神戸大 経済学研究科 統計学 2025年度 第Ⅰ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

$X^{2}=X$ を使う

$X$ が0か1しかとらないので $X^{2}=X$ であり，$E[X^{2}]=E[X]=p$ が直ちに分かる。この一手を書くと計算が1行で済む。分散は $p=\tfrac12$ で最大値 $\tfrac14$ をとる。

分散を帰無仮説の下で評価する

母比率の検定では，標準誤差に $p$ が入る。$H_0$ の下で $p=\tfrac12$ を代入するのが標準的な手続きであり，このとき $\mathrm{sd}(\bar X)=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=0.05$ ときれいな値になる。標本比率 $\hat p=0.45$ を使って $\sqrt{0.45\times0.55/100}=0.0497$ とする流儀（ワルド型）もあり，$Z=-1.005$ とほぼ同じ結論になるが，どちらを使ったかを明記する。

結論の書き方

$\bar X=0.45$ は $0.5$ より小さいが，100回の試行では45回程度の差は偶然の範囲である。「$p$ が $\tfrac12$ と異なるとはいえない」と書き，「$p=\tfrac12$ が正しいと証明された」とは書かない。参考までに，同じ比率で $n=1000$ なら $Z=-3.16$ となり棄却される。標本サイズが検定の結論を左右することに触れると理解が示せる。

片側の確率を先に決める

両側で $0.90$ なので，外側に残る確率は $0.10$，片側では $0.05$ である。使うのは上側5\%点 $1.645$ であって，上側10\%点 $1.2816$ でも上側2.5\%点 $1.96$ でもない。この配分を1行書いてから表を引く。

半正規分布

これは半正規分布（half-normal distribution）と呼ばれ，正規分布の密度を正の側だけに折り返して2倍したものである。$\int_0^{\infty}f_Z(z)\,dz=2\times\dfrac12=1$ で密度の条件を満たす。参考までに $E[Z]=\sigma\sqrt{2/\pi}\approx0.798\sigma$ である。

絶対値の変換の一般則

$Y=|X|$ のように1対1でない変換では，密度を直接変換する公式は使えない。分布関数を経由して微分するのが確実である。対称な分布であれば「2倍して正の側だけ」となる，という結論を覚えておくとよい。

分母に入る点の対応を間違えない

信頼区間の下限には大きい臨界値（上側5\%点 $25.00$）が入り，上限には小さい臨界値（上側95\%点 $7.26$）が入る。不等式を $\sigma^{2}$ について解く過程を1行書いておけば，この入れ替わりを自分で確認できる。逆にすると $[15.00,51.65]$ が $[51.65,15.00]$ となって意味をなさない。

区間が非対称になる

点推定値 $s^{2}=25$ に対して，区間は $[15.00,51.65]$ と右に大きく伸びる。カイ2乗分布が右に歪んでいるためであり，平均の信頼区間のように点推定値を中心に対称にはならない。この非対称性に触れると，形の妥当性を理解していることが示せる。

$\bar x=7$ は使わない

母分散の区間推定に標本平均の値は必要ない（自由度が1つ減ることには使われている）。与えられた数値のうち何を使い何を使わないかを見極めるのも出題意図のうちである。

定数項がある場合との違い

定数項があれば $\hat\beta=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^{2}}$ と平均からの偏差で書かれるが，原点を通る回帰では偏差をとらず生の値のまま和をとる。$\bar x$ を引かないことを明示すると，モデルの違いを理解していることが伝わる。

どちらの分散が小さいか

ガウス＝マルコフ定理より，線形不偏推定量の中で最小二乗推定量が最小分散をもつ。したがって $$\frac{\sigma^{2}}{\sum_i x_i^{2}}\le\frac{\sigma^{2}}{n^{2}}\sum_i\frac{1}{x_i^{2}},$$ すなわち $$n^{2}\le\left(\sum_i x_i^{2}\right)\left(\sum_i\frac{1}{x_i^{2}}\right)$$ が成り立つ。これはコーシー＝シュワルツの不等式（$a_i=|x_i|$，$b_i=1/|x_i|$ とすると $\left(\sum a_ib_i\right)^{2}\le\left(\sum a_i^{2}\right)\left(\sum b_i^{2}\right)$ で左辺が $n^{2}$）そのものである。等号が成り立つのは $|x_i|$ がすべて等しいときに限る。問われてはいないが，この確認を書くと理解の深さが示せる。

$\tilde\beta$ が劣る理由

$\tilde\beta$ は各観測値から得られる比 $y_i/x_i$ を単純平均している。$|x_i|$ が小さい観測は $u_i/x_i$ の分散が大きく信頼できないのに，同じ重みで扱ってしまう。最小二乗推定量は $\hat\beta=\sum_i\dfrac{x_i^{2}}{\sum_j x_j^{2}}\cdot\dfrac{y_i}{x_i}$ と書き直せるので，$x_i^{2}$ に比例した重みを付けた加重平均になっている。この対比が，2つの推定量の優劣の本質である。

数値例

$n=2$，$x_1=1$，$x_2=3$ とすると $\mathrm{Var}(\hat\beta)=\dfrac{\sigma^{2}}{10}=0.1\sigma^{2}$，$\mathrm{Var}(\tilde\beta)=\dfrac{\sigma^{2}}{4}\left(1+\dfrac19\right)=\dfrac{10\sigma^{2}}{36}\approx0.278\sigma^{2}$ となり，確かに $\hat\beta$ のほうが小さい。答案に1つ数値例を添えると，不等式の向きを取り違えていないことを示せる。