京大 理学研究科 数学・数理解析専攻 基礎科目 2027年度 院試 過去問 解答例・解説（解説7項目）

原題の行列を$A$とします。実数上で対角化するには、固有値が実数で、重複する固有値にも重複度に等しい次元の固有空間が必要です。

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-2a&1&2\\3a&3&2\end{pmatrix}$$

特性多項式を展開して因数分解します。

$$\begin{gathered}\det(\lambda I-A)\\ =\lambda^3-5\lambda^2+(2-a)\lambda+8-a\\ =(\lambda+1)\bigl((\lambda-3)^2-a-1\bigr). \end{gathered}$$

$$\lambda=-1,\qquad 3+\sqrt{a+1},\qquad3-\sqrt{a+1}$$

$a<-1$では非実数の固有値を持つため、実数上で対角化できません。$a>-1$では後の$2$つは相異なる実数です。このうち$-1$と一致し得るのは$3-\sqrt{a+1}$で、一致するのは$a=15$です。

境界の$a=-1$では、固有値$3$が重複度$2$です。その固有空間を調べます。

$$A-3I=\begin{pmatrix}-1&1&1\\2&-2&2\\-3&3&-1\end{pmatrix} \quad(a=-1)$$

第$1$・$2$行と第$1$・$3$列で作る$2$次小行列式は$-4$で、階数は$2$以上です。全体の行列式は$0$なので階数は$2$。よって固有空間の次元は$1$しかなく、対角化できません。

すなわち、$\dim\ker(A-3I)=3-2=1<2$です。

$a=15$では、今度は固有値$-1$が重複度$2$です。

$$A+I=\begin{pmatrix}3&1&1\\-30&2&2\\45&3&3\end{pmatrix} \quad(a=15)$$

第$1$・$2$行と第$1$・$2$列の$2$次小行列式は$36$です。全体の行列式は$0$なので、この行列も階数$2$で、固有空間は$1$次元です。

したがって、$\dim\ker(A+I)=1<2$です。

残る$a>-1$、$a\ne 15$では$3$つの固有値がすべて相異なる実数です。それぞれに対応する実固有ベクトルは一次独立なので、対角化できます。