立教大学 理学研究科 物理学専攻 物理学 2023年度 夏季（2022年7月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

方針

小球 $2$ の速度は「支点から見た $1$ 本目の糸の回転」と「小球 $1$ から見た $2$ 本目の糸の回転」の合成である。直交座標に直してから $2$ 乗すると、交差項に $\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ が現れる。

交差項の意味

$2\dot\varphi_1\dot\varphi_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ が $2$ つの自由度を結びつける。これがなければ独立な $2$ つの単振り子になってしまい、(d)のような基準モードは現れない。

失点しやすい点

$T_2$ に小球 $1$ の運動を含めるのを忘れない。小球 $2$ の位置は $2$ 本の糸の合成で決まる。

$\varphi_1$ が2回現れること

小球 $2$ の高さは $1$ 本目の糸の傾きにも依存する。$U_2$ に $\cos\varphi_1$ が入るのはこのためで、これが(c)で $\varphi_1$ の復元力を $2$ 倍にする。

基準の取り方

定数の差は運動方程式に影響しないので、支点を基準にしても最下点を基準にしてもよい。ここでは式が短くなる支点基準を採った。

失点しやすい点

$U_2$ を $-mgl\cos\varphi_2$ だけにしない。小球 $2$ は支点から $2$ 本ぶん下にある。

方針

オイラー・ラグランジュ方程式から出る形は(i)(ii)で、加速度が混ざっている。設問で与えられた形は $\ddot\varphi_1$、$\ddot\varphi_2$ が分離した形なので、(i)(ii)を連立して解き直す必要がある。

$2$ 次までの近似

運動エネルギーは $\dot\varphi$ の $2$ 次、位置エネルギーは $\varphi$ の $2$ 次まで残す。運動方程式が線形になるのはこの近似のおかげである。

失点しやすい点

$U$ の展開で $\varphi_1^2$ の係数が $\varphi_2^2$ の $2$ 倍になる（小球 $2$ 個ぶんの重さが $1$ 本目の糸にかかる）。ここを揃えてしまうと固有振動数が誤る。

検算

$2$ つの固有値の和は $\lambda_++\lambda_-=4k$ で、係数行列のトレース $2(2k)=4k$ に一致する。積は $\lambda_+\lambda_-=(4-2)k^2=2k^2$ で、行列式 $(2k)^2-2k^2=2k^2$ に一致する。

単振り子との比較

長さ $l$ の単振り子は $\sqrt{g/l}$、長さ $2l$ なら $\sqrt{g/(2l)}\simeq0.707\sqrt{g/l}$ である。低いモードの $0.765\sqrt{g/l}$ はこの中間にあり、全体が大きく揺れるモードとして妥当である。

行列が対称でない理由

運動エネルギーの行列（質量行列）が単位行列でないため、得られた係数行列は対称にならない。それでも固有値は実で正になる。質量行列とポテンシャル行列がともに正定値だからである。

失点しやすい点

「固有モードで小球 $1$ と $2$ がどのように運動するか」まで問われている。振幅比の符号（同位相か逆位相か）と大きさ（$\sqrt2$ 倍）の両方を述べる。

方針

$4$ 辺すべてを調べ、$y$ 軸まわりのトルクに寄与するのがどの $2$ 辺かを見極める。偶力なので、回転の中心をどこに取っても同じトルクになる。

検算

$\theta=0$（回路が $xy$ 平面内、法線が $\bm B$ と平行）ではトルクが $0$、$\theta=\pi/2$ で最大になる。磁気モーメントが磁場と平行なとき安定という直感に合う。

失点しやすい点

腕の長さを $\dfrac b2\cos\theta$ としない。力が $x$ 方向なので、トルクを生むのは $z$ 方向の変位、すなわち $\dfrac b2\sin\theta$ である。

ベクトルで書くと

$\bm N=\bm\mu\times\bm B$ である。その大きさが $\mu B\sin\theta$ になる。

失点しやすい点

$\mu=Ml$ と定義されているので、$M$ と $l$ を別々に残さず $\mu$ でまとめる。設問が「$\mu$ を用いて表せ」と指定している。

単磁荷という設定

実際には磁気単極子は見つかっていないが、双極子の受けるトルクを計算する模型としては有効である。(c)で電流回路と同じトルクを与えることを確かめ、以後は電流回路の言葉に翻訳する。

形によらないこと

任意の平面閉回路を細かい正方形に分割すると、内部の辺の電流が打ち消し合って外周だけが残る。したがって $\mu=SJ$ は形によらず成り立つ。

失点しやすい点

$\sin\theta$ が両辺で約分される。$\theta$ に依存しない関係が得られることを確認する。

向きも含めた表現

$\bm\mu=SJ\hat{\bm n}$（$\hat{\bm n}$ は電流の向きに右ねじで決まる法線）と書ける。本問は大きさだけを問うているが、向きまで込めて覚えておくと(f)の歳差運動の議論で迷わない。

$a$ と $\omega$ が消えること

半径にも回転の速さにもよらず、電荷と質量の比だけで決まる。電荷と質量が同じように分布していれば形状によらない、という一般的な性質である。

古典的な値

$\gamma=q/(2m)$ は古典的な磁気回転比で、軌道角運動量による磁気モーメントはこの値をとる。電子スピンではこの $2$ 倍になり、それが(f)の $g=2$ である。

失点しやすい点

円環の慣性モーメントは $ma^2$（全質量が半径 $a$ にある）であって $\frac12ma^2$（円板）ではない。

速さによらないこと

半径は速さに比例して大きくなるが、周回する時間は変わらない。サイクロトロン加速器が一定周波数で加速できるのはこの性質による。

失点しやすい点

初速度を $y$ 方向に与えたので運動は $xy$ 平面内に限られる。$\bm B$ が $z$ 方向なので、速度に $z$ 成分がなければらせん運動にはならない。

磁気モーメントの影響を無視してよい理由

設問文にあるとおり、(e)ではサイクロトロン運動そのものに磁気モーメントの力（$\nabla$ による力）が及ぼす影響を無視する。一様磁場では磁気モーメントに正味の力がはたらかないので、この仮定は厳密に成り立つ。

$g=2$ の意味

ディラック方程式から導かれる電子スピンの $g$ 因子はちょうど $2$ である。実際には量子電磁力学の補正で $g/2-1\simeq1.16\times10^{-3}$ だけずれ、この異常磁気モーメントは理論と実験が $10$ 桁以上一致する物理学で最も精密な検証の一つになっている。

$g-2$ 実験の原理

本問の後半は、まさにその測定原理である。$g=2$ ちょうどならスピンの向きは運動方向に対して変わらないが、ずれがあると $1$ 周ごとに少しずつ回る。その積み重ねを測ることで $g-2$ を高精度で決められる。

検算

$1\%$ のずれが $1$ 周で $2\pi\times0.01=0.02\pi$ の角度差を生む。$50$ 周すれば $\pi$ になり、向きが反転する。小さなずれが周回数で増幅される仕組みが見える。

失点しやすい点

$1$ 周後の角度は $2.02\pi$ そのものではなく、$2\pi$ を引いた $0.02\pi$ である。「$y$ 軸となす角度の大きさ」を問われている。

規格化の確認

$\displaystyle\int_{-a}^{a}\frac1a\cos^2\frac{\pi x}{2a}dx=\frac1a\cdot a=1$、 $\displaystyle\int_{-a}^{a}\frac1a\sin^2\frac{\pi x}{a}dx=1$ でともに正しい。

偶奇性

井戸が $x=0$ に関して対称なので、固有関数は偶関数と奇関数に分かれる。$n$ が奇数なら偶関数、偶数なら奇関数である。この偶奇性が(b)以降で決定的に効く。

失点しやすい点

井戸の幅は $2a$ であって $a$ ではない。波数は $n\pi/(2a)$ である。

奇関数が影響を受けない理由

奇関数は原点で節をもつので、原点に置かれた障壁の位置に確率がない。したがって障壁の強さによらずエネルギーが変わらない。これは(c-2)で厳密にも成り立つ。

失点しやすい点

デルタ関数の期待値は $|\psi(0)|^2$ であって $\psi(0)$ ではない。

$2$ 次以降の補正

$1$ 次で $0$ でも $2$ 次の補正は一般に $0$ でない。しかし(c-2)で見るように、この状態は厳密に $\lambda$ に依存しないので、すべての次数で補正が $0$ である。

方針

偶関数であることを使って $|x|$ で書くと、$2$ つの領域を別々に扱う手間が省ける。接続条件の跳びは $-2Ak\cos(ka)$ とまとまる。

符号の確認

$\lambda>0$（斥力）なので右辺は負である。したがって $ka$ は $\tan$ が負になる区間、すなわち $\left(\dfrac\pi2,\pi\right)$ にある。$\lambda=0$ では $\tan(ka)=-\infty$ より $ka=\pi/2$ となり、(a)の $k=\pi/(2a)$ に一致する。

失点しやすい点

障壁（$\lambda>0$）なので接続条件の符号が井戸の場合と逆になる。積分の向きを丁寧に追う。

(b)との整合

$1$ 次摂動でも $\Delta E_1^{(1)}=0$ だった。厳密にも全次数で $0$ である点が本問の要点で、摂動論の結果が偶然ではなく厳密であることを示している。

失点しやすい点

「$\lambda$ に依存しない」と明記する。値を書くだけでは設問の意図に届かない。

偶奇性が保たれること

障壁は $x=0$ に関して対称なので、固有関数の偶奇性は $\lambda$ を入れても崩れない。偶関数の系列（基底状態を含む）だけが $\lambda$ の影響を受ける。

$\lambda\to\infty$ の物理

障壁が無限に高くなると井戸が $2$ つに分断され、幅 $a$ の独立な井戸が $2$ つできる。その基底エネルギーは $\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ で、対称・反対称の組み合わせが縮退する。$E_0$ と $E_1$ が同じ値に近づくのはこのためである。

摂動論が破綻する理由

$1$ 次摂動は $\Delta E_0^{(1)}=\lambda/a$ と $\lambda$ に比例して増え続けるが、厳密解では $E_0$ が $E_1$ を超えられない（上に有界）。$\lambda$ が大きいところで両者が乖離するのは必然である。

$1$ 次摂動の妥当性の確認

小さい $\lambda$ では、厳密解を $ka=\dfrac\pi2+\epsilon$ と展開すると $\epsilon\simeq\dfrac{2m\lambda a}{\pi\hbar^2}$ となり、 $E_0\simeq\dfrac{\pi^2\hbar^2}{8ma^2}+\dfrac{\lambda}{a}$ が得られる。(b)の結果と一致する。

失点しやすい点

「$\lambda$ の大きさを評価せよ」なので、無次元の比較（補正と準位間隔）を作って条件を書く。単に「大きいと破綻する」では評価になっていない。

因子分解の根拠

ハミルトニアンが $1$ 体項の和だから、$e^{-\beta\mathcal H}$ が各スピンの因子の積になる。相互作用があると(b)のように分解できない。

失点しやすい点

$N$ 乗を忘れない。また $\sum_{\sigma=\pm1}e^{\beta h\sigma}=e^{\beta h}+e^{-\beta h}=2\cosh\beta h$ である。

$h=0$ の場合

$Z=2^N$ となり、$N$ 個のスピンが独立に $2$ 状態を取る自由度そのものである。(a-2)のエントロピーが $Nk_B\ln2$ になることと対応する。

極限での確認

$\beta h\to0$（高温または無磁場）では $S\to Nk_B\ln2$ で、各スピンが自由に $2$ 状態を取る最大エントロピーになる。 $\beta h\to\infty$（低温または強磁場）では $\ln(2\cosh x)\to x$、$x\tanh x\to x$ より $S\to0$ で、全スピンが揃った状態に対応する。

$h/T$ だけの関数であること

$S$ は $\beta h=\dfrac{h}{k_BT}$ という組み合わせのみを通じて $h$ と $T$ に依存する。この事実が(a-3)の鍵である。

失点しやすい点

$\partial/\partial T$ と $\partial/\partial\beta$ の変換で $-k_B\beta^2$ の因子を落とさない。

断熱消磁

$h_2<h_1$ とすれば $T_2<T_1$ となり、磁場を弱めるだけで冷却できる。これが断熱消磁（断熱脱磁）で、$1\,\mathrm{K}$ 以下の極低温を得る標準的な手法である。

直感的な説明

磁場を弱めるとスピンの整列を保つのが難しくなり、スピン系のエントロピーが増えようとする。断熱条件下ではそれを許さないので、温度が下がって整列度を保つ。スピン系が格子系から熱を奪う形になる。

限界

$h_2\to0$ で $T_2\to0$ となるが、実際にはスピン間の残留相互作用があるため絶対零度には到達しない。熱力学第三法則と矛盾しない。

失点しやすい点

「そうなる理由も説明せよ」とあるので、$S$ が $h/T$ の関数であるという事実を明示的に述べる。

検算

$J=0$ とすると $Z=2\cosh3\beta h+6\cosh\beta h$。一方(a-1)で $N=3$ とすると $(2\cosh\beta h)^3=8\cosh^3\beta h$ で、 $\cosh3x=4\cosh^3x-3\cosh x$ を使うと $2(4\cosh^3-3\cosh)+6\cosh=8\cosh^3$ となり一致する。

$1$ 個だけ向きが違う配置の相互作用エネルギー

$3$ 個のうち $1$ 個だけ逆向きだと、$3$ 本の結合のうち $2$ 本が反平行、$1$ 本が平行になり、和は $-1-1+1=-1$ になる。表を作って数え上げるのが確実である。

失点しやすい点

$3$ スピン環では結合が $3$ 本ある（$\sigma_1\sigma_2$、$\sigma_2\sigma_3$、$\sigma_3\sigma_1$）。周期的につながっている点を落とさない。

フラストレーション

$J<0$ の三角形では、$3$ 本の結合すべてを反平行にすることができない。基底状態は $2$ 個が同じ向き、$1$ 個が逆向きの配置で、$6$ 重に縮退する。$\langle\sigma\rangle$ が $\frac13$ に落ちるのはこの縮退の反映である。

失点しやすい点

$J$ の正負で支配的な項が入れ替わる。設問が「$J$ の正負に注意しながら」と指定しているのはこのためである。

有限系であること

$3$ スピンの有限系なので、どの温度でも $\langle\sigma\rangle$ は $h\to0$ で $0$ になる。自発磁化が生じるのは熱力学極限だけである。

極限での確認

$J=0$ では $\chi=\beta\cdot\dfrac{3+1}{1+3}=\beta$ となり、独立なスピンのキュリー則 $\chi=1/(k_BT)$ に一致する。 $\beta J\to+\infty$ では $\chi\to3\beta$（$3$ 個が揃って応答）、 $\beta J\to-\infty$ では $\chi\to\dfrac\beta3$（フラストレーションで応答が $1/3$）となり、(b-2)の極限と整合する。

キュリー・ワイス的な振る舞い

$J>0$ では $\chi$ が単独スピンより大きくなり、$J<0$ では小さくなる。有限系なので発散はしないが、強磁性・反強磁性の傾向が符号として現れている。

失点しやすい点

$h\to0$ の極限を取る前に微分する。分母の $h$ 依存は $h^2$ の次数から始まるので、$1$ 次では分母を $h=0$ で評価してよい。

検算

$\theta_0=\pi/2$（半球）なら $\Omega=2\pi$、$\theta_0=\pi$（全球）なら $4\pi$ で正しい。 $\theta_0\ll1$ では $1-\cos\theta_0\simeq\theta_0^2/2$ より $\Omega\simeq\pi\theta_0^2$ となり、穴の面積を距離の $2$ 乗で割った値に一致する。

失点しやすい点

$\Omega=\pi\theta_0^2$ と近似形で答えない。設問は $\theta_0$ が小さいとは言っていない。

立体角の定義

立体角は、対象を単位球面へ射影したときの面積である。円錐では帯 $[\theta,\theta+d\theta]$ の面積が $2\pi\sin\theta\,d\theta$ となり、これを積分して $2\pi(1-\cos\theta_0)$ を得る。

距離によらないこと

輝度は「単位立体角あたり」で定義された量なので、光源が視野を埋め尽くしている限り、距離を変えても検出器の受ける光量は変わらない。遠くの壁も近くの壁も、同じ明るさなら同じ輝度に見えるのと同じ理屈である。

$r_i$、$d_i$ が答えに現れない理由

穴が視野を制限しているので、光源の大きさや距離は結果に効かない。この単純さが輝度という量を導入する利点である。

失点しやすい点

「光源の面積が大きいほど明るい」と考えて $r_i^2/d_i^2$ を掛けない。視野に収まりきらない光源では、はみ出した部分の光は穴を通らない。

遠方近似

$r_i\ll d_i$ のとき $1-\cos\theta_i\simeq\dfrac{r_i^2}{2d_i^2}$ だから $$\frac{L_1}{L_2}\simeq\frac{a_1}{a_2}\cdot\frac{r_2^2/d_2^2}{r_1^2/d_1^2} =\frac{a_1}{a_2}\cdot\frac{r_2^2d_1^2}{r_1^2d_2^2}.$$ 「光源の見かけの面積」で割る形になり、点光源の逆 $2$ 乗則と整合する。

(b)との対比

(b)では穴が、(c)では光源が視野を決めていた。どちらが小さい立体角を張るかで場合が分かれる、というのが本問の骨格である。境界は $\tan\theta_0=r_i/d_i$ である。

設問文の仮定

「検出面と板の間の距離や板の穴の半径は、光源との距離や光源の半径より充分小さい」という条件により、光源から見た検出器はほぼ点とみなせ、穴の位置と検出面の位置を区別しなくてよい。

失点しやすい点

$\cos\theta_i$ を $r_i/d_i$ ではなく $d_i/\sqrt{d_i^2+r_i^2}$ と書く。与えられているのは $\tan\theta_i=r_i/d_i$ なので、$\cos$ に直す一手が要る。

符号の消え方

$\partial A/\partial n$ は負だが、$2$ 乗するので符号は残らない。誤差は必ず正である。

$A$ の有界性

$A$ は $-1\le A\le1$ の範囲にある。$\sigma_A$ もこの範囲を大きく超えることはなく、$m$ か $n$ が $0$ に近づくと $A$ が端に張り付いてガウス近似が崩れる。

失点しやすい点

$m$ と $n$ の役割が入れ替わることに注意する。$\partial A/\partial m$ の分子は $n$、$\partial A/\partial n$ の分子は $m$ である。

整理の要点

$n^2m+m^2n=mn(n+m)$ と因数分解できることに気づけば、$(m+n)$ が $1$ つ約分されて指数が $3/2$ になる。

検算：極端な場合

$n=0$ なら $A=1$ で $\sigma_A=0$。実際、片方が $0$ なら比は $1$ に確定する（ガウス近似の範囲では）。 $m=n$ なら $\sigma_A=\dfrac{2m}{(2m)^{3/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2m}}$ である。

失点しやすい点

$\sigma_m=\sqrt m$ を $\sigma_m=m$ としない。ポアソン分布では分散が平均に等しく、標準偏差はその平方根である。

結果の意味

非対称度の統計誤差は、総計数の平方根の逆数という極めて簡単な形になる。$1\%$ の非対称度を $3\sigma$ で検出するには $\dfrac{1}{\sqrt N}\le\dfrac{0.01}{3}$、すなわち $N\ge9\times10^4$ の計数が要る、といった見積もりが即座にできる。

実験計画への使い方

素粒子・原子核実験で前後方非対称度や偏極度を測るとき、必要な統計量の見積もりにそのまま使える式である。目標精度から必要な総イベント数が決まる。

$1/\sqrt N$ の普遍性

平均値の統計誤差が $1/\sqrt N$ で減るのと同じ形である。$A$ が $2$ つの計数の比であっても、対称点の近くでは同じスケーリングに従う。

失点しやすい点

$m\simeq n\simeq N/2$ の近似を使う場所を明示する。$\sqrt{mn}$ の部分にだけ効き、$(m+n)^{3/2}=N^{3/2}$ は厳密である。