広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 一般A（令和5年8月実施・午後） 院試 過去問 解答例・解説（全9問）

有限性は商へ落として見る

有限指数正規部分群の問題は，商群に移すと有限群のラグランジュの定理だけで片付く。実数加法群では $n(y/n)=y$ と戻せるため，有限指数部分群が存在できない。

行列の位数は最小多項式で制限する

$2\times2$ 有理行列の最小多項式は次数高々 $2$ である。一方，原始 $5$ 乗根の最小多項式は次数 $4$ なので， 位数 $5$ の振る舞いを $2$ 次元有理表現では実現できない。

核は有理係数で見ると尖点の関係式になる

$x=2t^2,\ y=3t^3$ は，定数倍を除けば $X=t^2,\ Y=t^3$ という標準的なパラメータ表示である。 有理係数では関係式は $Y^2-X^3$ だけであり，整数係数へ戻すと $8y^2-9x^3$ になる。

非単項性は最低次数で見る

商環を $\mathbb Z[2t^2,3t^3]$ と見れば，$(2t^2,3t^3)$ を一つの元で生成するには，最低次数 $2$ の元で最低次数 $3$ の元も割る必要がある。しかしこの環には最低次数 $1$ の元がないため，それは不可能である。

本質は二次の Veronese 型写像

この写像は，単位ベクトル $u$ から階数 $1$ の対称行列 $uu^{\mathsf T}$ を作り，その跡成分を除いたものを $5$ 次元空間の座標で表している。$u$ と $-u$ が同じ行列を与えるため，実射影平面に自然に降りる。

はめ込みの確認は行列微分で見る

成分を一つずつ微分して階数を調べるより，$d(uu^{\mathsf T})=uw^{\mathsf T}+wu^{\mathsf T}$ と見る方が短い。 $w\perp u$ を使って右から $u$ を掛けると，微分核が $0$ であることがすぐ分かる。

方針

この問は「図形を知っているか」よりも，基本群やホモロジーを計算できる標準モデルへ落とせるかが重要である。 穴あきトーラスは $2$ セルの関係が消えて $S^1\vee S^1$ になる。連結和は境界円の語を同一視する。 円板貼り付けは，細胞鎖複体で「どの $1$ サイクルが境界になるか」を見ればよい。

採点上の注意

$(2)$ では $\mathbb Z^2$ と答えないこと。$\mathbb Z^2$ はトーラス自身の基本群であり，一点を除くと 交換子関係が外れて自由群 $F_2$ になる。$(4)$ では非向き付け可能閉曲面なので $H_2=0$ である。 ここを向き付け可能曲面の感覚で $\mathbb Z$ とすると大きく失点する。

検算

$(5)$ はオイラー標数でも確認できる。トーラスに $2$ セルを一つ追加するので $\chi(X)=1$ である。 上の答では $$\operatorname{rank}H_0-\operatorname{rank}H_1+\operatorname{rank}H_2=1-1+1=1$$ となり，オイラー標数と一致する。$(4)$ も $\chi(T\#\mathbb{R}P^2)=0+1-2=-1$ で， $H_0=\mathbb Z$，$H_2=0$，$H_1$ の自由ランクが $2$ であることと整合する。

方針

(A) は上半平面で閉じるフーリエ型積分である。$e^{iz}$ は上半平面で $e^{-\operatorname{Im}z}$ の減衰を持つ。 ただし本問では分母が $z^4$ で成長するため，円弧評価は $|e^{iz}|\le 1$ だけでも十分に消える。

検算

被積分関数の実部は $\cos x/(x^4+4)$，虚部は $\sin x/(x^4+4)$ である。虚部は奇関数なので積分は実数になる。 答え $\pi(\sin1+\cos1)/(4e)$ は実数で正であり，この対称性と整合している。

典型ミス

極の位置を $e^{i\pi/4}$ のままにして半径を忘れると，$1+i$ と $-1+i$ を落としやすい。$z^4=-4$ の 解の絶対値は $4^{1/4}=\sqrt2$ である。また (B) では，境界の一部で一致するから直ちに最大値原理を 使うのではなく，有限個の回転で境界全体に零点を作る補助関数 $h$ を導入するのが本問の狙いである。

方針

(A) は「グラフの下側の面積」を横向きに切って積分する問題である。$y$ を固定すると，$f(x)>y$ となる $x$ の範囲がちょうど $g_1(y)<x<g_2(y)$ になる。この幅に $\varphi'(y)$ を掛けて積分するのが核心である。

検算

$f(x)=x(x-1)(x-2)$ は $[0,1]$ で非負であり，最大値は $2/(3\sqrt3)$ である。求めた値 $8/105$ は正で，かつ $f(x)^2\le (2/(3\sqrt3))^2=4/27$ から $\int_0^1 f(x)^2\,dx\le4/27$ と見積もれるので，大きさとしても自然である。

典型ミス

(A)(3) で逆関数 $g_1,g_2$ を三次方程式から明示的に解く必要はない。(2) の公式を使えば，逆関数を 求めずに $x$ 側の積分へ戻せる。(B) では「測度収束なら全点収束」と考えないことが重要である。 可積分性の証明では，まず有界な積分を持つ部分列を取り，さらに概収束する部分列へ落としてから Fatou の補題を使う。

方針

順序統計量の標準問題である。最小値そのものは密度 $n(1-x)^{n-1}$ を持つが，本問では $K_n=k$ という条件が付いているので，最初に $$P(K_n=k,\ X_k\in dx)= (1-x)^{n-1}\,dx$$ を意識すると計算が崩れにくい。$P(K_n=k)=1/n$ で割ることで，条件付き分布に戻せる。

検算

間隔 $Z_n$ の生存関数が $P(Z_n>z)=(1-z)^n$ となるので，$Z_n$ は $\mathrm{Beta}(1,n)$ と同じ分布を持つ。したがって平均は $1/(n+1)$ で，(4) の答えと一致する。また $nZ_n$ の極限が指数分布になるのは，最小値近傍では一様点列が強度 $n$ のポアソン点過程のように見えるためである。

典型ミス

(3) で「$Y_n^{(1)}\le y_1$ かつ $Y_n^{(2)}\le y_2$」を「少なくとも2点が $y_1$ 以下」と読み替えると誤りである。$y_1<y_2$ なので，最小値は $y_1$ 以下，第2小値は $y_2$ 以下であればよい。(5) は分布関数を使って直接示してもよいが，期待値とマルコフの不等式を使うと一行で終わる。分布収束の問題では，$x<0$ で極限分布関数が $0$ になることも明記する。

方針

本問は，両端 $0$ の熱方程式を正弦関数で分解する問題である。$a(t)$ が時間だけに依存しているため，空間方向の固有関数は通常の Dirichlet Laplacian と同じであり，時間方向の係数だけが $$\exp\left\{-\mu_n\int_0^t\frac{ds}{a(s)}\right\}$$ で減衰する。ここで方程式は $a(t)u_t-u_{xx}=0$ なので，減衰率に現れるのは $a(t)$ ではなく $1/a(t)$ である。

検算

$\varphi_n''=-\mu_n\varphi_n$ であり，境界で $\varphi_n=0$ なので，部分積分の境界項は消える。これにより $$c_n'(t)=-\frac{\mu_n}{a(t)}c_n(t)$$ という一次方程式になる。符号が負であることが重要で，ここが正になると熱方程式なのに高周波成分が増幅する不自然な答えになる。

典型ミス

$(A)(2)$ で $\lambda>0$ の指数関数型解を残してしまうミスが多い。両端 Dirichlet 条件を課すと，$\lambda\ge0$ では非自明解は出ない。また $(B)(3)$ では $L^2$ 収束だけを書いて終えると，設問の各点収束には不足する。正弦級数表示と指数減衰の評価を使い，固定した $x$ に対する極限まで明示する。

方針

形状母数 $a$ が既知で，尺度母数 $\theta$ だけを推定する問題である。和の分布は「同じ尺度母数のガンマ分布は形状母数が足し合わされる」という性質で処理する。与えられた特性関数を使うと，この性質を短く正当化できる。

不偏性と平均二乗誤差

クラメール・ラオ下限を達成する不偏推定量は，不偏推定量のクラスの中では分散をこれ以上下げられないという意味で効率的である。しかし (4) では不偏性を要求していない。$c=n/(an+1)$ は $1/a$ より少し小さいので下方にバイアスを持つが，分散を減らす効果が勝ち，平均二乗誤差は $\theta^2/(an)$ から $\theta^2/(an+1)$ に下がる。

典型ミス

ガンマ分布のパラメータ化に注意する。本問の $\theta$ は尺度母数なので，$E(X)=a\theta$，$\operatorname{Var}(X)=a\theta^2$ である。率母数として扱うと最尤推定量もフィッシャー情報量も逆数になってしまう。また (3) の情報量は標本全体 $X=(X_1,\ldots,X_n)$ に対する量なので，$n$ 倍を忘れない。(4) は $\operatorname{MSE}=\operatorname{Var}+\text{bias}^2$ と分けると計算ミスが少ない。