九大 数理学府 数理学コース 基礎科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

方針

「取りうる値を全て挙げよ」という問いなので，必要条件（範囲の評価）と十分条件（実現例）の両方を書く。 評価の核心は，$f$ を $U$ に制限して次元定理を使う一手である。 $U$ は $\operatorname{Im}f$ を含むので $f(U)\subset\operatorname{Im}f$，したがって $\dim f(U)\le 2$ となり， $k=\dim U-\dim f(U)$ が $\dim U$ から高々2だけ小さい値に収まる。 この見方をとると，$W$ と $f$ を動かす自由度が「$r=\dim(W\cap\operatorname{Im}f)$」と「$\dim f(U)$」の 2つに整理され，表のように系統的に例を作れる。

下限が1になる別の見方

制限写像を使わずに，次元公式 $$\dim(U\cap\operatorname{Ker}f)=\dim U+\dim\operatorname{Ker}f-\dim(U+\operatorname{Ker}f)$$ から出すこともできる。$W\subset U$ より $\dim U\ge 3$，また $U+\operatorname{Ker}f\subset V$ より $\dim(U+\operatorname{Ker}f)\le 7$ だから $$k\ \ge\ 3+5-7=1 .$$ 上限は $U\cap\operatorname{Ker}f\subset\operatorname{Ker}f$ から直ちに $k\le 5$ である。 どちらの筋でもよいが，等式をまず書いてから不等式に落とすと，どの項をどう評価したかが明確になる。

実現例の作り方

2つの極端な $f$ を用意するのが早い。$f_1$ は $\operatorname{Im}f\cap\operatorname{Ker}f=0$ の射影型で， $U$ の中の $\operatorname{Im}f$ 部分がまるごと核の外に出るため $k$ が小さくなる。 $f_2$ は $\operatorname{Im}f\subset\operatorname{Ker}f$ のべき零型（$f_2^2=0$）で， $W$ も核の中に取れば $U$ 全体が核に入り $k$ が最大になる。 そのうえで $W$ を $\operatorname{Im}f$ にどれだけ重ねるか（$r$）で1ずつ動かす。

検算

表の各行で $k=\dim U-\dim f(U)$ と，直接計算した $U\cap\operatorname{Ker}f$ の次元が一致している。 また，どの行でも $\dim U-2\le k\le\min\{\dim U,\ 5\}$ が成り立ち，先に導いた範囲と矛盾しない。 $k=5$ の行では $U=\operatorname{Ker}f_2$ となり，上限にちょうど達している。

失点しやすい点

第一に，$V=\operatorname{Im}f\oplus\operatorname{Ker}f$ を暗黙に仮定してしまう誤りが多い。 $f\colon V\to V$ であっても像と核が直和になるとは限らず（$f^2=0$ の例がその反例）， これを仮定すると $k=4,5$ が抜け落ちる。 第二に，$W\cap\operatorname{Im}f=0$ と決めつけると $k=1,2$ が抜ける。 $W$ は任意の3次元部分空間なので，$\operatorname{Im}f$ を含んでしまう場合も考える。 第三に，答えは値の集合であるから，例を1つ挙げただけでも，範囲の評価だけでも完答にならない。

この設問が試していること

次元定理を，写像そのものではなく適切に選んだ部分空間への制限に対して使えるかどうか， および，次元だけが指定された抽象的な条件に対して具体的なモデルを構成できるかどうかである。

方針

$A=2E+J$ と見抜けるかどうかで所要時間が変わる。この形なら $Ax=2x+s(x)\mathbf 1$ の1行で像が書け，行列の積を成分ごとに計算する必要がない。 固有値も，$J$ が「成分和の方向に3倍，成分和0の平面上で0倍」であることから $5$ と $2$（重複度2）と即座に出る。特性多項式を展開してもよいが， 3小問すべてでこの表示が効くので，最初に書いておくと得である。

(1) は必要条件と十分条件を分ける

$Ae_1\in W$ から $\alpha=1$ が必要と出た段階で答えを書いてしまう答案が多い。 不変性の定義は「$W$ のすべての元の像が $W$ に入る」で， 生成元 $e_1,e_2$ の像が両方とも $W$ に入ることと同値である。 $\alpha=1$ のとき $Ae_2\in W$ も成り立つことを確かめる1行を必ず添える。 なお $e_2$ の像から先に条件を立てると $\alpha$ について2つの条件が出るので， $e_1$ の側から始めるほうが計算が短い。

(3) の構造

求める形は，$\mathbb R^3=W\oplus\langle p_3\rangle$ という $f$-不変な分解に対応している。 左上の $2\times2$ ブロックが $W$ 上の $f$ の表現行列，右下の $1\times1$ ブロックが $\langle p_3\rangle$ 上の作用（固有値）である。 ブロックの外側が0であることは，$W$ と $\langle p_3\rangle$ がともに不変であることと同じ意味なので， 「$p_3$ は固有ベクトル」という条件が自動的に出てくる。 $\lambda$ が2に限ることまで示すと，答えの一意性を押さえた答案になる。

検算

相似変換でトレースと行列式は変わらない。 $\operatorname{tr}A=3+3+3=9$ に対し，ブロック分解後の対角和は $\tfrac72+\tfrac72+2=9$ で一致する。 行列式は $\det A=3(9-1)-1(3-1)+1(1-3)=24-2-2=20$， 一方 $\bigl(\tfrac72\cdot\tfrac72-\tfrac32\cdot\tfrac32\bigr)\cdot 2=(12.25-2.25)\cdot 2=20$ で一致する。 さらに $2\times2$ ブロックの固有値は $\tfrac72\pm\tfrac32=5,\,2$ であり， これは $W$ が固有値5の $\mathbf 1$ と固有値2の $(1,0,-1)^{\mathsf T}$ を1本ずつ含むことと整合する。

失点しやすい点

表現行列を行に並べて転置してしまう誤りが典型だが，この問題では $2\times2$ ブロックが対称なので (2) では表面化せず，(3) の $P$ の取り方で初めて食い違う。定義を1行書いてから並べる。 また，$p_3$ を固有値5の $\mathbf 1$ に取ると $P$ が正則にならない。 $\mathbf 1\in W$ であることは $\tfrac12e_1+\tfrac12e_2$ と書けば一目で分かるので， 候補を挙げたら必ず $W$ に入っていないかを確かめる。 $p_3=(1,0,-1)^{\mathsf T}$ も固有値2の固有ベクトルだが $W$ に入るので不可である。

方針

被積分関数の特異性は $t=0$ の近くにしかないので，そこでの $f$ の値 $f(0)$ を定数として括り出し， 残りを連続性で小さく抑える，という定石で進む。 括り出した部分 $x\int_x^1 t^{-2}dt=1-x$ は正確に計算できるので，これが極限の値をそのまま与える。 「主要項は厳密に計算し，差だけを評価する」という形は，特異積分や漸近展開で繰り返し現れる。

評価の順序

$\varepsilon$ を取る $\to$ それに応じて $\delta$ を固定する $\to$ その後で $x\to+0$，という順序が要である。 第2項の係数 $2M/\delta$ は $\delta$ に依存して大きくなりうるが，$\delta$ を先に固定してしまえば $x\to+0$ で消える定数倍にすぎない。 $\delta$ を $x$ に連動させて動かすと，この項が制御できなくなる。

別解（ロピタルの定理）

$$I(x)=\frac{\displaystyle\int_x^1 \frac{f(t)}{t^2}dt}{1/x}$$ と分数の形に直し，微分積分学の基本定理から $$\frac{d}{dx}\int_x^1\frac{f(t)}{t^2}dt=-\frac{f(x)}{x^2}, \qquad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac1x\Bigr)=-\frac1{x^2}$$ なので，比は $f(x)\to f(0)$ となる。ただしロピタルの定理を使うには分子が発散する （$\infty/\infty$ 型である）ことが必要で，これは $f(0)\ne0$ のときにしか保証されない。 実際 $f(t)=t^2$ なら分子は $1-x$ で有界である。 したがってこの筋で書くなら $f(0)=0$ の場合を別に処理する必要があり， 場合分けの要らない上の直接評価のほうが答案としては安全である。

検算

具体例で結果を確かめる。 $f\equiv1$ なら $I(x)=1-x\to1=f(0)$。 $f(t)=t$ なら $I(x)=x\int_x^1 dt/t=x\log(1/x)\to0=f(0)$ で， このとき積分自体は $\log(1/x)$ の程度で発散しているが，$x$ を掛けると消える。 $f(t)=t^2$ なら $I(x)=x(1-x)\to0=f(0)$。 $f(t)=1+t$ なら $I(x)=(1-x)+x\log(1/x)\to1=f(0)$。 いずれも極限が $f(0)$ に一致し，しかも「$f(0)\ne0$ のときだけ積分が $1/x$ の程度で発散する」 という構造も見える。

失点しやすい点

第一に，$\int_x^1 f(t)t^{-2}dt$ が $x\to+0$ で有限に留まると思い込み， $0\times(\text{有限})=0$ と結論する誤り。上の例のとおり，一般には発散する。 第二に，$f$ に微分可能性や単調性を仮定してしまう誤り。 使ってよいのは連続性から従う有界性（最大値の定理）と，$t=0$ での連続性だけである。 第三に，平均値の定理を使って $\int_x^1 f(t)t^{-2}dt=f(\xi)\int_x^1 t^{-2}dt$ と書く積分の平均値の定理は， 重み $t^{-2}$ が符号一定なので形式的には使えるが，$\xi=\xi(x)$ が $x\to+0$ で0に近づくことを 別に示さなければ結論に届かない。上の評価はその部分を明示的にやっている。

この設問が試していること

仮定として与えられているのが連続性だけという状況で， 極限操作の順序と一様な評価を自分で設計できるかどうかである。 定理の機械的な当てはめではなく，どこに特異性があり，そこで何が効くのかを見極める力を見ている。

方針

(1)(2) は同じ評価 $|\sin(mx)/m^2|\le1/m^2$ から出る。 違いは「$x$ を固定してから評価する」か「$x$ について一様に評価する」かだけで， 右辺が $x$ に依らないことを一言書けば (1) から (2) へ渡れる。 (3) は，項別微分すると $\sum_{m}\cos(mx)/m$ となり $x=0$ で調和級数になって発散する， という見立てが出発点である。これを厳密な議論にするには， $\sum_{m\le N}1/m\approx\log N$ という有限和の評価に置き換える。

(3) の分割点の選び方

$N=\lfloor1/x\rfloor$ とするのは，$mx\le1$ すなわち $\sin(mx)$ が $mx$ と同程度の大きさで 正であり続ける範囲を，ちょうど全部拾うためである。 この範囲の寄与は $\frac2\pi x\sum_{m\le N}1/m\approx\frac2\pi x\log(1/x)$， 残りの寄与は絶対値で $1/N\approx x$ 以下。両者を $x$ で割ると，前者は $\log(1/x)$ で発散し， 後者は定数で抑えられるので差が発散する。 分割点を $1/x$ よりずっと小さく取ると主要項の対数が足りなくなり， ずっと大きく取ると $\sin(mx)$ の符号を制御できなくなる。

使う不等式

Jordan の不等式 $\sin u\ge (2/\pi)u\ (0\le u\le\pi/2)$ は，$\sin u/u$ が $[0,\pi/2]$ で単調減少し 端点 $u=\pi/2$ で $2/\pi$ になることから従う。 定数の値は結論に影響しないので，$\sin u\ge u-u^3/6\ge\frac56 u\ (0<u\le1)$ で代用してもよい。 調和和の下からの評価 $\sum_{m=1}^{N}1/m\ge\log(N+1)$ は， $1/m\ge\int_m^{m+1}dt/t$ を $m=1,\dots,N$ で足すだけで得られる。

背景

$0<x<2\pi$ では $\sum_{m\ge1}\cos(mx)/m=-\log\bigl(2\sin(x/2)\bigr)$ が知られており， これを積分すると $f(x)=\int_0^x-\log\bigl(2\sin(t/2)\bigr)dt$ となる。 原点近くでは $2\sin(t/2)\approx t$ だから $f(x)\approx\int_0^x\log(1/t)\,dt=x\bigl(\log(1/x)+1\bigr)$， すなわち $f(x)/x\approx\log(1/x)+1$ である。 本問で得た下界 $\frac2\pi\log(1/x)-2$ は，係数 $2/\pi\approx0.64<1$ の分だけ弱いが 発散の速さの型は一致しており，評価が的を外していないことの確認になる。 この事実は解答には不要である。

失点しやすい点

(2) で「各 $f_n$ が連続で $f_n\to f$ だから $f$ も連続」と書くのは誤りである。 各点収束だけでは連続性は保たれない（$[0,1]$ 上の $x^n$ が反例）。一様収束を明示する。 (3) で「項別微分すると $\sum 1/m$ が発散するから $f'(0)=\infty$」と書くのも論証にならない。 項別微分が許されるのは微分した級数が一様収束する場合で，ここでは成り立たない。 また，下からの評価では $m>N$ の項が負になりうることを忘れず， 絶対値で押さえた誤差項として扱う必要がある。

答案の分量

(1)(2) はそれぞれ5〜8行で十分であり，(1) の評価を (2) で再利用する形にすると短くまとまる。 残りの紙面を (3) に充て，分割点の取り方，前半の不等式，後半の誤差評価，最後の合成の 4段をはっきり分けて書くと採点者が追いやすい。