を使う。

失点しやすい点

符号を落として $+\partial f/\partial h$ としない。$H$ の中で磁場の項が $-h\sum s_i$ と負であることから決まる。

極限の順序が効く理由

$2$ つの小さい量 $\beta h$ と $e^{-2\beta J}$ の大小関係で答えが変わる。根号の中の $2$ 項 $e^{2\beta J}(\beta h)^2$ と $e^{-2\beta J}$ のどちらが勝つかが、$\beta h\,e^{2\beta J}$ が $1$ より大きいか小さいかで決まる。

相転移がないことの意味

自発磁化は「$h\to0$ の極限での磁化」と定義される。$\beta J$ が有限（つまり温度が有限）である限りこれは $0$ で、強磁性秩序は現れない。秩序が現れるのは $\beta J\to\infty$、すなわち絶対零度の極限だけである。$1$ 次元イジング模型が有限温度で相転移しないというパイエルスの議論の結論と一致する。

相関長との対応

$h=0$ での相関長は $\xi\simeq\dfrac{1}{2}e^{2\beta J}$ で、温度を下げると発散するが有限温度では有限である。$\langle\hat s\rangle\simeq e^{2\beta J}\beta h$ の係数がちょうど相関長の程度になっているのは偶然ではなく、磁化率が相関長に比例するためである。

失点しやすい点

$2$ つの極限を「同じ値になる」と答えない。順序で違うことを示すのが設問の狙いである。

グラフで示すべき情報

$t=0$ の値 $T_0+Q/C$、漸近値 $T_0$、そして時定数 $\tau=CL/(\lambda S)$ の $3$ つを図に書き込む。設問が「時間スケールや温度の情報もわかる様に」と求めているのはこの $3$ 点である。

時定数の読み方

$\tau$ は熱容量に比例し、熱伝導のしやすさ（$\lambda S/L$、熱コンダクタンス）に反比例する。物体 B を太く短くすれば速く冷え、A の熱容量が大きければ遅く冷える。

仮定の確認

「緩和時間が熱伝導の時間より十分短い」という条件が、$t=0$ での温度上昇を瞬間的とみなす根拠である。また「熱浴は十分大きい」ため $T_0$ は変化しない。

失点しやすい点

熱伝導率の定義（単位長さあたり単位温度差のとき単位面積を $1$ 秒間に流れる熱量）から $\lambda S(T-T_0)/L$ を組み立てる。$L$ で割る操作を落とすと次元が合わない。

他の候補

液体温度計（水銀・アルコールの熱膨張を液柱の長さに読み替える）、放射温度計（物体からの熱放射の強度やスペクトルからプランクの法則で温度を求める。非接触で高温や遠方の測定に使える）、気体温度計（一定体積での圧力と温度の比例関係）などがある。$2$ 例が「原理の異なる」ものであれば何でもよい。

答案の書き方

「例を $2$ 例あげ、その原理を説明せよ」なので、名称だけでなくどの物理量の温度依存性を使うかを $1$ 文で述べる。

失点しやすい点

液体温度計とバイメタル温度計のように、どちらも熱膨張を使うものを $2$ つ挙げると「原理の異なる」を満たさない。

答案の組み立て

設問は「実験をうまく遂行するため、あるいは実験結果を検討する時必要と思われる注意事項を $2$ 例」と「人の安全を確保するための注意事項を $2$ 例」を分けて求めている。両者を混ぜず、見出しを立てて書き分ける。

(a)との関係

ヒートリークは(a)の設定でいえば「物体 B 以外の経路による熱の出入り」にあたる。設問(a)がそれを無視すると明記していたのは、実際には無視できないことの裏返しである。

測定条件の一定性

冷媒の液面が下がると輻射シールドの効きや配線の熱伝導が変わり、実効的な熱コンダクタンスが時間とともに変化する。長時間の測定では液面の管理も結果の検討に必要な項目になる。

失点しやすい点

「注意事項」を精神論で書かない。何が起きるか（熱侵入・感度低下・凍傷・酸欠・被ばく）と、それに対して何をするかの対応で書く。

方針

$3$ 段階に分ける。$1$ 回の誤差 $\to$ 平均の誤差（$1/\sqrt n$）$\to$ 差の誤差（$\sqrt2$ 倍）である。どの段でも独立性を使っている。

$\sqrt2$ を落とすとどうなるか

差を取ることを忘れて片方だけで $0.01$ を要求すると $10T\ge100$、$T\ge10$ 秒となり、必要時間を半分に見誤る。実際には $2$ 点の誤差が独立に効くので $2$ 倍の時間が要る。

測定精度の限界

統計誤差は $1/\sqrt T$ でしか減らない。$10$ 倍の精度を得るには $100$ 倍の時間が必要である。また実際には装置のドリフトなどの系統誤差が残るので、時間を延ばし続けても精度は頭打ちになる。設問文の「測定中は測定条件が一定」がこれを排除する仮定である。

失点しやすい点

$n$ を「秒数」ではなく「測定回数」とする。毎秒 $10$ 回なので $n=10T$ である。

方針

積と商だけで書ける量は、対数を取って微分すると相対誤差の二乗和になる。べき指数がそのまま係数として現れるので、$R^2$ からは $2\sigma_R/R$ が出る。

どの項が効くか

実際の測定では $G$ の相対誤差が最も大きく（$10^{-5}$ 程度）、$g$ や $R$ の相対誤差はそれよりずっと小さい。したがって $\sigma_M/M\simeq\sigma_G/G$ となり、地球質量の精度は万有引力定数の精度で決まる。「地球の重さを測る」という問題が $G$ の測定問題に帰着するのはこのためである。

密度一定の仮定

球対称であれば密度が半径によって変わっても $g=GM/R^2$ は成り立つ。設問の「密度一定」はより強い仮定だが、質量の式には影響しない。

失点しやすい点

$R$ の項の係数 $2$ を落とさない。二乗して $4$ になる。また誤差は単純和ではなく二乗和の平方根で合成する（独立な誤差だから）。