九大 数理学府 数理学コース 基礎科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

方針

公式として覚えていても証明にはならない。定義（置換による展開）に戻る，積の微分法則を1回使う，和の順序を入れ替える，の3手で終わる。答案では「有限和・有限積だから項別微分と順序交換が正当である」と一言添えると論理の穴がなくなる。

検算（$n=2$ で確かめる）

$$\frac{d}{dx}\bigl(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\bigr) =\bigl(a'_{11}a_{22}-a'_{12}a_{21}\bigr)+\bigl(a_{11}a'_{22}-a_{12}a'_{21}\bigr)$$ であり，右辺の第1項は第1行を微分した行列式，第2項は第2行を微分した行列式である。公式の形と一致する。

別の見方（多重線形性）

$\det$ は行ベクトル $r_1,\dots,r_n$ の $n$ 重線形交代形式である。この立場では，差分 $\det\bigl(r_1(x+h),\dots,r_n(x+h)\bigr)-\det\bigl(r_1(x),\dots,r_n(x)\bigr)$ を「1行ずつ $x$ から $x+h$ に取り替える」伸縮和に分解し，各段で線形性を使って $h\to0$ とすればよい。得られる構造は上と同じで，「1行だけ微分したものの和」という形は多重線形性の帰結だとわかる。

典型ミス

$\det(A)'=\det(A')$，つまり全成分を同時に微分した行列の行列式にしてしまう誤り。上の $n=2$ の計算がすでに反例になっている（一般に $a'_{11}a'_{22}-a'_{12}a'_{21}$ とは一致しない）。

方針

「行を1つ微分すると次の行になる」という階段状の構造がこの行列の急所である。設問(1) を適用すると，$k\le n-1$ の項は行が重なって消え，最後の $k=n$ の項だけ別の理由（次数の仮定）で消える。

次数の仮定が効く場所

$(n-1)$ 次以下という仮定は (ii) の1か所でしか使わない。逆に言えば，そこを外すと結論は崩れる。$n=2$，$p_1(x)=1$，$p_2(x)=x^2$ とすると $$\det\begin{pmatrix}1&x^2\\0&2x\end{pmatrix}=2x$$ となり定数ではない（$p_2$ が $n-1=1$ 次以下でない）。答案にこの一言を添えると，仮定を使った位置がはっきりする。

定数の正体

$p_j(x)=\sum_{k=0}^{n-1}c_{jk}x^{k}$ と書くと $p_j^{(i-1)}(0)=(i-1)!\,c_{j,i-1}$ だから，$x=0$ を代入して $$w=\Bigl(\prod_{k=0}^{n-1}k!\Bigr)\det\bigl(c_{jk}\bigr)_{1\le j,k\le n}$$ となる（$k$ は $0$ から $n-1$ まで動く列番号）。したがって $w\ne0$ であることと $p_1,\dots,p_n$ が一次独立であることは同値であり，この行列式は「$(n-1)$ 次以下の多項式の空間で基底をなすか」を測る量だとわかる。設問(3) の検算にも使える。

典型ミス

$w'$ の各項を「行列式だから 0」とまとめて処理しない。(i) は同じ行が2つ現れるから，(ii) は行が零になるからで，理由が異なる。また，「導関数が 0 だから定数」と言うには定義域が区間であることが要る（ここでは $\mathbb R$ 全体なので問題ない）。

方針

設問(2) で定数性が保証されているので，「どの点で計算してもよい」という自由度を使うのがこの設問の要点である。$x=0$ では2階・3階の微分係数が定数項だけで決まり，0 が多く現れるので計算が最も軽い。

検算1（係数行列による公式）

設問(2) の解説で得た $w=\bigl(\prod_{k=0}^{n-1}k!\bigr)\det C$ を使う。ここで $\prod_{k=0}^{3}k!=1\cdot1\cdot2\cdot6=12$，第 $j$ 行に $p_j$ の $x^0,x^1,x^2,x^3$ の係数を並べた行列は $$C=\begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 3&0&1&0\\ 5&0&0&2\\ 2&3&0&0 \end{pmatrix}$$ である。第2列は第4行以外が 0 だから $$\det C=3\cdot(-1)^{4+2}\begin{vmatrix}1&1&1\\3&1&0\\5&0&2\end{vmatrix} =3\cdot\bigl(2-6-5\bigr)=3\cdot(-9)=-27$$ となり，$12\cdot(-27)=-324$ で一致する。

検算2（別の点で計算する）

定数性そのものを確かめるには $x=1$ で計算すればよい。微分係数を並べると $$\begin{vmatrix} 3&4&7&5\\ 5&2&6&3\\ 8&2&12&0\\ 6&0&12&0 \end{vmatrix}$$ となり，第4列に沿って展開すると第1項の3次行列式が 0 になるため，値は $3\cdot(-108)=-324$ で同じである。値が一致しなければ微分係数の計算ミスが疑える。

失点しやすい点

「定数だから $x=0$ でよい」と書く前に，次数がすべて $3$ 次以下であること，すなわち設問(2) の仮定がみたされていることを必ず確認する。この一行がないと論理が飛ぶ。計算面では，0 の多い行（ここでは第2行）を選んで展開しないと4次の行列式を正面から展開することになり，符号ミスが増える。

方針

与えられているのは「行列がみたす等式」だけである。等式をそのまま多項式 $f$ に読み替え，その根の様子を調べる，という一本道でよい。示すべきことは $f$ が重根をもたないことに尽きる。

固有値がどうなるか

$\lambda$ が $A$ の固有値で $v\ne0$ を固有ベクトルとすると $A^mv=\lambda^mv$ かつ $A^mv=Av=\lambda v$ だから $\lambda^m=\lambda$，すなわち $\lambda\bigl(\lambda^{m-1}-1\bigr)=0$。固有値が $0$ と 1 の $(m-1)$ 乗根に限られることは，このように直接も確かめられる。ただし「固有値がこれらに限る」だけでは対角化可能の証明にはならない。

具体例

$m=2$（$A^2=A$）は射影行列で，$\mathbb C^n=\ker A\oplus\ker(A-I_n)$ と分解し，固有値 $0,1$ で対角化される。$m=3$（$A^3=A$）なら固有値は $0,1,-1$ のいずれかになる。いずれも上の一般論の特別な場合である。

典型ミス

「$f(A)=O$ となる多項式があるから対角化可能」と書くのは誤りである。重根をもたないことの確認が証明の本体で，そこを落とすと点にならない。たとえば $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ は $f(t)=t^2$ に対して $f(A)=O$ をみたすが対角化可能でない。

方針

仮定は「$v$ が生成する軌道が $n$ 段だけ続いてから消える」という形をしている。まずそこから基底を作り，基底の上で $B^n=O$ を確かめて冪零性に持ち込む。結論が「不可能」なので，対角化可能と仮定して矛盾を導く背理法が書きやすい。

一次独立を示す定石

係数の最小添字 $j$ をとり，$B^{\,n-1-j}$ を掛けて他の項を $0$ にする，という手順は冪零作用素の議論で繰り返し現れる。掛ける冪の指数を $n-1-j$ と決める根拠は，「残したい項 $c_jB^jv$ をちょうど $B^{\,n-1}v$ に運ぶ」ことにある。

最小多項式で見る

$B^n=O$ より最小多項式は $t^n$ を割り切る。一方 $B^{\,n-1}v\ne0$ なので $B^{\,n-1}\ne O$，したがって最小多項式は $t^{n}$ そのものである。$n\ge2$ だから重根をもち，設問(1)(3) と同じ判定条件から直ちに対角化不可能が出る。3つの設問を1つの道具でそろえて書けると答案が締まる。

典型ミス

「$B^n=O$ だから固有値は $0$ だけ，よって対角化できない」で止めると誤りである。零行列も固有値は $0$ だけだが対角化可能なので，$B\ne O$ を示す一行が必ず要る。ここで $n\ge2$ という条件が効いている。

仮定「$1$ を固有値にもたない」の使いどころ

$D-I_n=(C+I_n)^2$ だから，$D$ の固有値 $d$ に対する方程式は $(t+1)^2=d-1$ である。$d=1$ のときだけこれが重根 $t=-1$ をもち，議論が破れる。この一点を除くために仮定が置かれている，という読み方ができると見通しがよい。

仮定を外すと成り立たない

$n=2$，$C=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ とすると $(C+I_2)^2=O$ だから $$D=(C+I_2)^2+I_2=I_2$$ である。$D=I_2$ は対角化可能だが固有値 $1$ をもち，一方 $C$ は固有値 $-1$ の2次ジョルダン細胞なので対角化可能でない。すなわち「$D$ が対角化可能」という条件だけからは $C$ の対角化可能性は従わず，固有値 $1$ を除く仮定が本質的である。

別解（固有空間に分けて考える）

$C$ と $D=g(C)$ は可換だから，各固有空間 $V_j=\ker(D-d_jI_n)$ は $C$-不変である。$D$ は対角化可能なので $\mathbb C^n=\bigoplus_{j}V_j$ と分解する。$V_j$ 上では $(C+I_n)^2=(d_j-1)I$ が成り立ち，$d_j\ne1$ だから $t^2+2t+2-d_j$ は相異なる2根をもつ。よって $C|_{V_j}$ は各 $V_j$ で対角化でき，全体としても対角化できる。最小多項式を使う本解と，結局は同じことを別の言葉で述べている。

典型ミス

「$D$ が対角化可能なら $C$ も対角化可能」と一般論として述べてしまう誤り。上の反例のとおり正しくない。また，$\sqrt{d_j-1}$ の符号の取り方に悩む必要はない。どちらを取っても $\{-1+\sqrt{d_j-1},\,-1-\sqrt{d_j-1}\}$ という2元集合は変わらず，議論に必要なのは「2根が相異なる」ことだけである。

方針

「多項式的増大 $\times$ 等比的減少」では等比が勝つ，という事実を，数列の比 $a_{n+1}/a_n$ の極限が $1$ より小さいことから示すのが最短である。極限が存在することを問われているので，値が $0$ であることまで書けば十分である。

別解（対数をとる）

$0<x<1$ では $$\log a_n=\alpha\log n+n\log x$$ であり，$\log x<0$ だから $n\log x$ が支配して $\log a_n\to-\infty$，したがって $a_n\to0$。$\alpha$ が整数でなくても使え，比の評価より短く書ける。

端点を分けて扱う理由

$x=1$ では $a_{n+1}/a_n\to1$ となり，上の比の議論はそのままでは使えない。もっとも $f_n(1)=0$ は代入で分かるので，端点は最初に片づけておくのがよい。$x=0$ も同様である。

設問(2) への布石

極限関数 $f\equiv0$ は連続である。したがって「極限関数が不連続だから一様収束しない」という定番の論法はここでは使えない。(2) では $\sup$ を実際に評価する必要がある。

最大値を求めずに済ませる書き方

十分性だけなら，$(1+1/n)^{-n}\le1$ より $$M_n\le\frac{n^{\alpha}}{n+1}\le n^{\alpha-1}$$ であり，$\alpha<1$ なら $M_n\to0$ が出る。必要性は $x=1-\frac1n$ を代入して $$f_n\!\left(1-\frac1n\right)=n^{\alpha-1}\left(1-\frac1n\right)^{n} \longrightarrow \begin{cases} e^{-1} & (\alpha=1)\\ +\infty & (\alpha>1) \end{cases}$$ とすればよい。最大点を厳密に求めなくても結論は出るので，時間が足りないときはこの経路が速い。

図で見る

次の図は $\alpha=1$（境界の場合）の $f_n$ を $n=1,3,10$ について描いたものである。山の位置 $x_n=n/(n+1)$ は右端 $x=1$ に近づき，山の高さ $M_n$ は $e^{-1}$ に近づく。各点では $0$ に収束しているのに「どの $n$ でも高さ $e^{-1}$ 程度の山がどこかに残る」という状況が見える。一般の $\alpha$ では山の高さがおよそ $n^{\alpha-1}$ 倍の速さで変わるので，$\alpha<1$ なら山ごと沈み，$\alpha>1$ なら山が高くなっていく。

境界 $\alpha=1$ の扱い

「必要十分条件」を求めよという設問なので，$\alpha=1$ を含めるかどうかを判定しないと答えにならない。$M_n\to e^{-1}\ne0$ を計算して除外する，という一手間が採点の分かれ目になる。$\alpha\ge0$ という条件が与えられているので，答えは $0\le\alpha<1$ と書くのが丁寧である。

典型ミス

各点収束することから一様収束を結論してはならない。また $[0,1]$ がコンパクトで $f_n$ も $f$ も連続だからディニの定理が使える，と考えるのも誤りである。ディニの定理には $\{f_n\}$ が各点で単調な列であるという仮定が必要だが， $$\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\left(1+\frac1n\right)^{\alpha}x$$ は $x$ によって $1$ より大きくも小さくもなり，単調ではない。

この設問が試していること

「各点収束と一様収束の違いを，$\sup$ の計算という形で扱えるか」である。最大点が定義域の内部を動いて端に逃げるとき，各点では収束しても一様収束が壊れる。同じ構造は $f_n(x)=nxe^{-nx}$（最大値 $e^{-1}$）や $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$（最大値 $1/2$）といった標準例にも現れる。最大値を求めて $\sup$ を評価する手順は身につけておきたい。

方針

最初の一手とその理由。

検算

数値代入・極限・境界値などによる確認。

失点しやすい点

よくある誤りと、答案に明示すべき前提。