神戸大 経済学研究科 統計学 2024年度 第Ⅰ期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

$a,b$ を使わずに答えられる

どちらも第1列だけで決まるので，$a,b$ の値が分からなくても計算できる。設問3で $a,b$ が定まるが，この設問はそれに依存しないことを確認しておくと，無用な場合分けを避けられる。

$a,b$ が個別に定まらなくても答えが出る

$Y$ の周辺分布に必要なのは $a+b$ だけであり，これは全確率が1という条件から $0.6$ と定まる。「$a,b$ が未知だから求まらない」と書かないこと。$E[Y^{2}]=0.6$（$Y^{2}=Y$）から $\mathrm{Var}=0.6-0.36=0.24$ と計算しても同じである。

1つのセルで決まる理由

$2\times2$ の表では，周辺分布が定まると自由度は1しかない。したがって1つのセルについて独立性の等式を課せば，残りは自動的に決まる。ただし答案では，残りのセルでも成り立つことを1行確認しておくと減点されない。

別の解き方

独立性は $P(X=1|Y=0)=P(X=1|Y=1)$ と同値でもある。設問1で $P(X=1|Y=0)=0.75$ が求まっているので，$P(X=1|Y=1)=\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{b}{0.6}=0.75$ から $b=0.45$，$a=0.15$ と直ちに出る。設問1の結果を使えるこの経路のほうが速い。

上側か下側かを取り違えない

問われているのは $P(W<a)=0.10$ であって $P(W>a)=0.10$ ではない。後者なら $a=\chi^{2}_{0.10}(2)=4.605$ となり，まったく違う値になる。不等号の向きを確認してから表を引く。

$t$ 分布の構成を書く

分子が標準正規，分母がカイ2乗を自由度で割った平方根，かつ両者が独立，という3条件を明示する。この確認を書かずに「$t$ 分布だから」と進めると，15点のうち構成の説明分を落とす。分母の $2$ で割っているのが自由度による割り算にあたる点も指摘しておく。

自由度2の裾の厚さ

標準正規なら上側5\%点は $1.645$ だが，自由度2の $t$ 分布では $2.920$ と大きい。自由度が小さいほど裾が厚く，臨界値が大きくなる。値の妥当性の確認になる。

観測値 $\bar x=3.5$ は検定力に使わない

検定力は「対立仮説が正しいときに棄却する確率」であり，実際に観測された値には依存しない。$\bar x=3.5$ は $3.645$ を下回るので，この標本では帰無仮説は棄却されないが，それは検定力とは別の話である。与えられた数値のうち何が必要かを見極めることも出題意図に含まれる。

検定力が低い理由

$H_0$ と $H_1$ の距離は $1$ で，標準誤差も $1$ である。差が標準誤差1つ分しかないので，$0.26$ という低い検定力しか得られない。標本サイズを $n=16$ にすれば標準誤差は $0.5$ になり，棄却限界値は $2.8225$，検定力は $P(Z>-0.355)\approx0.64$ まで上がる。標本サイズと検定力の関係に触れると，20点の設問として厚みが出る。

片側にする根拠

$H_1:\mu=3$ は $\mu=2$ より大きい特定の値なので，棄却域は右側だけに置く。両側の $1.96$ を使うと棄却限界値が $3.92$ となり，検定力は $P(Z>0.92)\approx0.18$ と下がる。仮説の形から片側・両側を判断する。

バイアスの符号

$X_i>0$ が多い（$\sum X_i>0$）データでは，バイアスの符号は $\beta_0$ の符号と一致する。真の切片が正なら傾きを過大に推定する。原点を通ることを強制された直線が，切片の分を傾きで吸収しようとするためである。図で説明を添えると分かりやすい。

欠落変数バイアスの一種

定数項も1つの説明変数（すべての観測で値が1の変数）と見なせる。したがってこれは，真のモデルに含まれる説明変数を落としたことによる欠落変数バイアスの特別な場合である。一般に，落とした変数の係数と，落とした変数と残した変数の関係の強さの積がバイアスになる。

2つの誤りの非対称性

必要な変数（定数項）を落とすとバイアスが生じるが，不要な変数（定数項）を入れてもバイアスは生じない。前者は「過少定式化」，後者は「過剰定式化」と呼ばれる。この非対称性が第3問全体の主題である。ただし過剰定式化が無害なわけではなく，推定量の分散は大きくなる。実際 $$\mathrm{Var}(\hat\alpha_1)=\frac{\sigma^{2}}{\sum_i(X_i-\bar X)^{2}} \ \ge\ \frac{\sigma^{2}}{\sum_i X_i^{2}}$$ であり（$\sum_i X_i^{2}=S_{XX}+n\bar X^{2}\ge S_{XX}$），真のモデルどおりに定数項なしで推定したときの分散より大きい。効率が落ちるという形で代償を払う。

実務上の含意

バイアスと分散のどちらを重く見るかで，定式化の方針が変わる。バイアスは標本を増やしても消えないが，分散は標本を増やせば小さくなる。したがって迷ったときは変数を入れておくほうが安全とされる。この一言を添えると，計算問題を実際の分析につなげた答案になる。

答案の書き方

(2)と(4)はどちらも「真のモデルを代入して期待値をとる」という同じ手順である。違うのは，どちらのモデルに定数項があるかだけなので，代入した直後の式を丁寧に整理することが得点につながる。特に(4)では $\sum_i(X_i-\bar X)X_i=S_{XX}$ の変形が要になる。