神戸大 経済学研究科 統計学 2025年度 第Ⅱ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

同時確率の表を作る

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y|X=x)$ より $$\begin{array}{c|cc|c} & Y=1 & Y=2 & \text{計}\\\hline X=0 & 0.5\times0.4=0.20 & 0.5\times0.6=0.30 & 0.5\\ X=1 & 0.5\times0.8=0.40 & 0.5\times0.2=0.10 & 0.5\\\hline \text{計} & 0.60 & 0.40 & 1.0 \end{array}$$ この表を1つ書いておけば，設問2以降はすべてここから読み取れる。合計が1になることも同時に確認できる。

2値変数の分散の公式

$Y$ は1か2しかとらないので $Y-1$ はベルヌーイ変数（成功確率 $0.4$）である。分散は平行移動で変わらないから $\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(Y-1)=0.4\times0.6=0.24$ となり，計算と一致する。この確かめは一瞬でできる。

符号の意味

$X=0$ のとき $Y=2$ となる確率は $0.6$，$X=1$ のとき $Y=2$ となる確率は $0.2$ である。$X$ が大きいほど $Y$ は小さくなりやすいので，共分散が負になるのは自然である。数値を出した後にこの一言を添えると，符号の取り違えを自分で防げる。

相関係数

$\mathrm{Var}(X)=0.5\times0.5=0.25$ なので $$\rho=\frac{-0.10}{\sqrt{0.25\times0.24}}=\frac{-0.10}{\sqrt{0.06}}\approx-0.408 .$$ 問われてはいないが，$|\rho|\le1$ を満たしていることが計算の妥当性の確認になる。

符号に注意

差の分散は $\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)$ である。共分散が負なので $-2\times(-0.10)=+0.20$ となり，分散は独立の場合（$0.49$）より大きくなる。「差なのに引く」と機械的に処理して $0.29$ としないよう，共分散の符号を代入した式を1本残す。

直接計算による検算

$Z=X-Y$ の実現値は，$(X,Y)=(0,1)\to-1$（確率0.20），$(0,2)\to-2$（0.30），$(1,1)\to0$（0.40），$(1,2)\to-1$（0.10）である。よって $P(Z=-2)=0.30$，$P(Z=-1)=0.30$，$P(Z=0)=0.40$。 $$E[Z]=-2(0.30)-1(0.30)+0(0.40)=-0.9,$$ $$E[Z^{2}]=4(0.30)+1(0.30)=1.5,\qquad \mathrm{Var}(Z)=1.5-0.81=0.69 .$$ 公式と一致する。時間があればこの直接計算で確かめておくと確実である。

平均と中央値の位置

$E[X]=0.667a$，中央値 $=0.707a$ で中央値のほうが大きい。密度が右上がりなので分布は左に裾を引き，平均が中央値より小さくなる。この向きを確認しておくと計算違いに気づける。

スケール族であること

$X=aU$（$U$ は $a=1$ のときの分布に従う）と書けるので，平均は $a$ に比例し，分散は $a^{2}$ に比例する。$a=1$ で $E=2/3$，$\mathrm{Var}=1/18$ を求めておけば一般の $a$ には比例で移せる。

数値で確かめる

$\alpha=0.05$ なら $c=\sqrt{0.95}\approx0.9747$，検定力 $=\dfrac{3.05}{4}=0.7625$。$\alpha=0.01$ なら $c=\sqrt{0.99}\approx0.995$，検定力 $=0.7525$。有意水準を下げると棄却限界値が上がり，検定力は下がる。この単調な関係（第1種の過誤と第2種の過誤のトレードオフ）が式にそのまま現れている。

検定力が0.75を下回らない理由

$a=2$ の下では $X$ は $[0,2]$ 上に分布し，$X>1$ となる確率は $1-\dfrac{1}{4}=0.75$ である。$c\le1$ である限り棄却確率は $0.75$ 以上になる。標本が1つしかなくてもこれだけの検定力が出るのは，$H_0$ と $H_1$ で台そのものが $[0,1]$ と $[0,2]$ と大きく違うためである。$X>1$ が観測されたら $H_0$ は確実に誤りだと分かる，という極端な構造がある。

失点しやすい点

「棄却域は右側」と指定されているので，$P(X>c)$ で立式する。$P(X<c)$ としないこと。また検定力は「棄却しない確率」ではなく「棄却する確率」であり，第2種の過誤の確率 $\beta=\dfrac{1-\alpha}{4}$ の余事象である。定義を1行書いてから式を立てると取り違えない。

制約の課し方を式で示す

30点の配点はここに置かれている。「制約を課して推定する」とだけ書かず，$\beta_2=1-\beta_1$ を代入して両辺から $lK_i$ を移項するところまで書く。この変形ができれば，制約付きモデルが通常の単回帰として推定できることが分かる。

$t$ 検定でも可能

制約が1本なので，$\hat\beta_1+\hat\beta_2$ の標準誤差が得られれば $$t=\frac{\hat\beta_1+\hat\beta_2-1}{\mathrm{se}(\hat\beta_1+\hat\beta_2)}$$ による $t$ 検定でもよく，$F=t^{2}$ の関係がある。ただし本問は「制約付き回帰モデル・無制約回帰モデル」の語を使うよう指定されているので，残差平方和による $F$ 検定で答える。

分数のまま計算する

$\dfrac{0.0014\times13}{0.0006}=\dfrac{14\times13}{6}=\dfrac{182}{6}=30.33\ldots$ と，小数を10000倍して整数に直すと暗算できる。電卓が使える試験でも，この形に直しておくと入力ミスに気づける。

自由度を明記する

$F$ の値だけでなく自由度 $(q,\ n-k)=(1,13)$ を書く。設問4で臨界値を引くのに必要であり，ここを落とすと次の設問が続かない。

結論の書き方

「収穫一定ではない」までは言えるが，収穫逓増か逓減かは $F$ 検定だけでは分からない。両側の検定だからである。どちらかを知るには $\hat\beta_1+\hat\beta_2$ の推定値の符号（1より大きいか小さいか）を見る必要がある。この留保を1行添えると精度の高い答案になる。

$F$ 値が大きい理由

$SSR_R=0.002$ に対して $SSR_U=0.0006$ なので，制約を課すと残差平方和が3倍以上に増える。制約が現実と大きく食い違っていることを意味し，$F$ が臨界値を大きく上回るのは自然である。数値の大小がもつ意味を1文書いておくと，計算だけで終わらない。

前提の確認

この $F$ 検定は，誤差項が独立に $N(0,\sigma^{2})$ に従うという正規性の仮定に依存している。問題文にその仮定が明記されているので，答案でも「(2)式の仮定より」と一言触れておくとよい。標本サイズが16と小さいため，大標本近似ではなく厳密な $F$ 分布を使う必要がある点も，この仮定が効いている理由である。