神戸大 経済学研究科 経済理論 2026年度 第Ⅰ期 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

接点条件

限界効用は $\mathrm{MU}_1=\dfrac{1}{2\sqrt{x_1}}$，$\mathrm{MU}_2=\dfrac{3}{2\sqrt{x_2}}$ なので $$\mathrm{MRS}=\frac{\mathrm{MU}_1}{\mathrm{MU}_2}=\frac{\sqrt{x_2}}{3\sqrt{x_1}} .$$ $p_1=1$，$p_2=2$ より $\mathrm{MRS}=p_1/p_2=\tfrac12$ とおくと $$\frac{\sqrt{x_2}}{3\sqrt{x_1}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x_2}=\frac32\sqrt{x_1} \quad\Longrightarrow\quad x_2=\frac94 x_1 .$$

予算制約に代入

$$x_1+2x_2=x_1+2\cdot\frac94x_1=\frac{11}{2}x_1=20 \quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{40}{11},\qquad x_2=\frac94\cdot\frac{40}{11}=\frac{90}{11}.$$ $u$ は各財について狭義凹で無差別曲線は原点に凸なので，接点が最大を与える。

設問2　効用10以上を得るのに必要な最低所得

支出最小化は同じ接点条件

支出最小化でも接点条件 $x_2=\tfrac94x_1$ は変わらない。$a=\sqrt{x_1}$ とおくと $\sqrt{x_2}=\tfrac32a$ なので $$u=\sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2}=a+3\cdot\frac32 a=\frac{11}{2}a .$$ $u=10$ より $a=\dfrac{20}{11}$，すなわち $$x_1=a^{2}=\frac{400}{121},\qquad x_2=\frac94x_1=\frac{900}{121}.$$ 必要な支出は $$x_1+2x_2=\frac{400+1800}{121}=\frac{2200}{121}=\frac{200}{11}.$$

ヒックス需要を求める

効用を $u$ に保ったまま価格 $p_1$（$p_2=2$）に直面する場合，接点条件は $\dfrac{\sqrt{x_2}}{3\sqrt{x_1}}=\dfrac{p_1}{2}$，すなわち $\sqrt{x_2}=\dfrac{3p_1}{2}\sqrt{x_1}$。これを効用の式に入れると $$u=\sqrt{x_1}+3\cdot\frac{3p_1}{2}\sqrt{x_1} =\sqrt{x_1}\left(1+\frac{9p_1}{2}\right) =\sqrt{x_1}\cdot\frac{2+9p_1}{2},$$ $$\sqrt{x_1}=\frac{2u}{2+9p_1} \quad\Longrightarrow\quad x_1^{h}(p_1,u)=\frac{4u^{2}}{(2+9p_1)^{2}} .$$

代替効果の計算

当初の効用水準は $u^{2}=110$（設問2の注より $u=\sqrt{110}$）。 $$x_1^{h}(1)=\frac{4\cdot110}{11^{2}}=\frac{440}{121}=\frac{40}{11}, \qquad x_1^{h}(2)=\frac{4\cdot110}{20^{2}}=\frac{440}{400}=\frac{11}{10}.$$ 代替効果は効用を一定に保った変化分なので $$\Delta x_1^{\text{代替}}=\frac{11}{10}-\frac{40}{11} =\frac{121-400}{110}=-\frac{279}{110}\approx-2.54 .$$

マーシャル需要を一般の $p_1,m$ で求める

接点条件 $\sqrt{x_2}=\dfrac{3p_1}{2}\sqrt{x_1}$ より $x_2=\dfrac{9p_1^{2}}{4}x_1$。予算制約 $p_1x_1+2x_2=m$ に代入すると $$p_1x_1+2\cdot\frac{9p_1^{2}}{4}x_1 =p_1x_1\left(1+\frac{9p_1}{2}\right)=m,$$ $$x_1(p_1,m)=\frac{2m}{p_1\,(2+9p_1)} .$$

所得についての単調性

$p_1>0$ を固定すると分母は $m$ に依存しない正の定数なので $$\frac{\partial x_1}{\partial m}=\frac{2}{p_1(2+9p_1)}>0 .$$ 所得が増えれば財1の需要は必ず増える。したがって財1は正常財であり，劣等財ではない。

ラグランジュ条件

$$\max\ \sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2} \quad\text{s.t.}\quad x_1^{2}+x_2^{2}=1,\ x_1,x_2\ge0 .$$ $\mathcal{L}=\sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2}-\lambda(x_1^{2}+x_2^{2}-1)$ として $$\frac{1}{2\sqrt{x_1}}=2\lambda x_1,\qquad \frac{3}{2\sqrt{x_2}}=2\lambda x_2 .$$ それぞれ $1=4\lambda x_1^{3/2}$，$3=4\lambda x_2^{3/2}$ と書けるので，辺々割って $$3=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad x_2=3^{2/3}x_1 .$$

制約に代入

$$x_1^{2}\left(1+3^{4/3}\right)=1 \quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{1}{\sqrt{1+3^{4/3}}},\qquad x_2=\frac{3^{2/3}}{\sqrt{1+3^{4/3}}} .$$ 数値では $3^{4/3}\approx4.327$ なので $x_1\approx0.433$，$x_2\approx0.901$，このとき $u\approx0.658+2.848=3.506$。

加重限界効用均等

$u=\sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2}+2\sqrt{x_3}$，$p=(1,2,2)$，$m=20$。最適点では各財の1円あたり限界効用が等しい。 $$\frac{1}{2\sqrt{x_1}} =\frac{3}{2\sqrt{x_2}}\cdot\frac12 =\frac{2}{2\sqrt{x_3}}\cdot\frac12 .$$ 第1式と第2式から $\dfrac{1}{2\sqrt{x_1}}=\dfrac{3}{4\sqrt{x_2}}$，すなわち $\sqrt{x_2}=\tfrac32\sqrt{x_1}$，$x_2=\tfrac94x_1$。 第1式と第3式から $\dfrac{1}{2\sqrt{x_1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_3}}$，すなわち $x_3=x_1$。

予算制約

$$x_1+2x_2+2x_3 =x_1+2\cdot\frac94x_1+2x_1 =\frac{15}{2}x_1=20 \quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{8}{3},$$ $$x_2=\frac94\cdot\frac83=6,\qquad x_3=\frac83 .$$

支出関数

財1への支出は $$e(x_1)= \begin{cases} x_1 & (0\le x_1\le 4)\\[2pt] 4+0.5(x_1-4)=2+0.5x_1 & (x_1>4) \end{cases}$$ 予算集合は $\{(x_1,x_2)\ge 0:\ e(x_1)+2x_2\le 20\}$ である。上側の境界は $$x_2= \begin{cases} \dfrac{20-x_1}{2}=10-\dfrac{x_1}{2} & (0\le x_1\le4)\\[6pt] \dfrac{20-(2+0.5x_1)}{2}=9-\dfrac{x_1}{4} & (x_1>4) \end{cases}$$ $x_1=4$ でどちらも $8$ となり連続である。$x_2=0$ となるのは $9-\tfrac{x_1}{4}=0$，すなわち $x_1=36$ のときで，これが財1の最大消費量である。

面積の計算

$$\int_0^{4}\!\left(10-\frac{x_1}{2}\right)dx_1 =\Bigl[10x_1-\frac{x_1^{2}}{4}\Bigr]_0^{4} =40-4=36,$$ $$\int_4^{36}\!\left(9-\frac{x_1}{4}\right)dx_1 =\Bigl[9x_1-\frac{x_1^{2}}{8}\Bigr]_4^{36} =(324-162)-(36-2)=162-34=128 .$$ 合計は $36+128=164$。