神戸大 経済学研究科 統計学 2024年度 第Ⅱ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

同分布であることだけを使う

$Z_1$ と $Z_2$ が独立であることは使っていない。同じ分布に従っていれば $E(Z_1^{2})=E(Z_2^{2})$ が言える。式を展開して2乗の差にする一手だけで答えが出る。

一般の形でも確かめられる

$\mathrm{Cov}(Z_1+Z_2,\ Z_1-Z_2)=\mathrm{Var}(Z_1)-\mathrm{Var}(Z_2)$ であり，2つの分散が等しいので0になる。同じ分散をもつ2変数の和と差は常に無相関である，という一般的な事実の特別な場合になっている。

無相関と独立の関係

独立ならば無相関であるが，逆は一般に成り立たない。共分散は線形の関係だけを測る指標であり，この例のように「偶奇が一致する」といった非線形の依存関係は捉えられない。例外は同時正規分布の場合で，そのときに限り無相関と独立が同値になる。この対比を1文書くと，15点の設問として十分な答案になる。

反例の選び方

反例は，同時確率が0になる組を選ぶと最も簡単である。$X$ の端の値（2または12）は実現の仕方が1通りしかないので $Y$ が一意に決まり，矛盾を作りやすい。「$X=2$ ならば $Y=0$ に限る」という一言だけでも独立でないことは示せる。

片側と両側を取り違えない

$H_1:\mu>0$ なので上側だけに棄却域を置く。両側の $1.96$ を使うと誤りである。片側5\%の $1.645$ と両側5\%の $1.96$ は混同しやすいので，仮説の形を確認してから表を引く。

設問2との関係

$T_{16}=\sqrt{16}\times0.39=1.56<1.645$ なので，設問2の片側検定では $H_0:\mu=0$ は棄却されない。信頼区間が0を含むこととも整合する（ただし信頼区間は両側，検定は片側なので，一般には両者の判断が一致するとは限らない）。この対応を1行添えると理解が示せる。

境界の $n=25$ を必ず確かめる

$25.257$ という値が出たとき，$n=26$ と答えるのは正しいが，$n=25$ で条件を満たさないことを1行確かめておくと確実である。$1.96/0.39$ が $5$ をわずかに超えるかどうかが分かれ目で，$1.96/5=0.392>0.39$ という比較で判定できる。

必要標本サイズの考え方

「信頼区間の下限が正」とは，両側95\%の水準で $\mu>0$ と言えるということであり，実質的に必要な標本サイズの設計問題である。一般に，幅を半分にするには標本サイズを4倍にする必要がある（$1/\sqrt n$ に比例するため）。この性質を1文添えると，計算の意味づけになる。

存在条件を書いておく

$S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}\neq0$ という条件を明記しておくと，設問5・6でこの条件が破れる場合を扱う準備になる。この行列式は，2つの説明変数の相関係数を $r_{12}$ とすると $S_{11}S_{22}(1-r_{12}^{2})$ と書けるので，$|r_{12}|=1$ のとき0になる。

「完全でない」多重共線性との区別

$x_1$ と $x_2$ の相関が1ではないが非常に高い場合は，推定自体は可能だが行列式 $S_{11}S_{22}(1-r_{12}^{2})$ が0に近くなり，係数の分散が大きくなる。個々の係数が有意にならない一方でモデル全体の $R^{2}$ は高い，という症状が出る。本問は相関が厳密に1の極端な場合であり，推定そのものができない。この区別を1文添えると10点の設問として十分である。

対処法

完全な多重共線性は，同じ情報をもつ変数を重複して入れたときに起きる。ダミー変数をすべてのカテゴリについて入れつつ定数項も置く「ダミー変数の罠」が典型例である。対処は，片方の変数を落とすか，制約を課して識別することである。