立教大学 理学研究科 物理学専攻 物理学 2023年度 春季（2023年2月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

方針

糸の張力は支点を通るのでトルクを生まない。回転の運動方程式 $I\ddot\theta=N$ に $I=mR^2$ を入れるだけで済む。

失点しやすい点

$\sin\theta$ を最初から $\theta$ にしない。近似は(b)以降で使うと明記されている。

振り子として扱える条件

「糸が張った状態」という但し書きが重要である。糸がたるむ（$\theta$ が大きく張力が $0$ になる）場合は円弧上の運動でなくなり、この方程式は使えない。

検算

次元は $\sqrt{(\mathrm{m/s^2})/\mathrm{m}}=\mathrm{s^{-1}}$ で合う。$R$ が長いほどゆっくり振れる、という単振り子の性質と一致する。

$m$ が消えること

復元トルクも慣性モーメントもともに $m$ に比例するので質量が約分される。単振り子の周期が質量によらない理由である。

失点しやすい点

$\Omega_0$ は角振動数であって周期ではない。周期は $2\pi/\Omega_0$ である。

方針

力ではなくトルクで書く。抵抗力に腕の長さ $R$ を掛けるのを忘れると、$\dot\theta$ の係数が $\rho/(mR)$ になってしまう。

減衰定数

(e)で使う標準形 $\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=A\cos\omega t$ と比べると $2\beta=\rho/m$、すなわち $\beta=\dfrac{\rho}{2m}$ である。

失点しやすい点

$g$ を使わずに $\Omega_0$ で表すという指示に従う。$\Omega_0^2=g/R$ を代入する。

$a$ の次元

$a$ はトルクの次元をもつので $a/(mR^2)$ は角加速度の次元になる。標準形の $A$ に対応する。

失点しやすい点

外力は「力」ではなく「トルク」として与えられているので、$R$ を掛けずにそのまま右辺に足す。ただし $mR^2$ で割る操作は必要である。

定常解と過渡解

(d)の方程式の一般解は、減衰する斉次解と外力の振動数で振動する特殊解の和である。時間が経つと斉次解は減衰して消え、(e)で扱う特殊解だけが残る。

3つの振動数の大小

減衰のない固有振動数 $\Omega_0$、減衰振動の振動数 $\sqrt{\Omega_0^2-\beta^2}$、共鳴振動数 $\sqrt{\Omega_0^2-2\beta^2}$ はこの順に小さくなる。混同しやすいので、どれを問われているかを確認する。

検算

$\rho\to0$（$\beta\to0$）では $\Omega_{\mathrm R}\to\Omega_0$ となり、減衰がなければ固有振動数で共鳴するという直感に合う。また $D(\Omega_{\mathrm R})=\dfrac{A}{2\beta\sqrt{\Omega_0^2-\beta^2}}$ で、$\beta\to0$ で発散する。

失点しやすい点

$dg/d\Omega=0$ の因数 $\Omega=0$ を共鳴として採用しない。$\Omega=0$ は静的な変位で、振動の共鳴ではない。

(2)式も同時に出ること

$2$ 式をそれぞれ $2$ 乗して足すと $D^2\bigl[(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2\bigr]=A^2$ となり、(2)式 $D=\dfrac{A}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\omega^2\beta^2}}$ が得られる。(e)で使った式もここから出る。

位相の意味

$\delta$ は外力に対する応答の遅れである。$\omega\ll\omega_0$ では $\delta\simeq0$（同位相）、$\omega=\omega_0$ では $\delta=\pi/2$、$\omega\gg\omega_0$ では $\delta\to\pi$（逆位相）となる。

失点しやすい点

$\cos(\varphi+\delta)$ の加法定理で符号を誤らない。また $\cos\varphi$ と $\sin\varphi$ の係数を独立に比較してよい理由（一次独立性、すなわち任意の $t$ で成り立つこと）を一言添える。

符号の意味

$W<0$ である。異符号の電荷は引き合うので、近づける過程では電気力が正の仕事をし、外力は負の仕事をする（引き戻しながらゆっくり運ぶ）。

正電荷は動かないこと

$q$ は固定されているので、$q$ に対して外力がする仕事は考えない。設問も「負の点電荷に対して外力がした仕事」と限定している。

失点しやすい点

$W=+q^2/(4\pi\varepsilon_0d)$ と符号を逆にしない。無限遠を基準に $0$ から負の値へ下がる。

$r^{-3}$ 依存

点電荷の場が $r^{-2}$ なのに対し、双極子は $r^{-3}$ で減衰する。正負の電荷の寄与が遠方で打ち消し合うためである。

向きの確認

$\theta=0$（双極子の正の側）では $E_\theta=0$、$E_r=2p/(4\pi\varepsilon_0r^3)>0$ で外向き。$\theta=\pi/2$（赤道）では $E_r=0$、$E_\theta=p/(4\pi\varepsilon_0r^3)>0$ で $\theta$ の増える向き、すなわち双極子と逆向きになる。双極子の電気力線の形と一致する。

失点しやすい点

$E_\theta$ の $1/r$ を落とさない。極座標の勾配の $\theta$ 成分は $\dfrac1r\dfrac{\partial}{\partial\theta}$ である。

なぜ勾配が要るか

一様な電場の中では、双極子の正負の電荷が受ける力が打ち消し合って合力は $0$ になる。合力が生じるのは電場が場所によって変わるときで、その大きさは電場の勾配に比例する。$\bm F=(\bm p\cdot\nabla)\bm E$ はこの事実を表している。

検算：$x'=0$ の場合

$Q$ が $z$ 軸上（$z'>0$）にあるとき $F_x=0$、$F_z=\dfrac{pQ(-2z'^2)}{4\pi\varepsilon_0z'^5}=-\dfrac{2pQ}{4\pi\varepsilon_0z'^3}$ となる。$Q>0$、$p>0$ なら $F_z<0$、つまり双極子は $Q$ から遠ざかる向きに押される。$z$ 軸上では双極子の負電荷側が $Q$ から遠く、正電荷側が近いので反発が勝つ。整合している。 またこのとき $N_y=0$ で、双極子と $Q$ が同一直線上にあるためトルクが消える。これも妥当である。

トルクの向き

$\bm N=\bm p\times\bm E$ は、双極子を外場の向きに揃えようとする向きにはたらく。$y$ 成分だけが残るのは、$\bm p$ が $z$ 軸方向、$\bm E$ が $xz$ 平面内にあるためである。

失点しやすい点

「原点まわりのトルク」なので $\bm r\times\bm F$ の寄与は入らない（双極子は原点にある）。また力の計算で $\bm F=q\bm E$ の形を使わない。点双極子には正味の電荷がないので、勾配の項だけが残る。

方針

$e^{-\alpha x^2/2}$ は $x\to\infty$ での漸近形である。これを括り出すと、残る $f$ が多項式になる場合を探せばよい形の方程式になる。エルミートの微分方程式そのものである。

失点しやすい点

$\psi''$ の展開で $-\alpha f$ の項（$e^{-\alpha x^2/2}$ の $2$ 階微分から出る）を落とさない。この項が $\varepsilon-\alpha$ の $-\alpha$ を生む。

$x\le0$ の扱い

ポテンシャルが無限大なので $x\le0$ では $\psi=0$ である。以下の議論はすべて $x>0$ の領域で行い、$x=0$ での接続は(c)の境界条件として使う。

偶数項と奇数項が分離すること

漸化式は $n$ を $2$ ずつ飛ばすので、$a_0$ から始まる偶数次の系列と $a_1$ から始まる奇数次の系列が独立に決まる。この分離が(c)で効く。

失点しやすい点

$f''$ の添字のずらし $n\to n+2$ を正しく行う。$\sum n(n-1)a_nx^{n-2}$ のまま比較すると係数が合わない。

漸化式の使い方

$a_0$ と $a_1$ の $2$ つが初期値で、他はすべてこの $2$ つから決まる。$2$ 階の微分方程式なので独立解が $2$ つある、という事実に対応している。

全空間の調和振動子との関係

$\omega=\dfrac{\hbar\alpha}{m}$ とおくと、通常の調和振動子の準位は $\hbar\omega\left(n+\dfrac12\right)=\dfrac{\hbar^2\alpha}{2m}(2n+1)$ である。 本問の結果はこのうち $n$ が奇数のものだけに一致する。壁があるために $\psi(0)=0$ を満たす奇関数の解しか許されない、という事実の反映である。

検算

基底状態は $k=0$、$N=1$ で $f=a_1x$、$\psi=a_1xe^{-\alpha x^2/2}$ である。これは全空間の調和振動子の第 $1$ 励起状態（奇関数）を $x>0$ に制限したもので、確かに $\psi(0)=0$ を満たす。

失点しやすい点

$a_0=0$ の条件を落として $N$ を偶数まで許すと、偽の準位が混ざる。境界条件と打ち切り条件の $2$ つを両方使う。

微分による積分の作り方

$\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-\alpha x^2}dx$ は、与えられた公式をパラメータ $\alpha$ について微分すると得られる。この手法は $x^{2n}$ の積分に一般に使える。

検算

$\psi_0$ は $x=0$ で $0$、$x\to\infty$ で $0$ になり、途中に節をもたない（$x>0$ で符号一定）。基底状態の波動関数が節をもたないという一般則と整合する。 最大値をとる位置は $d(xe^{-\alpha x^2/2})/dx=0$ より $x=1/\sqrt\alpha$ で、調和振動子の特性長と一致する。

積分範囲

規格化は $x>0$ のみで行う。$x\le0$ では $\psi=0$ なので寄与しない。全空間の調和振動子の第 $1$ 励起状態の規格化係数と比べると $\sqrt2$ 倍になるのは、半分の領域に確率を詰め込んでいるためである。

失点しやすい点

$\int_0^\infty$ を $\int_{-\infty}^\infty$ としない。壁があるので半直線だけで規格化する。

方針

正準集団では $\sum_in_i=N$ という拘束のせいで和が因子分解できない。大正準集団に移して $N$ について和を取ると拘束が消え、状態ごとの独立な和になる。これが大正準集団を使う最大の理由である。

$\mu$ の役割

$e^{\beta\mu N}$ が拘束条件を「化学ポテンシャルとの交換」に置き換えている。$\mu$ は平均粒子数を指定するための共役変数である。

失点しやすい点

和と積の交換の根拠を書く。$\{n_i\}$ が独立に走ることを明示してから積に直す。

図に書き込むこと

$\varepsilon=\mu$ で値が $1/2$ になること、段差の幅が $k_BT$ 程度であること、$0\le\langle n_i\rangle\le1$ であることの $3$ 点を示す。

失点しやすい点

$\langle n_i\rangle$ が $1$ を超えないことがフェルミ統計の特徴である。分母の $+1$ を落とすとボルツマン分布になってしまう。

化学ポテンシャルとフェルミエネルギー

$T\to0$ で $\mu$ はフェルミエネルギー $\varepsilon_F$ に一致する。有限温度では $\mu$ は $\varepsilon_F$ からわずかにずれるが、金属では $k_BT\ll\varepsilon_F$ なので実用上は等しいとしてよい。

非相対論との比較

$\varepsilon=p^2/(2m)$ の場合は $D(\varepsilon)\propto\sqrt\varepsilon$、$\varepsilon_F\propto(N/V)^{2/3}$ である。相対論的な場合は $D\propto\varepsilon^2$、$\varepsilon_F\propto(N/V)^{1/3}$ となり、密度依存性が弱くなる。白色矮星や中性子星の安定性の議論でこの違いが効く。

スピンの因子

電子はスピン $1/2$ で各運動量状態に $2$ 状態あるから因子 $2$ が入る。これを落とすと $\varepsilon_F$ が $2^{1/3}$ 倍ずれる。

失点しやすい点

$d^3p=4\pi p^2dp$ の球殻の体積を使う。また $\varepsilon=cp$ の変換で $dp=d\varepsilon/c$ の $1/c$ を落とさない。

フェルミとの違い

フェルミでは $n_i$ が $0,1$ に限られるので和が有限で、$\mu$ に制限がつかない。ボースでは無限級数になるため収束条件が $\mu$ の上限を与える。

ボース・アインシュタイン凝縮との関係

$\mu$ が $\varepsilon_1$ に近づくと最低状態の占有数 $\langle n_1\rangle$ が発散的に大きくなる。温度を下げていくと $\mu\to\varepsilon_1$ となり、有限の割合の粒子が基底状態に落ちる。これがボース・アインシュタイン凝縮である。

失点しやすい点

上限を $0$ と書かない。$\varepsilon_1=0$ と取る流儀では $\mu<0$ になるが、一般には最低準位のエネルギーが上限である。

3つの分布の関係

分母の符号だけが違う。$+1$ でフェルミ・ディラック、$-1$ でボース・アインシュタイン、$0$（すなわち $e^{\beta(\varepsilon-\mu)}$ そのもの）でマクスウェル・ボルツマンである。$\beta(\varepsilon_i-\mu)\gg1$ では $3$ つとも一致し、古典統計に帰着する。

正値性

$\mu<\varepsilon_i$ なので分母は正で、$\langle n_i\rangle>0$ である。(b-1)の条件がここでも効いている。

光子気体との関係

光子は粒子数が保存しないので $\mu=0$ とすればよい。$\langle n\rangle=\dfrac{1}{e^{\beta\hbar\omega}-1}$ となり、プランク分布が得られる。

失点しやすい点

分母の $-1$ を $+1$ にしない。ボース粒子は同じ状態に何個でも入れるので、低エネルギー側で占有数がいくらでも大きくなれる形でなければならない。