神戸大 理学研究科 物理学専攻 物理 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

速さの表示

$v^2=v_x^2+v_y^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$ となる。$\cos^2+\sin^2=1$ と交差項の相殺による。この形は設問 $3$ の運動エネルギーで使う。

動径・方位方向の基底

$\bm e_r=(\cos\theta,\sin\theta)$、$\bm e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$ と置くと $\bm v=\dot r\,\bm e_r+r\dot\theta\,\bm e_\theta$ とまとまる。以下ではこの表示を使うと見通しがよい。

失点しやすい点

$\theta$ が時間に依存することを忘れて $\dot r\cos\theta$ だけにしない。$r\dot\theta$ の項が回転に伴う速度である。

角運動量保存が読み取れること

$\bm e_\theta$ 成分は $\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(mr^{2}\dot\theta\right)=0$ と書き換えられる。すなわち $\ell=mr^2\dot\theta$ が保存する。中心力に対する角運動量保存はここから出る。

見かけの力

$-r\dot\theta^2$ は遠心力、$2\dot r\dot\theta$ はコリオリ項に対応する。回転する基底で微分したことによる項であり、慣性系の記述であることに変わりはない。

失点しやすい点

$\bm e_r$、$\bm e_\theta$ が時間に依存することを使わずに $m\ddot r=-U'$ としないこと。$-r\dot\theta^2$ の項が抜けると円軌道が説明できなくなる。

$1$ 次元問題への還元

これで $r$ の運動は、ポテンシャル $U_{\mathrm{eff}}$ の中を動く $1$ 次元の質点と同じ形になる。$2$ 次元の中心力問題が実質 $1$ 次元に落ちるのは角運動量保存のおかげである。

遠心力ポテンシャル

$\ell^2/(2mr^2)$ は $r$ が小さいほど大きく、$r\to0$ で発散する。$\ell\neq0$ の粒子は原点に落ち込めない、という事実がこの項に表れている。

検算

$-dU_{\mathrm{eff}}/dr=-U'(r)+\dfrac{\ell^{2}}{mr^{3}}=-U'(r)+mr\dot\theta^{2}$ となり、設問 $2$ の動径方程式 $m\ddot r=-U'+mr\dot\theta^2$ と一致する。

失点しやすい点

$\ell$ は $mr^2\dot\theta$ であって $r^2\dot\theta$ ではない。$m$ を落とすと次元が合わない。

安定性の条件

$U_{\mathrm{eff}}''(r_0)>0$ でなければ $T$ が実数にならない。このとき円軌道は安定で、$U_{\mathrm{eff}}''(r_0)<0$ なら擾乱は指数的に増大して軌道は壊れる。

逆二乗力での確認

$U=-k/r$ の場合、$U_{\mathrm{eff}}=-k/r+\ell^2/(2mr^2)$ で $r_0=\ell^2/(mk)$、 $U_{\mathrm{eff}}''(r_0)=mk^4/\ell^6$ となる。よって $\omega_\rho=k^2m/\ell^3$ で、これは円軌道の公転角速度 $\dot\theta=\ell/(mr_0^2)=k^2m/\ell^3$ に一致する。動径振動と公転の周期が等しいため軌道が閉じる（楕円になる）という、ケプラー問題の特別な性質がここに現れている。

歳差との関係

一般の $U(r)$ では $\omega_\rho\neq\dot\theta$ となり、軌道は閉じずに近日点が回る。水星の近日点移動を論じるときの出発点がこの比較である。

失点しやすい点

$U$ ではなく $U_{\mathrm{eff}}$ の $2$ 階微分を使う。遠心力ポテンシャルの寄与を落とすと安定性の判定を誤る。

表面での跳び

$r\to a$ の外側極限で $E=\sigma/\varepsilon_0$、内側では $0$ である。差 $\sigma/\varepsilon_0$ は面電荷をまたぐときの電場の不連続として一般に成り立つ関係である。

外側が点電荷と同じになること

$r>a$ では中心に $Q$ を置いた場合と区別がつかない。球対称な電荷分布の外側は必ずこうなる（ニュートンの殻定理の電磁気版）。

失点しやすい点

内側で $E=0$ になるのは「囲む電荷が $0$」だからであって、「近くの電荷が打ち消すから」という説明は不正確である。ガウスの法則と対称性の両方を書く。

球殻が等電位であること

内部と表面が同じ値をとる。導体でなくても、球対称に一様帯電していれば内部は等電位になる。静電遮蔽の最も簡単な例である。

全電荷で書き換える

$Q=4\pi a^2\sigma$ を使うと $\phi(r\ge a)=Q/(4\pi\varepsilon_0r)$、$\phi(r\le a)=Q/(4\pi\varepsilon_0a)$。点電荷の式と見比べやすい。

静電エネルギー

$W=\frac12Q\phi(a)=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0a}$。球殻を無限遠から集めるのに要する仕事で、古典電子半径の議論の出発点になる量である。

失点しやすい点

内部で $\phi=0$ としない。電場が $0$ でもポテンシャルは一定値をとる。

中心での値

$z=0$ で $B=\mu_0I/(2R)$。円電流の中心磁場としてよく使う式である。

遠方での振る舞い

$z\gg R$ で $B\simeq\mu_0IR^2/(2z^3)=\mu_0m/(2\pi z^3)$（$m=\pi R^2I$ は磁気モーメント）。磁気双極子場の $1/z^3$ 則を再現する。

失点しやすい点

$\cos$ 因子 $R/\sqrt{R^2+z^2}$ を忘れると指数が $3/2$ でなく $1$ になる。軸方向成分だけが残ることを明示する。

どの輪帯が効くか

$dB\propto\sin^3\theta$ なので赤道付近（$\theta=\pi/2$）の寄与が最大、極付近はほとんど効かない。赤道の輪帯は半径が大きく電荷も多いので当然である。

磁気モーメントとの関係

同じ分割で $dm=\pi R^2dI$ を積分すると $m=\frac{4\pi}{3}\sigma\omega a^{4}$。一様磁化球と同じく、球殻内部の磁場は一様で $\bm B_{\text{内}}=\frac23\mu_0\sigma\omega a\,\bm e_z$（中心の値と同じ）になることが知られている。中心の値がそのまま内部全体の値である点はこの問題の隠れた見どころである。

次元の確認

$[\mu_0\sigma\omega a]=[\mathrm{T\,m/A}][\mathrm{C/m^2}][\mathrm{s^{-1}}][\mathrm m] =[\mathrm{T\,m/A}][\mathrm{A/m}]=[\mathrm T]$。磁束密度の次元になっている。

失点しやすい点

$dI=dq\cdot\omega/(2\pi)$ の $1/(2\pi)$ を落とさない。また設問 $3$ の式に代入するとき、$R$ と $z$ を球殻の幾何から正しく読み替える。

可視度

干渉縞の可視度は $V=\dfrac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{2E_{\mathrm r}E_{\mathrm s}}{E_{\mathrm r}^{2}+E_{\mathrm s}^{2}}$。相加相乗平均から $V\le1$ で、等号は $E_{\mathrm r}=E_{\mathrm s}$ のとき。$2$ 光束の強度を揃えると縞が最もはっきりする、という設計指針がここから出る。

光路差が $2h$ でないこと

問題文が「試料面で反射した光線の光路長は $L-h(x)$」と定義しているので、往復による $2$ 倍はすでに $h$ の定義に含まれている。設問 $3$ の $L-2vt$ が $2$ 倍になっているのと対照的なので、定義をそのまま使う。

失点しやすい点

$|E_{\mathrm r}+E_{\mathrm s}|^2$ の交差項に $2$ を付け忘れない。

縞の数え方

凸の高さが $3\lambda$ なので、片側で $3$ 本の暗線が現れる。「縞を数えれば高さが $\lambda$ 単位で分かる」というのが古典的な干渉計測の原理である。

符号が読めないこと

$\cos$ は偶関数なので、$I(x)$ だけからは $h$ の符号（凸か凹か）が決まらない。(a) の図でも山と谷の区別はつかない。これも設問 $3$・$4$ の手法が必要になる理由の一つである。

(b) が難しい理由

$h\ll\lambda$ では $I$ の変化が $h^2$ に比例するので、$h$ が半分になると信号は $1/4$ になる。しかも $\cos$ の極大付近では傾きが $0$ なので、$h$ に対する感度そのものが失われている。

失点しやすい点

(a) で $x_1$ より左と $x_3$ より右を描き忘れない。そこは平坦（$h=0$）で最大強度である。

$2v$ の意味

鏡が $vt$ だけ動くと往復の光路長は $2vt$ 変わる。問題文が光路長を $L-2vt$ と与えているのはそのためで、ここでの $2$ は幾何学的な往復に由来する。

うなりとしての見方

参照光は動く鏡で反射されるためドップラー効果を受け、角周波数が $\Omega=2kv$ だけずれる。撮像面ではこの $2$ 波のうなりが見え、それが $I$ の時間振動である。ヘテロダイン干渉計と呼ばれる方式そのものである。

数値感覚

$\lambda=633\,\mathrm{nm}$、$v=1\,\mu\mathrm{m/s}$ なら $\Omega/2\pi=2v/\lambda\simeq3.2\,\mathrm{Hz}$。カメラで十分追える速さになるよう $v$ を選ぶ。

失点しやすい点

位相を $k(h-2vt)$ とするか $k(2vt-h)$ とするかで $I$ は変わらない（$\cos$ が偶関数）が、設問 $4$ で位相を読むときは符号の約束を固定しておく。

位相シフト干渉法との関係

実際の装置では鏡を連続的に動かす代わりに、$\lambda/8$ ずつ $4$ 段階（位相で $\pi/2$ ずつ）動かして $4$ 枚の画像 $I_0,I_1,I_2,I_3$ を撮り、 $$\varphi=\arctan\frac{I_3-I_1}{I_0-I_2}$$ とする方法が広く使われる。原理は本問と同じで、位相を測るために既知の位相を加える、という点が共通している。

到達分解能

位相を $1/100$ ラジアンの精度で読めれば $h$ の分解能は $\lambda/(4\pi)\times0.01\simeq0.5\,\mathrm{nm}$（$\lambda=633\,\mathrm{nm}$）。波長よりはるかに小さい凹凸が測れるのがこの方式の強みである。

必要な測定時間

位相を正しく取り出すには少なくとも $1$ 周期 $2\pi/\Omega=\lambda/(2v)$ を、実用上は数周期を測る必要がある。$v$ を上げれば速く測れるが、カメラのフレームレートが $\Omega/2\pi$ の $2$ 倍以上でなければ標本化定理を満たさない。

失点しやすい点

「縞を数える」という答えでは $|h|<\lambda/2$ の場合に縞が $1$ 本も現れないので解決にならない。強度の大小ではなく位相を測る、と明言する。

行列表示

基底 $\left(|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\right)$ で $$H=-\varepsilon\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$ と書ける。実対称なのでエルミートであり、固有値はすべて実数である。以降この行列で考えると速い。

$0$ になる理由

$|1\rangle$ と $|3\rangle$ は $\hat H$ によって同じ $-\varepsilon|2\rangle$ に写る。差を取ると打ち消し合う。$1\leftrightarrow3$ の入れ替えに対する反対称性が理由であり、これは $\hat H$ がその入れ替えで不変なことから来る。

失点しやすい点

期待値だけを問われているが、$\hat H|\psi\rangle=0$ を示せば「たまたま $0$」ではなく固有状態であることが分かる。ここまで書いておくと設問 $3$ が楽になる。

規格化した固有状態

$a=1,b=\pm\sqrt2$ のノルムは $\sqrt{1+2+1}=2$ だから $$|E_\mp\rangle=\frac12\left(|1\rangle\pm\sqrt2\,|2\rangle+|3\rangle\right), \qquad E_\mp=\mp\sqrt2\,\varepsilon .$$ 設問 $1$ の $|E_0\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(|1\rangle-|3\rangle)$ と合わせて $3$ つの固有状態がそろう。固有値は $-\sqrt2\varepsilon,\,0,\,+\sqrt2\varepsilon$ である。

トレースによる検算

$\mathrm{Tr}\,H=0$ で、固有値の和も $-\sqrt2\varepsilon+0+\sqrt2\varepsilon=0$。$\mathrm{Tr}\,H^{2}=4\varepsilon^{2}$ で、固有値の $2$ 乗和も $2\varepsilon^2+0+2\varepsilon^2=4\varepsilon^2$。整合する。

対称性の使い方

$a|1\rangle+b|2\rangle+a|3\rangle$ という形（$1$ と $3$ の係数が等しい）が仮定されているのは、$1\leftrightarrow3$ 入れ替えの対称固有状態を先に選んでいるからである。反対称なものが設問 $1$ の状態にあたる。

失点しやすい点

$\hat H|2\rangle$ には $|1\rangle$ と $|3\rangle$ の両方が現れる。片方だけにすると $2a$ の係数が $a$ になり、固有値が $\pm\varepsilon$ になってしまう。

規格化の確認

$\left(\frac12\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2}+\left(\frac12\right)^{2}=\frac14+\frac12+\frac14=1$。確率の和が $1$ になっている。

測定の意味

状態 $|1\rangle$ でエネルギーを測ると、$-\sqrt2\varepsilon$ が確率 $1/4$、$0$ が確率 $1/2$、$+\sqrt2\varepsilon$ が確率 $1/4$ で得られる。期待値は $\frac14(-\sqrt2\varepsilon)+\frac12\cdot0+\frac14(\sqrt2\varepsilon)=0$ で、直接 $\langle1|\hat H|1\rangle=0$（対角成分）と一致する。

直接展開してもよい

$|1\rangle=\alpha|E_-\rangle+\beta|E_0\rangle+\gamma|E_+\rangle$ と置いて $|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle$ の係数を比較しても同じ結果になる。$|2\rangle$ の係数から $\frac{\sqrt2}{2}(\alpha-\gamma)=0$、すなわち $\alpha=\gamma$ がすぐ出る。

失点しやすい点

$|E_\pm\rangle$ の規格化因子 $1/2$ を落とすと係数が $\sqrt2$ 倍ずれ、設問 $4$ の時間発展まで狂う。

完全な移送が起こる理由

$3$ つの固有値が $-\sqrt2\varepsilon,\,0,\,+\sqrt2\varepsilon$ と等間隔に並んでいる。位相差がすべて $\phi$ の整数倍になるため、$\phi=\pi$ で係数がきれいに揃い、確率 $1$ で $|3\rangle$ へ移る。固有値が等間隔でなければ完全な移送は起こらない。

$|2\rangle$ の占有

$|c_2|^2=\frac{\sin^2\phi}{2}$ は $\phi=\pi/2$ で最大値 $1/2$ をとる。$|1\rangle$ から $|3\rangle$ へ移る途中で、粒子は中間状態 $|2\rangle$ に最大でも半分しか滞在しない。$|2\rangle$ が両端をつなぐ「橋」として働いている構造が見える。

符号 $-$ の意味

$t=t_{\min}$ で得られるのは $|3\rangle$ ではなく $-|3\rangle$ である。全体の位相は物理的な観測に影響しないが、この時点でさらに時間を進めると $\phi=2\pi$ で $|\Psi\rangle=|1\rangle$ に戻る。周期は $2t_{\min}=\sqrt2\pi\hbar/\varepsilon$ である。

失点しやすい点

時間発展の位相は $e^{-iE_nt/\hbar}$ である。$E_-=-\sqrt2\varepsilon$ に対しては $e^{+i\phi}$ になる。符号を取り違えると $c_2$ の符号が変わるが、$t_{\min}$ 自体は変わらない。

異核分子であること

$2$ つの原子が異なるので分子を $180^\circ$ 回しても別の配置になる。同核 $2$ 原子分子なら対称数 $2$ で割り、さらに核スピン統計から $\ell$ の偶奇が制限される。本問ではその複雑さがないため、素直にすべての $\ell$ を足せばよい。

$\Theta_{\mathrm{rot}}$ の定義に注意

本問は $\Theta_{\mathrm{rot}}=\hbar^{2}/(Ik_{\mathrm B})$ と定義されている。教科書では $\hbar^{2}/(2Ik_{\mathrm B})$ を使うものも多く、値が $2$ 倍違う。問題文の定義に従うこと。この定義では $\ell=1$ の準位が $k_{\mathrm B}\Theta_{\mathrm{rot}}$ ちょうどになる。

失点しやすい点

縮重度 $2\ell+1$ を掛け忘れない。これが高温極限で $Z\propto T$ を与える源であり、比熱の値を決める。

等分配則との一致

直線分子の回転自由度は $2$ つ（分子軸に垂直な $2$ 方向）で、それぞれが $\frac12k_{\mathrm B}T$ を担う。合計 $k_{\mathrm B}T$、比熱 $k_{\mathrm B}$ で古典論と一致する。量子論から出発して古典極限を再現したことになる。

並進との合計

並進の $\frac32k_{\mathrm B}$ を加えると $\frac52k_{\mathrm B}$、すなわち $C_V=\frac52R$。室温の $2$ 原子分子気体でよく知られた値である（振動は $\Theta_{\mathrm{vib}}$ が数千 $\mathrm K$ なのでまだ凍結している）。

補正項

和を積分に直す際のオイラー・マクローリン補正を入れると $Z\simeq\frac{2T}{\Theta}\left(1+\frac{\Theta}{6T}+\cdots\right)$ となり、比熱は $k_{\mathrm B}$ をわずかに超える。高温側から $k_{\mathrm B}$ に近づくのではなく、上を通ってから近づく振る舞いになる。

失点しやすい点

置換 $x=\ell(\ell+1)$ に気づかず $\ell$ のまま積分しようとすると計算が進まない。縮重度がちょうど $dx/d\ell$ になっている点が仕掛けである。

自由度の凍結

$k_{\mathrm B}T$ が最低励起エネルギー $k_{\mathrm B}\Theta_{\mathrm{rot}}$ より小さくなると、分子はほとんど $\ell=0$ にとどまり回転できない。エネルギーを吸収できないので比熱が消える。これが「自由度の凍結」で、熱力学第 $3$ 法則とも整合する。

ショットキー型の振る舞い

本質的に $2$ 準位系の比熱（ショットキー異常）と同じ形である。$c$ は低温で指数的に $0$、高温で古典値 $k_{\mathrm B}$ に近づき、$T\sim\Theta_{\mathrm{rot}}$ 付近でなだらかに立ち上がる。

検算

$T=\Theta_{\mathrm{rot}}$ を代入すると $c\simeq3k_{\mathrm B}e^{-1}=1.1k_{\mathrm B}$。低温近似の適用範囲を超えているが、$k_{\mathrm B}$ と同じ桁になっており $2$ つの極限がこの付近でつながることが分かる。

失点しやすい点

$\ell=1$ のエネルギーは $\frac{1\cdot2\cdot\hbar^{2}}{2I}=\frac{\hbar^{2}}{I}=k_{\mathrm B}\Theta_{\mathrm{rot}}$ であって $\frac12k_{\mathrm B}\Theta_{\mathrm{rot}}$ ではない。指数の肩を間違えると比熱の立ち上がる温度が $2$ 倍ずれる。

換算質量が水素に近いこと

$m_{\mathrm{Cl}}\gg m_{\mathrm H}$ なので $\mu\simeq m_{\mathrm H}$ になる。実際 $1.65\times10^{-27}$ は $m_{\mathrm H}=1.7\times10^{-27}$ とほぼ等しい。重い塩素はほとんど動かず、軽い水素が塩素のまわりを回る描像である。

室温との比較

$\Theta_{\mathrm{rot}}\simeq30\,\mathrm K$ は室温 $300\,\mathrm K$ よりずっと低い。したがって常温の $\mathrm{HCl}$ 気体では回転は完全に励起されており、設問 $2$ の高温極限（$c_{\mathrm{rot}}=k_{\mathrm B}$）が成り立つ。回転比熱の凍結を観測するには液体窒素温度よりさらに低温にする必要がある。

振動との比較

$\mathrm{HCl}$ の振動特性温度は約 $4300\,\mathrm K$ で、室温では完全に凍結している。$\Theta_{\mathrm{rot}}\ll T\ll\Theta_{\mathrm{vib}}$ という室温の状況が、$C_V=\frac52R$ という古典的な値の根拠になっている。

失点しやすい点

$I=m_{\mathrm H}r_0^{2}$ としない。重心のまわりの慣性モーメントは換算質量を使う。また $\hbar$ と $h$ を取り違えると $(2\pi)^{2}\simeq39$ 倍ずれる。

$\bar z$ を含まないこと

$x=\frac{z+\bar z}{2}$、$y=\frac{z-\bar z}{2i}$ と見て $\dfrac{\partial f}{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)f=0$ を書き下ろしても、実部・虚部がそのままコーシー・リーマンの $2$ 式になる。「$z$ のみの関数」という条件の意味が最も端的に見える形である。

反例

$f=\bar z=x-iy$ は $u=x$、$v=-y$ で $u_x=1\neq v_y=-1$。$\bar z$ を含む関数は正則でない、という具体例になる。

失点しやすい点

$1/i=-i$ を使う。ここで符号を誤ると $2$ 本目の式の符号が逆になる。

共役調和関数

コーシー・リーマンで結ばれた $2$ つの調和関数 $u$、$v$ を互いに共役調和関数と呼ぶ。片方を与えれば、もう一方はコーシー・リーマンの式を積分して（定数を除いて）決まる。

2次元静電場との対応

真空中の電位もラプラス方程式を満たすから、任意の正則関数の実部（または虚部）は、$2$ 次元の静電場の電位として使える。設問 $5$ はこの対応を実際に使う問題である。

正則関数の強さ

$1$ 回微分できるだけで $2$ 回以上の微分可能性が保証され、しかも調和になる。実関数にはない、複素微分可能性の強い制約が効いている。

失点しやすい点

偏微分の順序交換を無条件に使わず、「$C^{2}$ 級であれば」と一言添える。

例外点

$f'(z)=u_x+iv_x=0$ となる点では $\nabla u=\nabla v=\bm 0$ で、法線が定まらない。設問 $4$ の $f=z^{2}$ では $z=0$ がこれにあたり、そこでは等値線が $90^\circ$ ではなく $45^\circ$ で交わる。証明に $\nabla\neq\bm0$ の断りが要るのはこのためである。

等角写像としての見方

正則関数による写像は $f'\neq0$ の点で角度を保つ（等角写像）。直交する $2$ 直線 $\mathrm{Re}\,w=$ 一定、$\mathrm{Im}\,w=$ 一定 の逆像が $u=c_1$、$v=c_2$ なので、直交性が保たれるのは当然である。

静電場での意味

$u$ を電位とすれば $v=$ 一定 の曲線が電気力線になる。電気力線が等電位線に直交するという物理的事実が、この数学的直交性そのものである。

失点しやすい点

勾配は等値線の「法線」であって接線ではない。ここを取り違えると直交性の結論が逆になる。

コーシー・リーマンの確認

$u_x=2x$、$v_y=2x$ で一致。$u_y=-2y$、$-v_x=-2y$ で一致。$\nabla^{2}u=2-2=0$、$\nabla^{2}v=0$ も成り立つ。設問 $1$・$2$ の具体例になっている。

等値線の形

$u=c_1$ は $x^{2}-y^{2}=c_1$、すなわち $y=\pm x$ を漸近線とする直角双曲線。$v=c_2$ は $xy=c_2/2$、すなわち $x$ 軸・$y$ 軸を漸近線とする直角双曲線。両者は $45^\circ$ ずれた双曲線族で、確かに直交する。

極形式

$z=re^{i\theta}$ なら $z^{2}=r^{2}e^{2i\theta}$ で $u=r^{2}\cos2\theta$、$v=r^{2}\sin2\theta$。角度を $2$ 倍に開く写像であることが分かり、設問 $5$ で直角の角（$90^\circ$）が半平面（$180^\circ$）に写ることの根拠になる。

失点しやすい点

$(x+iy)^2$ の交差項 $2ixy$ の係数 $2$ を落とさない。

$u$ を捨てる理由

$u=x^{2}-y^{2}$ は $x=0$ 上で $-y^{2}\neq0$、$y=0$ 上で $x^{2}\neq0$ なので、そもそも境界条件 $V=0$ を満たさない。さらに領域内の $y=x$ で $0$ になるという二重の不都合がある。問題文が「$V=0$ となる点が存在しないような場合」と断っているのは、この $u$ を排除するための条件である。

角の指数

一般に開き角 $\alpha$ の導体の角では $V\propto r^{\pi/\alpha}\sin\left(\pi\theta/\alpha\right)$ となる。本問は $\alpha=\pi/2$ なので $V\propto r^{2}\sin2\theta=2xy$ で、まさに得られた答えと一致する。鋭い凸角（$\alpha\to2\pi$）では $V\propto r^{1/2}$ となって電場が発散し、雷が尖った所に落ちる理由になる。本問は逆の凹角なので電場が原点で $0$ に消える。

面電荷密度

導体表面の電荷密度は $\sigma=\varepsilon_0E_n$。$y=0$ 上では $|\sigma|=\varepsilon_0|A|x$ で、角から離れるほど大きい。角の内側には電荷がほとんど溜まらないことが定量的に示される。

鏡像法との一致

第 $1$ 象限の点電荷に対して $2$ 枚の接地導体板を扱うと、鏡像は $3$ 個（$(-x_0,y_0)$、$(x_0,-y_0)$ に負、$(-x_0,-y_0)$ に正）になる。遠方から見たときの主要項がここで得た $xy$ 型の電位である。

失点しやすい点

「等電位面と電気力線を図示せよ」なので、両方を描き、どちらがどちらかを明記する。片方だけでは答案にならない。