東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2022年実施 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1(1)

$\log(1+x)$ を $x=0$ のまわりで展開すると， $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)$$ である。したがって分子は $$x-\log(1+x) =\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4)$$ となるから， $$\lim_{x\to 0}\frac{x-\log(1+x)}{x^2} =\frac12.$$

問1(2)

$x,y,z>0$ より，$xy,yz,zx$ は正である。相加相乗平均の不等式を $$\frac{xy+yz+zx}{3}\geq \sqrt[3]{(xy)(yz)(zx)} =(xyz)^{2/3}$$ に適用すると， $$(xyz)^{2/3}\leq \frac{k^2}{3}.$$ よって $$xyz\leq \left(\frac{k^2}{3}\right)^{3/2} =\frac{k^3}{3\sqrt{3}}.$$ 等号成立条件は $xy=yz=zx$ であり，正の範囲では $x=y=z$ を意味する。 このとき $3x^2=k^2$ だから $x=y=z=k/\sqrt3$ で，上の値は実際に達成される。

問2(1)

$$f(t)=\int_0^t e^{-\tau}\cos\omega\tau\,\mathrm d\tau$$ なので，$f(0)=0$ かつ $$f'(t)=e^{-t}\cos\omega t$$ である。ラプラス変換を $F(s)=\mathcal L[f](s)$ と書くと， $$\mathcal L[f'](s)=sF(s)-f(0)=sF(s).$$ また $$\mathcal L[e^{-t}\cos\omega t](s) =\frac{s+1}{(s+1)^2+\omega^2}.$$ したがって $$F(s)=\frac{s+1}{s\{(s+1)^2+\omega^2\}}.$$

問2(2)

$t\to\infty$ での値は収束積分 $$\int_0^\infty e^{-\tau}\cos\omega\tau\,\mathrm d\tau$$ である。複素指数を使うと $$\int_0^\infty e^{-\tau}\cos\omega\tau\,\mathrm d\tau =\operatorname{Re}\int_0^\infty e^{-(1-i\omega)\tau}\,\mathrm d\tau =\operatorname{Re}\frac{1}{1-i\omega} =\frac{1}{1+\omega^2}.$$

問3(1)

高さは $h(1-x-y)$ であり，体積に寄与するには $1-x-y\geq 0$ が必要である。 さらに $x\geq0,\ y\geq0$ の部分では，底面は三角形 $$x\geq0,\qquad y\geq0,\qquad x+y\leq1$$ になる。この三角形は単位円内に含まれるので，求める体積は $$V_1=h\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx.$$ 内側を計算して $$\int_0^{1-x}(1-x-y)\,\mathrm dy =\frac{(1-x)^2}{2}$$ より， $$V_1=\frac{h}{2}\int_0^1(1-x)^2\,\mathrm dx =\frac{h}{6}.$$

問3(2)

全体の底面は，単位円板から第1象限のうち $x+y>1$ の円弧部分を除いた領域である。 単位円板全体での積分は対称性から $$\iint_{x^2+y^2\leq1}(1-x-y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\pi.$$ 一方，第1象限の単位四分円での積分は $$\frac{\pi}{4}-\frac13-\frac13=\frac{\pi}{4}-\frac23,$$ 三角形 $x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq1$ での積分は問3(1)の $h$ を除いた値 $\frac16$ である。したがって除かれる円弧部分での積分は $$\left(\frac{\pi}{4}-\frac23\right)-\frac16 =\frac{\pi}{4}-\frac56.$$ この部分では $1-x-y<0$ であるため，これを除くと全体の体積は $$V_2 =h\left\{\pi-\left(\frac{\pi}{4}-\frac56\right)\right\} =h\left(\frac{3\pi}{4}+\frac56\right).$$