広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 一般A（令和4年8月実施・午後） 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

(A) 積分の等号条件 (A)(1) 非負数の等号条件

$a,b\ge 0$ で $$|a-b|=a+b$$ が成り立つとする。両辺は非負なので二乗してよく， $$(a-b)^2=(a+b)^2$$ を得る。整理すると $$a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2,\qquad 4ab=0.$$ したがって $a=0$ または $b=0$ である。二乗だけで済ませると符号条件を見落としやすいが，ここでは $a+b\ge 0$ があるので問題ない。

(A)(2) 非負関数の零積分

$g\ge 0$ かつ $\int_{\mathbb R}g(x)\,dx=0$ とする。$m=1,2,\ldots$ に対して $$E_m=\{x\in\mathbb R\mid g(x)\ge 1/m\}$$ とおく。もし $|E_m|>0$ なら $$\int_{\mathbb R}g(x)\,dx \ge \int_{E_m}g(x)\,dx \ge \frac{1}{m}|E_m|>0$$ となり仮定に反する。よって各 $E_m$ は零集合である。さらに $$\{x\mid g(x)>0\}=\bigcup_{m=1}^{\infty}E_m$$ であるから，$g(x)=0$ はほとんどいたる所で成り立つ。

(A)(3) 三角不等式の等号条件

$f^+=\max(f,0)$，$f^-=\max(-f,0)$ とおく。すると $$f=f^+-f^-,\qquad |f|=f^++f^-.$$ また $$A=\int_{\mathbb R}f^+(x)\,dx,\qquad B=\int_{\mathbb R}f^-(x)\,dx$$ とおけば $A,B\ge 0$ で， $$\left|\int_{\mathbb R}f(x)\,dx\right|=|A-B|,\qquad \int_{\mathbb R}|f(x)|\,dx=A+B.$$ 仮定より $|A-B|=A+B$ である。したがって (1) を $A,B$ に適用して，$A=0$ または $B=0$ を得る。

$B=0$ の場合，(2) を $f^-$ に適用して $f^-=0$ がほとんどいたる所で成り立つので，$f\ge 0$ ほとんどいたる所である。 $A=0$ の場合も同様に $f^+=0$ ほとんどいたる所であり，$f\le 0$ ほとんどいたる所である。これで二つのいずれかが示された。

(B) 正則変動型の極限 (B)(1) 対数積分の極限

$t\ge 1$ を固定する。$g$ は有界で，$g(nv)\to p$ が各 $v\in[1,t]$ で成り立つ。したがって有界収束定理より $$\lim_{n\to\infty}\int_1^t \frac{g(nv)}{v}\,dv = \int_1^t \frac{p}{v}\,dv = p\log t = \log(t^p).$$ $t=1$ のときは両辺とも $0$ であり，同じ式に含まれる。

(B)(2) $f(nt)/f(n)$ の極限

定義から $$\frac{f(nt)}{f(n)} = \exp\left(\int_n^{nt}\frac{g(u)}{u}\,du\right).$$ ここで $u=nv$ と置換すると $$\int_n^{nt}\frac{g(u)}{u}\,du = \int_1^t\frac{g(nv)}{v}\,dv.$$ (1) と指数関数の連続性より $$\lim_{n\to\infty}\frac{f(nt)}{f(n)}=e^{\log(t^p)}=t^p$$ である。

(B)(3) 一様上界

$g$ は有界なので，ある $M>0$ を $$|g(u)|\le M\qquad (u\ge 1)$$ となるように取れる。$x\ge 1,\ t\ge 1$ に対して $$\frac{f(tx)}{f(x)} = \exp\left(\int_x^{tx}\frac{g(u)}{u}\,du\right) \le \exp\left(M\int_x^{tx}\frac{du}{u}\right) = t^M.$$ 指数関数の値は常に正だから $$0<\frac{f(tx)}{f(x)}\le t^M$$ が従う。ここで必要なのは $g$ の上からの有界性だけだが，後の優収束では一様な上界としてこの形が便利である。

(B)(4) 積分平均の極限

$u=nv$ と置換すると $$\frac{1}{n f(n)}\int_n^{3n} f(u)\,du = \int_1^3 \frac{f(nv)}{f(n)}\,dv.$$ (2) より integrand は各 $v\in[1,3]$ で $v^p$ に収束する。また (3) より $$0<\frac{f(nv)}{f(n)}\le v^M\le 3^M$$ であり，右辺は $[1,3]$ 上可積分な一様上界である。優収束定理を用いて $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n f(n)}\int_n^{3n} f(u)\,du = \int_1^3 v^p\,dv = \frac{3^{p+1}-1}{p+1}.$$

採点上の注意

(A) の等号条件は三角不等式の等号条件と同じ構造であるが，可積分関数では正負部分に分けて零積分の補題へ戻すのが安全である。(B) は正則変動の基本形で，点ごとの極限だけでは最後の積分極限に進めない。$(3)$ の一様評価を先に作っておくと，優収束定理の適用条件まで自然にそろう。