神戸大 理学研究科 物理学専攻 物理 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

$\ddot q$ を含まないこと

ニュートンの運動方程式が $2$ 階なので、$L$ が $q$ と $\dot q$ までを含めば運動が決まる。$\ddot q$ を変数に入れる必要はない。

$t$ を書く意味

問 $3$ で「$L$ が $t$ をあらわに含まない場合」を扱うので、一般には $t$ を含みうることをここで明示しておく。

失点しやすい点

$t$ を落として $L(q,\dot q)$ とだけ書かない。問 $3$ の前提が意味を失う。

端点条件の役割

部分積分で出る境界項を消すために、端点での変分を $0$ とする。これは「$t_1$ と $t_2$ に $q_1$ と $q_2$ にいた」という設問の設定そのものである。

変分法の基本補題

連続関数 $f(t)$ が任意の $\delta q(t)$ に対して $\int f\delta q\,dt=0$ を満たすなら $f\equiv0$ である。この一言を添えると論理が閉じる。

失点しやすい点

部分積分を経ずに「被積分関数を $0$ とおく」と書くと、$\delta q$ と $\delta\dot q$ が独立でないことを見落としたことになる。

$h$ の正体

束縛が時間に依存せず $T$ が $\dot q$ の $2$ 次形式なら、$\dot q\dfrac{\partial T}{\partial\dot q}=2T$ となるので $h=2T-(T-V)=T+V$、すなわち力学的エネルギーそのものである。

対称性と保存則

時間並進対称性（$L$ が $t$ を含まない）がエネルギー保存を生む。ネーターの定理の最も基本的な例である。

失点しやすい点

「$L$ が $t$ を含まないから $L$ が保存する」とはならない。保存するのは $h$ であって $L$ ではない。

$d_0<d$ が効くところ

$x=0$ でばねは自然長より $d-d_0$ だけ伸びている。この張力のレール方向成分が復元力を生む。もし $d_0>d$ なら括弧の中が負になり $x=0$ は不安定な釣り合いになる（両側に $2$ つの安定点ができる）。設問が $d_0<d$ を指定しているのはこのためである。

検算

$d_0\to0$（自然長 $0$ のばね）では $\omega\to\sqrt{k/m}$ となり、$x$ に比例した復元力そのものになる。$d_0\to d$ では $\omega\to0$ で、復元力が消える。どちらも直感と合う。

別解

ポテンシャルを $x$ の $2$ 次まで展開しても同じ結果が出る。 $V(x)\simeq\frac k2(d-d_0)^2+\frac k2\left(1-\frac{d_0}{d}\right)x^2$ で、$x^2$ の係数の $2$ 倍が実効ばね定数である。

失点しやすい点

ばねの長さを $x$ そのものや $d$ 一定としない。斜めに張られたばねの伸びは $\sqrt{x^2+d^2}-d_0$ である。

$\bm D$ を使う利点

$\bm D$ のガウスの法則には自由電荷だけが現れ、分極電荷を数えなくてよい。誘電体が入る問題では $\bm D$ から始めるのが定石である。

$Q$ が単位長さあたりであること

設問文の $Q$ は単位長さあたりの電荷なので、長さ $1$ の円筒を取れば内部の電荷はちょうど $Q$ になる。

失点しやすい点

球ではなく円筒なのでガウス面の側面積は $2\pi r\times(\text{長さ})$ である。$4\pi r^2$ としない。

グラフで押さえる点

$r<a$ が水平（導体内は等電位）、$a<r<b$ が $\ln(b/r)$ に従う減少、$r=b$ で $0$。$r=a$ で連続、$r=b$ で $0$ に達する。

失点しやすい点

円筒では電位が $1/r$ ではなく対数になる。電場が $1/r$ なのでその積分が $\ln$ になる。

単位長さあたりで考える意味

円筒が十分に長く端の効果を無視できるので、系は軸方向に一様である。長さ $1$ の切片だけを考えれば全体が分かり、電荷も静電容量も単位長さあたりで表せる。

境界での跳び

$\bm D$ の法線成分は連続だが、$\bm E$ の法線成分は $\varepsilon$ に反比例して跳ぶ。比誘電率が $2\varepsilon_r\to\varepsilon_r$ と半分になるので、$E$ は $r=c$ で $2$ 倍になる。

グラフの形

どちらの領域でも $1/r$ に比例して減るが、$r=c$ で不連続に跳ね上がる。この段差が問 $5$ の分極電荷に対応する。

失点しやすい点

$D$ が領域で変わると誤解しない。自由電荷が境界にないので $D$ は連続である。

直列接続としての見方

$2$ 層の誘電体は $2$ つのコンデンサーの直列接続とみなせる。 $C_1=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(c/a)}$、$C_2=\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/c)}$ とすると $\dfrac1C=\dfrac1{C_1}+\dfrac1{C_2}$ となり、上の式に一致する。

検算

$c\to a$ とすると $\ln(c/a)\to0$ で $C\to\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$、すなわち問 $2$ の結果に戻る。 $c\to b$ とすると $C\to\dfrac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ で、全体が比誘電率 $2\varepsilon_r$ の場合になる。

失点しやすい点

$2$ つの積分の係数が異なる（$4\pi$ と $2\pi$）ので、通分してからまとめる。

検算：$\varepsilon_r=1$ の場合

外側が真空、内側が比誘電率 $2$ になる。$P_{\text{外}}=0$、$P_{\text{内}}=\dfrac{Q}{4\pi c}$ だから $Q_p=\dfrac Q2$ で、公式の $\dfrac{Q}{2\cdot1}$ と一致する。

符号の意味

$Q>0$ なら $Q_p>0$ である。内側の誘電体のほうが分極が強く、その外表面に正の束縛電荷が余る。この正電荷が $r=c$ の外側で電場を強める向きにはたらき、問 $3$ で $E$ が $2$ 倍に跳ぶことと整合する。

別解

$\bm D$ と $\bm E$ の跳びから直接求めてもよい。$\sigma_p=-\varepsilon_0\bigl(E_{\text{外}}-E_{\text{内}}\bigr)\cdot(-1)$ のように書けるが、符号の扱いが紛れやすいので $\bm P$ の差で計算するほうが安全である。実際 $\varepsilon_0(E_{\text{外}}-E_{\text{内}})=\varepsilon_0\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rc}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_rc}$ で $\sigma_p$ に一致する。

失点しやすい点

$\bm P$ の定義で $(\varepsilon-1)$ の $-1$ を落とさない。真空（$\varepsilon=1$）では分極が $0$ になる。

副尺の原理

主尺と副尺の $1$ 目盛の差が最小読取値になる。本問では主尺 $2$ 目盛（$2\,\mathrm{mm}$）と副尺 $1$ 目盛（$1.95\,\mathrm{mm}$）の差が $0.05\,\mathrm{mm}$ である。

別の数え方

副尺 $0$ は主尺の $28$ と $29$ の間にあり、第 $5$ 目盛が一致しているので $28+5\times0.05=28.25\,\mathrm{mm}$ としてもよい。同じ値になる。

失点しやすい点

ラベル $2.5$ を「第 $2.5$ 目盛」と読まない。$20$ 等分に $0$〜$10$ のラベルなので、ラベルの $2$ 倍が目盛番号である。

$n-1$ で割る理由

平均値を $1$ つデータから決めたので自由度が $1$ 減る。$4$ 個のデータなら $3$ で割る。

標準偏差と標準誤差の区別

$s\simeq0.037$ は $1$ 回の測定のばらつき、$\Delta T_{\mathrm A}\simeq0.018$ は平均値の不確かさである。設問は「最確値の誤差」を問うているので後者を答える。

失点しやすい点

$\sqrt4$ で割る操作を忘れない。また「工夫」は理由（一定の押し誤差が $n$ で割られる）まで書く。

べき指数が係数になること

$g\propto L^1T^{-2}$ なので、相対誤差には $L$ の指数 $1$ と $T$ の指数 $-2$ の絶対値がそのまま掛かる。$T$ の項に $2$ が付くのはこのためである。

どちらが効くか

本問の数値では $\Delta T_{\mathrm A}/T_{\mathrm A}\simeq0.018/2.10\simeq0.86\%$ で、$2$ 倍して $1.7\%$ になる。長さの相対誤差がこれより小さければ、周期の測定精度が全体を決める。

失点しやすい点

$\Delta L/L$ と $\Delta T/T$ を単純に足さない。独立な誤差は二乗和の平方根で合成する。

重みの意味

誤差の小さい測定ほど信頼できるので重く扱う。$\Delta g$ が半分なら重みは $4$ 倍になる。

誤差が単独の測定より小さくなること

$\Delta g'\simeq0.019$ は最も精度のよい単独測定 $0.03$ より小さい。独立な測定を合わせると精度が上がるという当然の性質を示している。

ばらつきとの整合

$4$ つの値のばらつき（最大 $9.82$、最小 $9.76$）は、それぞれの誤差 $0.03$〜$0.06$ とおおむね整合する。$9.76$ は $g'$ から $2.5\sigma$ 程度離れているが、$4$ 点あることを考えれば異常とまでは言えない。

失点しやすい点

重みを $1/\Delta g_i$（$1$ 乗）としない。$1/(\Delta g_i)^2$ である。

補正の大きさ

$R\ll L$ なら補正項 $\dfrac25(R/L)^2$ は小さい。本問の数値でおもりの直径が $28.25\,\mathrm{mm}$（$R\simeq14\,\mathrm{mm}$）、$T\simeq2.1\,\mathrm{s}$ から $L\simeq1.1\,\mathrm{m}$ とすると $\dfrac25(R/L)^2\simeq\dfrac25(0.013)^2\simeq6.6\times10^{-5}$ で、周期への影響は $3\times10^{-5}$ 程度、$g$ には $7\times10^{-5}$ 程度しか効かない。問 $4$ の測定精度 $0.019/9.81\simeq2\times10^{-3}$ よりずっと小さいので、この実験では単振り子近似で十分である。

単振り子との比較

$R\to0$ とすれば $T=2\pi\sqrt{L/g}$ に戻る。設問文の「$R\ll h$ であれば単振り子とみなせる」という記述と整合する。

針金の質量

針金の質量を無視しているので、慣性モーメントには球の寄与だけを入れる。針金に質量があれば $\frac13m_{\text{針金}}h^2$ の項が加わる。

失点しやすい点

平行軸の定理を使うとき、移す距離は $L=h+R$（支点から重心まで）であって $h$ ではない。

$e^{ikx}$ が効かないこと

規格化は $|\psi|^2$ で決まるので、実数の指数部分だけが残る。$k$ は $A$ に影響しない。

位置の広がり

$|\psi|^2\propto e^{-(x-q)^2/d^2}$ はガウス分布で、標準偏差は $d/\sqrt2$ である。$d$ が波束の幅を表す。

失点しやすい点

指数の分母が $2d^2$ から $|\psi|^2$ では $d^2$ になる（$2$ 乗で $2$ 倍される）。$\sqrt{2\pi}$ 型の公式と混同しない。

$k$ の意味

波束は平均として運動量 $\hbar k$ をもつ。$e^{ikx}$ の因子が平面波の運動量を与え、ガウス因子が位置の局在を与える、という役割分担になっている。

検算

$\langle p\rangle$ は実数でなければならない。$-i\hbar\cdot ik=\hbar k$ で確かに実数になる。第 $1$ 項が残ると純虚数が出てしまうので、消えることが整合性の確認になる。

失点しやすい点

$\hat p$ の定義に $-i\hbar$ を使う。符号を逆にすると $\langle p\rangle=-\hbar k$ になる。

第2項の意味

$\dfrac{\hbar^2}{4md^2}$ は波束が空間的に局在していることによる運動エネルギーである。 $\Delta x=d/\sqrt2$、$\Delta p=\hbar/(\sqrt2\,d)$ なので $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ となり、ガウス波束が不確定性関係の等号を実現していることが分かる。

$d\to\infty$ の極限

波束が広がると第 $2$ 項が消え $\langle E\rangle\to\dfrac{\hbar^2k^2}{2m}$、すなわち運動量 $\hbar k$ の平面波のエネルギーになる。問 $4$ の設定である。

失点しやすい点

$\langle E\rangle=\dfrac{\langle p\rangle^2}{2m}$ としない。$\langle p^2\rangle\ne\langle p\rangle^2$ であり、その差が分散 $(\Delta p)^2$ である。

$d$ が十分大きいという条件

$d$ が大きいと波数の広がり $\Delta k=1/(\sqrt2\,d)$ が小さく、波束はほぼ単一の波数 $k$ でできている。したがって $\omega(k)$ を $k$ のまわりで $1$ 次まで展開する扱いが正当化され、群速度が波束の移動速度になる。

群速度が古典速度に一致すること

$v_{\text{群}}=\dfrac{\hbar k}{m}=\dfrac{\langle p\rangle}{m}$ で、古典粒子の速度と同じである。波束の中心が古典的な軌道に従って動く（エーレンフェストの定理）ことに対応する。

位相速度が半分になること

非相対論的自由粒子では $v_{\text{位相}}=v_{\text{群}}/2$ である。位相速度は観測可能な粒子の移動速度ではないので、これは矛盾ではない。

失点しやすい点

$\omega=E/\hbar$ で $E=\hbar^2k^2/(2m)$ を使う。$\omega=ck$ のような線形分散を仮定すると両者が一致してしまい、本問の要点が消える。

独立に選べること

「どの格子点から抜けてどの格子間位置に移るか」の対応は問わない（原子が区別できない）ので、$2$ つの選択は独立で積になる。対応まで区別するなら $n!$ 倍する必要があるが、本問の設定では不要である。

失点しやすい点

片方だけ（$\binom Nn$ のみ）としない。空孔の位置と侵入位置の両方が独立な自由度である。

$n$ の範囲

$1\ll n\ll N$ かつ $1\ll n\ll M$ が仮定されている。前者はスターリングの公式を使うため、後者は問 $3$ で $N-n\simeq N$ と近似するために必要である。

失点しやすい点

$2$ つの二項係数の積であることを明示する。空孔の配置と侵入原子の配置を別々に数える。

格子振動を含めないこと

本問では配置の乱れだけを数えている。実際の結晶には格子振動によるエントロピーもあるが、$n$ に依存する部分だけが平衡条件に効くので、この扱いで欠陥濃度は正しく求まる。

失点しやすい点

$F=U-TS$ の符号を落とさない。エントロピー項が大きいほど自由エネルギーは下がる。

なぜ自由エネルギーを最小にするか

温度と体積が一定の熱平衡では、ヘルムホルツの自由エネルギーが最小になる。欠陥を作るとエネルギーは上がるがエントロピーも増えるので、その釣り合いで $n$ が決まる。

指数の分母の $2$

$n$ が $2$ 乗で現れるため、平方根を取る段階で指数の肩が半分になる。フレンケル欠陥の活性化エネルギーが $w/2$ に見えるのはこのためで、空孔と侵入原子が対で生成することの反映である。

検算

$T\to0$ で $n\to0$、$T\to\infty$ で $n\to\sqrt{NM}$ に近づく。低温で欠陥が凍りつき、高温で増えるという振る舞いと合う。

失点しやすい点

$\ln W$ の微分で $-1$ と $+1$ が相殺することを確認する。スターリングの $-x$ の項が効いている。

ショットキー型の振る舞い

低温では指数因子が効いて $C\to0$、高温では $T^{-2}$ が効いて再び小さくなる。中間の温度に山をもつ。欠陥生成にともなう比熱の異常として観測される。

格子比熱との比較

デバイ模型の格子比熱は室温付近で $3Nk_{\mathrm B}$ 程度である。$w/k_{\mathrm B}=10^4\,\mathrm{K}$ なら室温で $e^{-w/(2k_{\mathrm B}T)}\sim e^{-17}\sim10^{-8}$ となり、欠陥の寄与は格子比熱に埋もれる。高温でようやく観測にかかる。

失点しやすい点

$e^{-w/(2k_{\mathrm B}T)}$ を $T$ で微分するとき、指数の中の $1/T$ の微分から $+w/(2k_{\mathrm B}T^2)$ が出る。符号に注意する。

2つの条件が果たす役割

1 は「高温の状態を低温で観測できる」ことを保証し、2 は「観測量が欠陥濃度に比例する」ことを保証する。どちらが欠けても $w$ は求まらない。

測定温度の目安

$w/k_{\mathrm B}=10^4\,\mathrm{K}$ なら $T=1000\,\mathrm{K}$ で $e^{-5}\simeq7\times10^{-3}$、$T=500\,\mathrm{K}$ で $e^{-10}\simeq5\times10^{-5}$ である。この範囲で $R$ が $2$ 桁変わるので、直線の傾きを精度よく決められる。

比例定数が不要なこと

$R=\alpha n$ の $\alpha$ が未知でも、対数を取れば定数項に入るだけで傾きには効かない。$w/k_{\mathrm B}$ だけを求めるなら $\alpha$ を知る必要がない。

失点しやすい点

傾きから直接 $w/k_{\mathrm B}$ としない。指数の肩が $w/(2k_{\mathrm B}T)$ なので $2$ 倍が要る。

$\nabla\cdot\bm B=0$ が自動的に成り立つこと

回転の発散は恒等的に $0$ なので、$\bm B=\nabla\times\bm A$ と書けばマクスウェル方程式の $1$ つが自動的に満たされる。ベクトルポテンシャルを導入する理由である。

ゲージ変換

$\bm A\to\bm A+\nabla\chi$ としても $\bm B$ は変わらない。この自由度を使って問 $2$ ではクーロンゲージ $\nabla\cdot\bm A=0$ を課す。

失点しやすい点

成分の巡回の順序（$x\to y\to z\to x$）を守る。$B_y$ の符号を取り違えやすい。

ポアソン方程式の形

これは静電場の $\nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon_0$ と同じ形である。したがって解も同じ形 $\bm A(\bm r)=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\frac{\bm J(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}d^3r'$ で与えられる。

ゲージ条件が課せる理由

任意の $\bm A$ に対し $\nabla^2\chi=-\nabla\cdot\bm A$ を満たす $\chi$ を取れば、$\bm A+\nabla\chi$ はクーロンゲージを満たす。したがってこの条件は常に課せる。

失点しやすい点

恒等式の符号 $\nabla\times(\nabla\times\bm A)=\nabla(\nabla\cdot\bm A)-\nabla^2\bm A$ を落とさない。$-\nabla^2$ のマイナスが最終形の符号を決める。

物理的な描像

内部は一様磁場、外部は磁場なし、という配置は無限に長いソレノイドと同じである。$r=a$ の円筒面に $z$ 軸まわりの表面電流が流れている状況に対応する。

$\bm A\ne0$ なのに $\bm B=0$

外部では $\bm A$ が $0$ でないのに $\bm B$ が $0$ になる。これはアハラノフ・ボーム効果の舞台となる状況で、古典電磁気学では観測に効かないが、量子力学では位相を通じて効く。

検算

$r=a$ の内外で $\bm A$ が連続していることを確かめる。$r=a$ では $a^2/r^2=1$ となり両式が一致する。一方 $\bm B$ は $r=a$ で不連続に跳び、これが表面電流に対応する。

失点しやすい点

$\partial A_x/\partial y$ の計算で外側にマイナスが付いていることを忘れない。$2$ つの項が打ち消し合うのではなく足し合わさって $0$ になる構造である。

見通しのよい説明

$2$ 次元では $\ln r$ が調和関数（$r\ne0$）である。$\dfrac{y}{r^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\ln r$、$\dfrac{x}{r^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\ln r$ であり、調和関数の偏導関数はまた調和関数だから、直接計算しなくても $0$ が分かる。

$r=a$ を除く理由

$r=a$ には表面電流があり $\bm J\ne0$ なので、そこでは $\nabla^2\bm A=-\mu_0\bm J\ne\bm0$ である。設問が $r\ne a$ と限定しているのはこのためである。

ゲージ条件の確認

$\nabla\cdot\bm A_{\text{out}}=\dfrac{\mu_0a^2I}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{-y}{r^2}+\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{x}{r^2}\right) =\dfrac{\mu_0a^2I}{2}\left(\dfrac{2xy}{r^4}-\dfrac{2xy}{r^4}\right)=0$ でクーロンゲージを満たしている。問 $2$ の設定と整合する。

失点しやすい点

$\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\dfrac{y}{r^2}$ の計算で $1/r^2$ の微分から出る項を落とさない。$-6y/r^4$ の係数を $-2y/r^4$ と誤りやすい。