広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 一般A（令和4年8月実施・午前） 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

方針

(A) は，行列式で階数が落ちる候補を絞り，行の一次関係をそのまま右辺の整合条件に移す問題である。階数が $2$ になった後は，独立な2本の方程式だけを解けばよい。

(B) は $B=(I+A+A^2)/3$ が射影になっていることを見抜くと整理しやすい。$Y$ は $A$ の固定部分，$X$ は固定成分を取り除いた部分である。$X$ 上では $A^2+A+I=0$ が成り立つので，実数上では2次元ずつ回転する成分に分かれる。

典型ミス

• $a=1$ を出した後に，階数が本当に $2$ である確認を落とさないこと。

• 連立方程式の条件は $q=2p+r$ である。第2行が第1行の2倍と第3行の和になっていることを右辺にも反映する。

• $Y$ の元に対して $Ay=y$ となる理由は，$AB=B$ と $By=y$ の2つを使う。ここを省くと固有値 $1$ の結論が弱くなる。

採点上の注意

• 射影の直和分解は $v=(v-Bv)+Bv$ と書くと短く確実である。

• $\dim X$ が偶数である説明では，$J^2=-I$ を作るのが最も安全である。複素固有値の話だけで済ませる場合も，実空間なので共役対で次元が偶数になる点を明記する。

方針

(A) は「微分可能」と「導関数が連続」を混同しないことが大切である。$f'(0)$ は存在するが，$x\to0$ で $-\cos(1/x)$ が振動するため導関数は $0$ で連続ではない。一様連続性は導関数の有界性だけで全域を一発処理しようとせず，原点近くのコンパクト部分と無限遠の部分に分けると安全である。

(B) は極座標と $s=e^{-r^2}$ の置換が本体である。符号を含む積分 $I$ は正負をそのまま計算し，収束判定では絶対値のべきにより無限遠での指数減衰が $e^{-(2+\alpha)r^2}$ に変わる点を見る。

典型ミス

• $f'(0)$ を $-\cos(1/x)$ の振動から存在しないと判断しないこと。原点で見るべきなのは差商 $h\sin(1/h)$ である。

• $\log(1-e^{-r^2})$ は負である。$I$ の計算では符号を落とすと答えが逆になる。

• $I_\alpha$ の原点側は任意の $\alpha$ で収束する。判定を決めるのは無限遠側である。

採点上の注意

• 一様連続性の証明は，コンパクト部分と外側の Lipschitz 評価を明示すれば十分に説得的である。

• 収束判定では，$r\to0$ と $r\to\infty$ の2端点を分けて書く。広義積分なので片方だけの議論では不十分である。

方針

(A) は，内部の定義を「その点を含み集合に含まれる開近傍がある」と言い換えるだけで証明できる。逆方向は，$A$ を開集合に限定すると $\operatorname{Int}A=A$ になるので，連続性の定義に戻る。

(B) は余有限位相の基本性質である。開集合は「空でない限り，補集合が有限」の集合であり，閉集合は「有限集合または全体」である。したがって無限集合はすべて稠密になる。

典型ミス

• (A)(2) で単射や恒等写像を選ぶと等号になりやすい。定数写像と単点集合を使うと差が明確に出る。

• (A)(3) では，任意の部分集合ではなく開集合 $U$ に適用する。$\operatorname{Int}U=U$ として逆像が開くことを示せば十分である。

• 余有限位相で有限集合は閉集合であり，無限集合は閉とは限らない。通常位相の直感で $\mathbb Z$ が閉と判断しないこと。

採点上の注意

• 位相の公理は「全体・空集合」「任意和」「有限交叉」を分けて確認する。

• $\overline{\mathbb Z}=\mathbb C$ の理由は，閉集合の分類から一行で書ける。

• 最後は $f(\overline A)\subset\overline{f(A)}$ を使うと短い。直接証明する場合も，$\mathbb Z$ が稠密で単点集合が閉であることを明示する。