広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 一般A（令和5年8月実施・午前） 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

(1) 一次従属性

3つのベクトルは $$u+v+w=(1,-1,0)+(0,1,-1)+(-1,0,1)=(0,0,0)$$ を満たす。しかも係数 $(1,1,1)$ はすべて $0$ ではない。したがって $\{u,v,w\}$ は一次従属である。

(2) $V$ が線形部分空間であること

線形写像 $$\ell:\mathbb R^3\longrightarrow \mathbb R,\qquad \ell(x,y,z)=x+y+z$$ を考えると， $$V=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=0\}=\ker\ell$$ である。線形写像の核は常に線形部分空間だから，$V$ は $\mathbb R^3$ の線形部分空間である。

直接確認してもよい。$p,q\in V$ なら $\ell(p)=\ell(q)=0$ なので $$\ell(p+q)=\ell(p)+\ell(q)=0,\qquad \ell(cp)=c\ell(p)=0$$ であり，和とスカラー倍で閉じている。また $0\in V$ である。

(3) $\{u,v,w\}$ が $V$ を張ること

まず $u,v,w$ はいずれも座標和が $0$ なので $V$ に属する。さらに $w=-(u+v)$ だから， $$\operatorname{span}\{u,v,w\}=\operatorname{span}\{u,v\}$$ である。

任意の $(x,y,z)\in V$ をとる。$x+y+z=0$ より $y=-x-z$ である。そこで $$x u-z v =x(1,-1,0)-z(0,1,-1) =(x,-x-z,z) =(x,y,z)$$ となる。したがって $V$ の任意の元は $u,v$ の線形結合，したがって $\{u,v,w\}$ の線形結合で書ける。

(4) 指定された値をもつ線形変換が存在しないこと

$V$ 上の線形変換 $f$ が $$f(u)=v,\qquad f(v)=w,\qquad f(w)=u+v$$ を満たすと仮定する。ところが $u+v+w=0$，すなわち $w=-(u+v)$ であるから，線形性より $$f(w)=f\bigl(-(u+v)\bigr)=-f(u)-f(v)=-v-w$$ でなければならない。$u+v+w=0$ から $-v-w=u$ なので，線形性が強制する値は $$f(w)=u$$ である。

これは指定値 $f(w)=u+v$ と両立しない。実際，$u=u+v$ なら $v=0$ となるが，$v=(0,1,-1)\ne0$ である。 よってそのような線形変換は存在しない。

(5) $g$ の固有値と固有空間

$V$ は $u,v$ を基底にもつ。実際，(3) で $u,v$ が $V$ を張ることを示し，$au+bv=0$ なら $$(a,-a+b,-b)=(0,0,0)$$ より $a=b=0$ である。

この基底 $\{u,v\}$ に関して $g$ を表す。条件は $$g(u)=v,\qquad g(v)=u$$ であるから，表現行列は $$[g]_{\{u,v\}} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}.$$ 特性多項式は $$\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-1 =(\lambda-1)(\lambda+1)$$ なので，固有値は $$\lambda=1,\ -1$$ である。

$\lambda=1$ の固有空間。 $g(au+bv)=bu+av$ が $au+bv$ に等しい条件は $b=a$ である。よって $$E_1=\operatorname{span}\{u+v\} =\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}.$$ これは $w=-(u+v)$ と同じ直線であり，$g(w)=w$ とも整合する。

$\lambda=-1$ の固有空間。 $g(au+bv)=-(au+bv)$ となる条件は $b=-a$ である。よって $$E_{-1}=\operatorname{span}\{u-v\} =\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}.$$