神戸大 経済学研究科 統計学 2026年度 第Ⅱ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

密度の確認

$\int_0^1 2x\,dx=1$ なので，これは正しい確率密度関数である。計算の前に1行確かめておくと，係数の取り違えに気づける。$f_X$ は $\mathrm{Beta}(2,1)$ 分布の密度で，平均 $\dfrac{2}{2+1}=\dfrac23$，分散 $\dfrac{2\cdot1}{(2+1)^{2}(2+1+1)}=\dfrac{2}{36}=\dfrac1{18}$ と，ベータ分布の公式とも一致する。

三角形上の一様分布

台は頂点 $(0,0),(1,0),(1,1)$ の直角三角形で，面積は $\dfrac12$。密度が定数2なので $2\times\dfrac12=1$ となり積分は1になる。すなわち $(X,Y)$ はこの三角形上の一様分布である。これに気づくと，設問3・設問4を幾何的に確かめられる。

台の書き方

$0<y<x$ と $0<x<1$ を合わせて $0<y<x<1$ と1本に書く。この不等式を書き落とすと，設問3の積分範囲を間違える。

検算

$\int_0^1 2(1-y)\,dy=\bigl[2y-y^{2}\bigr]_0^1=1$ で積分は1，$F_Y(1)=2-1=1$，$F_Y(0)=0$ と端点も合う。$f_Y$ は右下がりの直線で，$Y$ は小さい値をとりやすい。$Y$ は $\mathrm{Beta}(1,2)$ 分布であり，$E[Y]=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac13$ である（$E[Y]=E[E[Y|X]]=E[X/2]=\dfrac13$ とも確かめられる）。

2解のうち一方を落とす根拠

$1+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx1.707$ は台 $[0,1]$ の外なので不適である。「$0<m<1$ より」と一言添えて落とす。

平均との比較

$E[Y]=\dfrac13\approx0.333$ に対し中央値は $0.293$ で，中央値のほうが小さい。密度が右下がりで右に裾を引く形なので，平均が中央値より大きくなる（右に歪んだ分布）。この対比を1行書くと，計算結果の妥当性を自分で確認したことが示せる。

幾何的な確かめ方

$(X,Y)$ が三角形上の一様分布なので，$P(Y\le m)$ は三角形のうち $y\le m$ の部分の面積の割合である。$y>m$ の部分は頂点 $(m,m),(1,m),(1,1)$ の三角形で面積 $\dfrac{(1-m)^{2}}{2}$，全体は $\dfrac12$ なので $$P(Y>m)=(1-m)^{2}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad 1-m=\frac{1}{\sqrt2},$$ と同じ答えが出る。図で確かめられるので，積分と併せて使うとよい。

分布の意味

$p=1-r$ を「成功確率」とみれば，$X$ は初めて成功するまでの試行回数（成功を含む）である。標準的な幾何分布の公式 $E[X]=\dfrac1p$，$\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^{2}}$ に $p=1-r$ を代入すると本文の結果と一致する。公式を覚えている場合の検算に使える。

$r=0$ の場合

$r=0$ なら $P(X=1)=1$ で $\mu=1$，$\sigma^{2}=0$。式に代入しても同じ値になり，端点でも整合している。

不変性で確かめる

設問1より $\mu=\dfrac{1}{1-r}$ すなわち $r=1-\dfrac1\mu$ である。最尤推定量の不変性から，$\mu$ の最尤推定量が $\bar X$ であれば $r$ の最尤推定量は $1-\dfrac{1}{\bar X}$ になる。実際に得た答えと一致する。この確認を1行入れると計算違いに気づける。

$\sigma$ を帰無仮説の下で評価する理由

問題文が「$\sigma$ は(1)の結果を帰無仮説の下で評価して得られる値を用いること」と指定している。この分布では平均と分散が同じパラメータ $r$ で決まるので，$H_0$ が正しいとすれば $\sigma$ も定まる。標本から推定した $\hat\sigma$ を使う流儀もあるが，指示に従って $r=0.8$ を代入する。指示を読み落として $\bar X$ から $\hat r=1-1/5.45\approx0.8165$ を作り $\sigma\approx4.94$ とすると $Z\approx1.63$ となって値がずれる。

結論の書き方

「棄却されない」であって「帰無仮説が正しいと証明された」ではない。$\bar X=5.45$ は $\mu=5$ より大きいが，その差はこの標本サイズでは偶然の範囲に収まる，という書き方が正確である。参考までに有意水準10\%（$z=1.645$）なら棄却されるので，判定は水準に依存する。この一言を添えるとよい。

数値の検算

$\sqrt{20/320}$ は $\sqrt{1/16}=1/4$ である。$20/320=1/16$ に気づけば電卓なしで $0.25$ が出る。$0.45/0.25=1.8$ も暗算できる。試験では計算を単純な分数に直してから進めると速い。

この2式の役割

$\sum w_i=0$ は定数項 $\alpha$ を消し，$\sum w_ix_i=1$ は $\beta$ の係数を1にする。この2つがそろって初めて $\hat\beta$ が $\beta$ の不偏推定量になる。設問3の条件も，この2式を $w_i+d_i$ について要求したものにほかならない。

途中式を省かない

$\sum(x_i-\bar x)x_i=\sum(x_i-\bar x)^{2}$ の変形は，$\bar x$ を引いても和が変わらないことを使っている。ここを飛ばすと20点のうち導出分を落とす。

どの仮定をどこで使うか

均一分散 $E[u_i^{2}]=\sigma^{2}$ は各項の分散をまとめるために，無相関 $E[u_iu_j]=0$ は交差項を消すために使う。$x_i$ が非確率であることは $w_i$ を定数として括り出すために使う。答案では「仮定より」と書くだけでなく，どの仮定かを明示すると加点される。

$1/S_{xx}$ という形の意味

$S_{xx}$ は説明変数のばらつきである。$x$ の散らばりが大きいほど傾きの推定精度が上がる。この解釈を1行添えるとよい。

「任意の $\alpha,\beta$ について」が効く

不偏性は真のパラメータの値によらず成り立たなければならない。特定の $\alpha,\beta$ でだけ $E[\tilde\beta]=\beta$ となる条件を書くと誤りになる。恒等式として係数を比較する，という論法を明示する。

定理の名前を書く

(1)から(4)までの流れは，ガウス＝マルコフ定理の証明そのものである。最後に「以上より $\hat\beta$ は最良線形不偏推定量（BLUE）であり，これがガウス＝マルコフ定理である」と1文で締めると，設問の意図を理解していることが伝わる。

交差項が消えるところが山場

$\sum w_id_i=0$ を示すのに設問3の2条件を両方使う。ここを示さずに「交差項は0とする」と書くと大きく減点される。$\bar x\sum d_i$ の項を落とさないよう，$\sum d_ix_i$ と $\sum d_i$ の両方が必要であることを式の上で見せる。

定理が使っていない仮定

証明のどこでも，誤差項が正規分布に従うことは使っていない。均一分散と無相関だけで成り立つのがガウス＝マルコフ定理の要点であり，正規性は $t$ 検定や $F$ 検定の分布を導くときに初めて必要になる。この区別を1行添えると理解が示せる。逆に，均一分散が崩れる（不均一分散）場合や誤差が系列相関をもつ場合には，最小二乗推定量はもはや最小分散ではなくなり，一般化最小二乗法が最良になる。