神戸大 経済学研究科 統計学 2026年度 第Ⅰ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

検算

$\int_0^1 2x\,dx=1$，$\int_0^{\infty}e^{-y}\,dy=1$ でいずれも密度の条件を満たす。$X$ は $\mathrm{Beta}(2,1)$，$Y$ は平均1の指数分布である。

台の形も確認する

同時密度が $g(x)h(y)$ の形に分解できても，台が $0<y<x$ のように片方が他方に依存する形だと独立にならない。本問では台が $\{0<x<1\}\times\{0<y<\infty\}$ という長方形なので，分解できることがそのまま独立性を意味する。「密度が積に分解でき，かつ台が長方形である」という2点を書くと，理由として過不足がない。

端点と単調性の確認

$F_X(0)=0$，$F_X(1)=1$，$F_Y(0)=0$，$F_Y(\infty)=1$ でいずれも分布関数の条件を満たす。$Y$ が平均1の指数分布であることは，$F_Y(y)=1-e^{-y}$ の形からすぐ分かる。

定義域の場合分けを省かない

分布関数は実数全体で定義される関数なので，台の外での値（0と1）まで書く。$0\le x\le1$ の部分だけを書いて終わると減点されうる。

独立まで言えること

$\bar X_{12}=\dfrac{X_1+X_2}{2}$ と $X_1-\bar X_{12}=\dfrac{X_1-X_2}{2}$ は，正規変数の線形結合なので同時正規分布に従う。同時正規分布では無相関と独立が同値なので，両者は独立でもある。この一言を添えると，標本平均と残差が独立になるという一般的な性質（$t$ 統計量の分布を導く根拠）につながる。

3つの推定量の比較

$a=n-1$ とすれば不偏推定量（不偏分散），$a=n$ とすれば最尤推定量，$a=n+1$ が平均自乗誤差最小である。$a$ が大きいほど推定値は小さめになるが，分散が減る分だけ全体の誤差は小さくなる。不偏性を犠牲にすると平均自乗誤差が下がる，というバイアスと分散のトレードオフの典型例である。この整理を1段落書くと20点の設問として十分な答案になる。

正規性が必要な箇所

$S/\sigma^{2}\sim\chi^{2}(n-1)$ は正規母集団だから言える。母集団が正規でなければ $E[S^{2}]$ は4次モーメントに依存し，$a=n+1$ という結論も変わる。問題文が「正規母集団」としているのはこのためである。

$p$ 値の意味

$P(|\bar X|>|\bar x|)$ は，帰無仮説が正しいときに，実際に観測されたのと同じかそれ以上に極端な標本平均が得られる確率であり，これが $p$ 値の定義である。設問がこの確率を先に求めさせているのは，$p$ 値と有意水準の比較という検定の本質を確認させるためである。

小数第2位まで

問題文に「小数が出る場合は，小数第2位まで求めなさい」とあるので $0.07$ と答える。標準正規分布表から $\Phi(1.8)=0.9641$ を読み，$1-0.9641=0.0359$，その2倍で $0.0718$ という手順を残しておくと，丸める前の値も示せる。

差の分散で符号を間違えない

$\mathrm{Var}(u_n-u_1)$ は $2\sigma^{2}$ であって $0$ ではない。共分散が0なので交差項が消えるだけで，分散は足し算になる。ここで $\sigma^{2}$ としてしまう誤りが多い。

$\alpha$ が消える条件

分子の係数は $(+1,+1,-1,-1)$ で和が0である。この「係数の和が0」という性質が定数項 $\alpha$ を消し，同時に分母の $D$ が $\beta$ の係数を1に規格化する。設問1の $\hat\beta_1$（係数 $(+1,-1)$）も同じ構造をもつ。この共通点を1行書くと，2つの推定量が同じ考え方でできていることが示せる。

一般形

$\hat\beta=\dfrac{\sum_i c_iy_i}{\sum_i c_ix_i}$（$\sum_i c_i=0$）と書けば，不偏性は自動的に成り立ち，分散は $\dfrac{\sigma^{2}\sum_i c_i^{2}}{(\sum_i c_ix_i)^{2}}$ になる。設問1〜4はこの一般形の2つの特別な場合である。この形を書いておくと，設問5の比較も見通しよくできる。

なぜ $\hat\beta_2$ が有利になるか

$\hat\beta_2$ は誤差項を4つ使うので分子の分散は2倍になるが，分母の $x$ の差が $4\to8$ と2倍になり，2乗されて4倍効く。差し引きで分散は半分になる。もし $x$ の並びが違えば結果は逆転しうる。たとえば $x_3$ が $x_2$ より小さい場合には $D$ が小さくなり，$\hat\beta_2$ が不利になる。この条件依存性に触れると20点の設問として十分である。

最小二乗推定量との比較

どちらの推定量も4点のうち一部の情報しか使っていない。最小二乗推定量の分散は $\dfrac{\sigma^{2}}{\sum_i(x_i-\bar x)^{2}}$ で，この数値では $\bar x=108.5$，$\sum(x_i-\bar x)^{2}=72.25+20.25+72.25+20.25=185$ なので $\dfrac{\sigma^{2}}{185}\approx0.0054\sigma^{2}$ となり，$\hat\beta_2$ よりはるかに小さい。ガウス＝マルコフ定理のとおり，線形不偏推定量の中で最小二乗推定量が最良である。この比較を添えると，簡便法の位置づけがはっきりする。